Appunti, elettrostatica con Conduttori e Dielettrici - Fondamenti di meccanica teorica ed applicata - a.a 2015/2016 PDF

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Prof. G. Della Valle

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8. Elettrostatica con Conduttori e Dielettrici 8.1 Conduttori: aspetti generali I conduttori Per conduttore o metallo si intende un corpo indeformabile all’interno del quale si trovano moltissimi elettroni debolmente legati ai propri atomi e quindi liberi di muoversi con facilità in tutto il volume del corpo. Infatti in questi materiali gli elettroni più esterni di ogni atomo, detti elettroni di valenza, possono saltare molto facilmente da un atomo all’altro. In pratica la struttura dei metalli può essere schematizzata come un reticolo rigido, formato dagli atomi del corpo, circondato da un gas di elettroni liberi di muoversi. Cariche positive e negative in un conduttore La distribuzione degli elettroni di valenza in un conduttore può essere (ed è in generale) non uniforme: in questo caso, anche se il corpo fosse globalmente neutro, potremmo avere delle zone cariche negativamente, là dove si addensano gli elettroni di valenza, e altre zone cariche positivamente, dove gli elettroni di valenza sono pochi e quindi affiorano le cariche positive dei nuclei. Inoltre il metallo può anche essere non globalmente neutro, se in qualche modo vengono tolti o aggiunti ad esso un numero significativo di elettroni. Oss. A tutti gli effetti possiamo ragionare sui conduttori come se vi fossero delle cariche negative e delle cariche positive libere di muoversi, anche se in realtà sappiamo che sono solo quelle negative (gli elettroni di valenza) a spostarsi. Condizione di equilibrio elettrostatico Se all’interno di un conduttore si ha un campo elettrico, gli elettroni sono soggetti alla forza elettrostatica corrispondente e quindi si spostano in direzione opposta (avendo essi carica negativa) a quella del campo: si ha un flusso di cariche. Noi tuttavia considereremo solo il caso di conduttori in equilibrio elettrostatico, cioè nei quali gli elettroni sono fermi, poiché la risultante delle forze su ciascuno di essi è nulla. Campo elettrico all’interno e sulla superficie di un conduttore Prop.1 Se un conduttore è all’equilibrio elettrostatico, sicuramente il campo elettrico al suo interno è ovunque nullo. Dimostrazione. In caso contrario, infatti, un elettrone di valenza sarebbe soggetto ad una forza e si muoverebbe, rompendo l’equilibrio elettrostatico. Prop.2 Alla superficie del conduttore, invece, il campo elettrico può essere diverso da zero. Dimostrazione. Infatti gli elettroni liberi possono essere soggetti ad una forza che li spinge verso l’esterno del conduttore senza però sfuggire dal metallo. Essi sono infatti liberi di muoversi all’interno del materiale con facilità, ma è una evidenza sperimentale che per estrarli occorre sempre compiere un certo lavoro, che dipende dal particolare metallo, e prende il nome di lavoro di estrazione. Prop.3 Il campo elettrico alla superficie del conduttore è sempre diretto come la normale alla superficie. Dimostrazione1. Se infatti avesse una componente tangente diversa da zero, questa avrebbe l’effetto di spostare le cariche lungo la superficie, ma ciò contraddirebbe l’ipotesi di stazionarietà.

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! Dimostrazione2. Il fatto che il campo elettrico alla superficie ! Etg E del conduttore debba essere normale alla superficie stessa si ! può poi dimostrare in modo rigoroso applicando la legge di En conduttore circuitazione del campo elettrico. Consideriamo infatti una linea chiusa a cavallo della superficie, di dimensioni molto piccole, e di spessore trascurabile rispetto alla lunghezza (vedi figura). Ora, l’integrale di linea del campo elettrico è nullo sul tratto interno al conduttore (essendo nullo il campo all’interno); è trascurabile sui tratti che attraversano la superficie, essendo essi molto corti; sul tratto esterno è proporzionale alla componente tangente del campo elettrico (che sarà con buona approssimazione costante se la linea è piccola). Di conseguenza, dovendo essere nulla la circuitazione del campo, la sua componente tangente alla superficie è nulla. ! E int = 0 ; ! ! E tg = 0 ⇒ E sup = E nˆ . Induzione elettrostatica Se in prossimità di un conduttore scarico poniamo una carica puntiforme q (oppure una distribuzione di cariche, più in generale), essa genera in tutto lo spazio circostante un campo elettrico, che tende a spostare le cariche presenti all’interno del conduttore. In particolare, le cariche negative si avvicineranno a q e quelle negative se ne allontaneranno (se q > 0). La superficie del conduttore (che globalmente rimane neutro) risulta quindi localmente carica: avremo una distribuzione di carica superficiale non uniforme, indotta dalla carica q esterna. Questo fenomeno prende il nome di induzione elettrostatica. Distribuzione delle cariche elettriche in un conduttore Prop.4 Le cariche presenti in un conduttore, sia esso carico o meno, una volta raggiunto l’equilibrio elettrostatico, si dispongono solo sulla superficie del conduttore, e non al suo interno. Dimostrazione. Se infatti consideriamo una superficie chiusa qualunque all’interno del conduttore, poiché il campo elettrico su questa superficie è ovunque nullo (siamo all’interno del conduttore), anche il flusso uscente sarà zero. La legge di Gauss ci dice perciò che la carica totale contenuta all’interno di questa superficie chiusa è nulla. Scegliendo una superficie molto piccola possiamo ottenere che in ogni punto all’interno del conduttore la densità di carica per unità di volume è nulla; solo alla superficie avremo una densità di carica superficiale diversa da zero. Estendendo la superficie di Gauss in modo che racchiuda tutto il volume del conduttore ne rimarranno fuori solo le cariche disposte sulla superficie. Se invece la superficie è esterna al conduttore, allora il campo su di essa è diverso da zero, quindi la carica globale all’interno può anche essere diversa da zero (se il conduttore è + + − − globalmente carico). − + +q In generale, dunque, sia che il conduttore sia carico, −− + sia che sia globalmente scarico ma localmente carico − + + per induzione, in condizioni di equilibrio elettrostatico −− ++ + − le cariche si distribuiscono solo sulla sua superficie. − + + 2.1.7 Teorema di Coulomb Thr. Il campo elettrico statico alla superficie di un conduttore è sempre normale; il suo modulo è direttamente proporzionale alla densità di carica superficiale σ , ed il verso è uscente (risp. entrante) là dove σ > 0 (risp. σ < 0 ).

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dS ! En

σ

dh

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Dimostrazione. Per ricavare questo importante risultato basta applicare la legge di Gauss ad una superficie cilindrica posta a cavallo della superficie del conduttore (vedi figura), con superficie di base dS infinitesima e con altezza dh infinitesima. Essendo 1)il campo elettrico all’interno del conduttore pari a zero, ed essendo 2)il campo alla superficie diretto come la normale (per la prop.3 precedentemente riportata), il flusso uscente dalla superficie cilindrica è pari al flusso uscente dalla sola base che si trova all’esterno del conduttore, cioè: Φ cil = E dS . Ora, la carica totale interna al cilindretto è quella che si trova sulla corrispondente sezione della superficie del conduttore, che ha area dS: Qint = σ dS . Di conseguenza, applicando la legge di Gauss, otteniamo: σ σ dS Q Φ cil = E dS = int = ⇒ E= ε0 ε0 ε0 Questo risultato prende il nome di Teorema di Coulomb: ! σ E sup = nˆ . ε0 Potenziale elettrostatico di un conduttore Prop. Il potenziale elettrostatico è uguale in tutti i punti di un conduttore ideale. Dimostrazione. Ricordiamo che il potenziale elettrostatico V si definisce in maniera tale che la differenza di potenziale tra due punti sia pari all’integrale di linea del campo elettrostatico tra questi due punti cambiato di segno. Se scegliamo due punti all’interno di un conduttore, la linea congiungente può essere scelta interamente all’interno del conduttore stesso: in questo caso il campo elettrico lungo la linea è nullo, quindi anche il suo integrale è zero. Per questo motivo il potenziale all’interno di un ! conduttore è uguale in tutti i suoi punti, cioè è uniforme E int = 0 (vedi figura). Anche alla superficie del conduttore, per lo B stesso motivo, il potenziale è lo stesso. [Ciò a rigore è vero VB = V A solo nel caso di conduttore ideale. Per un conduttore reale A il potenziale alla superficie è leggermente inferiore a quello interno, perché il campo elettrico varia in un tratto piccolo ma finito passando dall’interno alla superficie]. Si parla perciò di potenziale elettrostatico di un conduttore, senza che sia necessario specificare il punto in cui è misurato. Schermo elettrostatico Immaginiamo ora di avere un conduttore cavo, e una carica q all’esterno, che induce una distribuzione di cariche sulla superficie del conduttore. La proprietà di schermo elettrostatico del conduttore consiste nel fatto che all’interno della cavità, nonostante il fenomeno dell’induzione elettrostatica, il campo elettrico è zero, in condizioni di equilibrio elettrostatico. Se infatti consideriamo una superficie chiusa contenuta all’interno del conduttore, il flusso del campo elettrico uscente da essa è nullo, e quindi anche la carica totale contenuta al suo interno è nulla. Poiché non ci possono essere cariche − − + + all’interno del conduttore, esse potrebbero trovarsi ++ − + +q −− solo sulla superficie interna del conduttore, che ! + E − + racchiude la cavità, ma la loro somma algebrica deve + − − −− comunque essere nulla. Ora, se per assurdo ++ + − supponiamo che su tale superficie interna si trovi una − + + separazione fra cariche nette positive e cariche nette

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negative, le cariche generano un campo elettrico diverso da zero nella cavità (vedi figura). Tuttavia in questo caso potremmo sempre scegliere un percorso chiuso contenuto in parte all’interno della cavità, parallelamente alla direzione del campo elettrico, e per il resto all’interno del conduttore, dove il campo è sicuramente nullo: la circuitazione del campo elettrico su tale linea chiusa risulterebbe diversa da zero, contro le leggi dell’elettrostatica. Per questo motivo certamente l’ipotesi è assurda: in realtà sulla superficie interna non si trova alcuna densità di carica superficiale, ed anche il campo all’interno della cavità è nullo, indipendentemente dalle cariche che si trovano all’esterno del conduttore. Lo schermo elettrostatico può funzionare in qualche modo anche al contrario, cioè dall’interno verso l’esterno. Se poniamo una carica q all’interno della cavità, ovviamente il campo elettrico sarà diverso da zero; sulla superficie interna del conduttore si addensano cariche negative, in maniera tale che la loro somma sia pari a −q, poiché una superficie chiusa contenuta interamente all’interno del conduttore deve comunque racchiudere una carica globale nulla, in base alla legge di Gauss. Se dunque il conduttore era inizialmente neutro, sulla superficie esterna affioreranno cariche positive per un totale di +q, e quindi anche il campo elettrico all’esterno del conduttore sarà diverso da zero, e dipenderà dalla carica q presente all’interno della cavità. Tuttavia, se ora spostiamo la carica q all’interno della cavità, le cariche negative sulla superficie interna si ridistribuiscono, addensandosi maggiormente nei punti più vicini a q; le cariche positive sulla superficie esterna, + + + + ! E − invece, non si spostano affatto. − + −− + q Anche la distribuzione del campo elettrico all’esterno − + − − + − del conduttore, perciò, resta invariata: essa dipende sì − − − dalla carica interna, ma solo dalla sua entità, non + + + + ++ ! dalla sua posizione, né dalla forma e dalle dimensioni E della cavità.

8.2 Capacità elettrica Capacità elettrica di un conduttore Se carichiamo un conduttore, la densità di cariche alla superficie genera un campo elettrico diverso da zero all’esterno, e quindi il conduttore si trova ad un potenziale elettrostatico diverso da zero rispetto ad un punto a distanza infinita. Raddoppiando la carica totale del conduttore raddoppierà anche la densità di carica in ogni punto della superficie del conduttore, e quindi, se il conduttore è isolato, cioè non interagisce con altre cariche poste all’esterno, anche il campo elettrico e il potenziale del conduttore raddoppieranno. Oss. In generale, si può vedere che il potenziale di un conduttore isolato è direttamente proporzionale alla sua carica totale: ! ! cond ! Vcond = − ∫ ∞ E ⋅ dl ∝ E ∝ σ ∝ Qtot , avendo posto V ( ∞) = 0 . Def. Il rapporto tra la carica totale presente su un conduttore ed il suo potenziale elettrostatico è dunque una costante, che dipende solo dalla geometria (forma e dimensioni) del conduttore stesso; viene indicata con la lettera C e definita capacità elettrica del conduttore isolato: Q [Q ] = C ≡ F ("farad") . C ≡ tot ; [C] = Vcond [V ] V Oss. La capacità è sempre una costante positiva.

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Capacità di una sfera conduttrice isolata Se consideriamo, ad esempio, un conduttore sferico di raggio R, è molto semplice calcolarne la capacità. Possiamo infatti immaginare di caricarlo con una carica Q: la carica si dispone interamente sulla sua superficie, e per simmetria si dispone con densità uniforme su di essa. Il campo elettrico all’esterno della sfera ha quindi la stessa espressione del campo elettrico generato da una carica Q puntiforme, come si ricava applicando il teorema di Gauss e considerando la simmetria sferica del problema: ! ! Q E (r ) = uˆ r , r > R . 4 πε0 r 2 Anche il potenziale elettrostatico, quindi, all’esterno della sfera ha lo stesso andamento che per una carica puntiforme. Poiché il potenziale è sempre una funzione continua delle variabili spaziali, il potenziale del conduttore ha lo stesso valore che si ottiene dall’andamento esterno per r = R . Per completezza deriviamo nuovamente tale espressione: R R ! Q Q Q ˆ r u Vsfera = − ∫ = − . ⋅ d dr = ∫ 2 r 2 4 πε0 R ∞ 4 πε0 r ∞ 4 πε0 r La capacità della sfera si ottiene direttamente facendo il rapporto tra carica e potenziale, che naturalmente risulta indipendente dalla carica stessa: Csfera = 4 πε0 R. Potere delle punte Consideriamo ora due conduttori sferici di raggi R1 ed R2 , posti a grande distanza l’uno dall’altro; inizialmente, il primo sia carico con una carica Q ed il secondo sia scarico. Se poi le due sfere vengono collegate attraverso un filo conduttore ideale di sezione trascurabile, restando lontane nello spazio in modo da non interagire direttamente, ma solo attraverso il filo, esse si portano allo stesso potenziale elettrostatico, e ciò avviene attraverso un flusso di cariche lungo il filo (vedi figura) che porta ad una situazione finale di equilibrio elettrostatico in cui la carica sulla prima sfera è Q1 e quella sulla seconda Q 2 . Ricordiamo che dovrà valere, in base al principio di conservazione della carica: Q1 + Q2 = Q . Inoltre, per la isopotenzialità delle due sfere: Q1 = 4 πε0 R1V e Q2 = 4πε0 R2V . Q2 Q1 Da queste tre equazioni si ricava: R2 R1 R1 R2 Q Q , Q2 = Q,V = Q1 = R1 + R2 R1 + R2 4πε0 (R1 + R2 ) La carica si distribuisce quindi in misura direttamente proporzionale al raggio della sfera. Se però consideriamo la densità superficiale di carica, essa è più intensa sulla sfera più piccola: Q1 Q2 Q Q . , σ2 = = = σ1 = 2 2 4π R2 4π R2 (R1 + R2 ) 4π R1 4 π R1 ( R1 + R2 ) Poiché il campo elettrico alla superficie del conduttore, in base al teorema di Coulomb, è sempre direttamente proporzionale alla densità superficiale di carica, nel caso di due conduttori sferici posti in contatto elettrico esso risulta inversamente proporzionale al raggio. Oss. Si può dimostrare che, anche nel caso di un unico conduttore carico, di geometria qualunque, la densità di carica e quindi il campo elettrico alla superficie sono inversamente proporzionali, punto per punto, al raggio di curvatura, e quindi sono molto intensi in prossimità delle punte di un conduttore, cioè delle sporgenze con raggio di curvatura locale molto piccolo. Oss. Questo fenomeno può essere sfruttato per generare campi elettrici molto intensi partendo da cariche elettriche modeste e prende il nome di potere delle punte.

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