Appunti, magnetostatica nel vuoto - Fondamenti di meccanica teorica ed applicata - a.a 2015/2016 PDF

Preview

Summary

Download Appunti, magnetostatica nel vuoto - Fondamenti di meccanica teorica ed applicata - a.a 2015/2016 PDF

Description

Prof. G. Della Valle

Corso di FISICA – A.A. 2015-2016

11. Magnetostatica nel Vuoto (le sorgenti del campo magnetico) 11.1 La legge di Biot-Savart Nel paragrafo precedente abbiamo studiato gli effetti meccanici del campo magnetico, cioè l’interazione con i conduttori percorsi da corrente stazionaria, o più in generale con le cariche elettriche in moto rettilineo uniforme. Ora cerchiamo invece di capire come è possibile calcolare il campo generato da una o più correnti, che costituiscono le sorgenti del campo magnetico. Il caso più semplice è quello che abbiamo considerato all’inizio del capitolo: un conduttore rettilineo, molto lungo e di spessore trascurabile, attraversato da una corrente stazionaria I. Attraverso un circuito di prova possiamo misurare il campo magnetico generato. Si ottiene che: ! 1) il modulo di B è direttamente proporzionale alla corrente I ed inversamente proporzionale alla distanza r dal conduttore; 2) le linee di forza sono le circonferenze centrate sul conduttore, cioè la direzione è ortogonale sia alla corrente sia alla direzione radiale; 3) il verso del campo segue la regola della vite destrorsa rispetto al verso della corrente: lungo le ! circonferenze, B è orientato in verso antiorario per un osservatore che vede I fluire verso l’alto. Queste caratteristiche si possono sintetizzare in una semplice formula di natura sperimentale, nota come la legge di Biot! B Savart: ! B r In un sistema di coordinate cilindriche con l’asse z coincidente ! con il conduttore ed equiverso alla corrente, il campo vale ! B ! µ I B B = 0 uˆϕ , dove µ0 è una costante che prende il nome di 2π r I permeabilità magnetica del vuoto, il cui valore dipende dal modo in cui viene scelta l’unità di misura della corrente (Ampère). U.d.M La sua unità di misura è: 2 [µ 0 ]= [B ][r ]= Wb m m = V s = Ω s . [I ] A Am m Si introduce però un’ulteriore unità di misura, cioè l’Henry (H), definito come 1 H ≡ 1 Ω s , che, come vedremo, si utilizza anche per altre grandezze importanti in magnetostatica. La permeabilità magnetica del vuoto si misura quindi in Henry su metro, ed il suo valore nel S.I. è il seguente: µ 0 = 4π ×10−7 H m . Vedremo più avanti che questo valore, che non è arrotondato, deriva dal modo in cui viene definito l’Ampère. Oss. La legge di Biot-Savart esprime il campo magnetico generato da una corrente stazionaria che fluisce in un filo conduttore molto lungo: esso è l’effetto della sovrapposizione dei campi generati dai singoli tratti di conduttore attraversati dalla corrente. Oss. In un caso realistico, in cui la lunghezza del conduttore è comunque finita, questa legge si può considerare valida per il calcolo del campo magnetico in punti la cui distanza dal conduttore è molto inferiore alla lunghezza del conduttore stesso.

125

Prof. G. Della Valle

Corso di FISICA – A.A. 2015-2016

11.2 La prima formula di Laplace ! Il contributo di campo magnetico dB generato da un tratto di conduttore di lunghezza infinitesima dl percorso da una corrente stazionaria I sarà infinitesimo anch’esso; si può dimostrare che la sua espressione, dalla quale si ottiene la legge di Biot-Savart sommando tutti i contributi di !un conduttore rettilineo di lunghezza infinita, è la seguente: ! µ dl × r! dB = 0 I , ! 4!π r3 d B ! ! dove dl è un vettore di lunghezza dl orientato come la corrente I, r è il r vettore che va dal tratto di conduttore al punto P in cui misuriamo il dl ! campo, ed r è il modulo di r . I Oss. Il campo generato è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, come nel caso del campo elettrostatico (oltre che del fattore r3 a denominatore bisogna ! tenere conto anche del termine r che compare a numeratore). Oss. La direzione del campo è ortogonale sia al tratto di conduttore sia al vettore congiungente, come nel caso del conduttore rettilineo molto lungo; il suo verso è quello in cui procede una vite ! ! destrorsa avvitata da dl verso r . ù

Il campo magnetico generato da un filo conduttore di forma generica attraversato da una corrente stazionaria I si calcola semplicemente sommando tutti i contributi generati dai singoli tratti di filo, cioè eseguendo un integrale lungo la linea corrispondente al conduttore. Per un circuito! chiuso descritto dalla linea l, quindi, il campo generato in un punto P di vettore posizione r vale: ! ! ! ! µ0 dl × ( r − r ′) I∫ B= ! !3 , 4π " r −r′ l ! dove r ′ rappresenta il vettore posizione del generico tratto di conduttore appartenente alla linea chiusa l, che varia nell’integrale. Le leggi che abbiamo scritto, nella forma differenziale ovvero in quella integrale, sono note con il nome di prima formula di Laplace per il calcolo del campo magnetico. Oss. Nel caso di un tratto di filo conduttore non chiuso, per calcolare il campo magnetico basta estendere l’integrale alla linea aperta corrispondente. Oss. Per un conduttore rettilineo di lunghezza infinita eseguendo l’integrale si ottiene la legge di Biot-Savart. Un caso ancora più generale è quello di un conduttore non filiforme (cioè di spessore !non trascurabile), all’interno del quale sia nota la distribuzione del vettore densità di corrente J . In questo caso si può che il campo magnetico generato dalla distribuzione di corrente ! ! dimostrare ! ! ! µ0 J ( r ′ ) × ( r − r ′ ) vale: B = dτ , dove τ rappresenta il volume del conduttore interessato dal ! ! 3 4 π ∫τ r − r′ flusso di corrente stazionaria. Il vettore densità di corrente non è in generale uniforme, ma aumenta là dove la sezione del conduttore si riduce. Oss. Utilizzando queste relazioni siamo in grado, almeno in linea teorica, di calcolare il campo magnetico (statico) generato da una distribuzione qualunque di correnti stazionarie. Oss. E’ facile intuire, però, che in molti casi il calcolo degli integrali vettoriali necessari può risultare molto complesso o addirittura proibitivo. Come già per il campo elettrostatico, tuttavia, in alcune situazioni di particolare simmetria si possono utilizzare alcune leggi che semplificano notevolmente i calcoli. Nei prossimi paragrafi vedremo appunto queste relazioni.

126

Prof. G. Della Valle

Corso di FISICA – A.A. 2015-2016

11.3 Legge di Gauss per il campo magnetico Mentre per il campo elettrico il flusso uscente da una superficie chiusa S si può calcolare facilmente applicando la legge di Gauss, e risulta direttamente proporzionale alla carica elettrica contenuta all’interno di S, per il campo magnetico il flusso uscente da una superficie chiusa è sempre nullo: ! ! Φ S, chiusa B ≡ " ∫ B ⋅ nˆ dS = 0 .

( )

S

Oss. Questa legge si può dimostrare in maniera rigorosa, sostituendo nell’integrale che definisce il flusso la relazione che esprime il campo magnetico generato da una distribuzione di corrente stazionaria. Oss. Da un punto di vista intuitivo, ciò significa che tutte le linee di forza del campo magnetico che entrano in una superficie chiusa ne escono in un altro punto, e viceversa, al contrario di quanto avviene per il campo elettrico: per questo motivo il flusso globale è sempre nullo. Infatti le linee di forza del campo magnetico sono sempre delle linee chiuse, come abbiamo visto nel caso particolare del filo conduttore rettilineo molto lungo, in cui le linee di forze sono circonferenze centrate sul conduttore e ortogonali ad esso. Esse non hanno punti di origine (sorgenti) né di arrivo (pozzi), che per il campo elettrico sono rispettivamente le cariche elettriche positive e quelle negative: per questo motivo tutte quelle ! che entrano in una superficie chiusa devono anche uscirne, e B viceversa. Oss. Per questo motivo, dal punto di vista fisico, questa legge S esprime il fatto che in natura non esistono cariche magnetiche, cioè gli equivalenti formali delle cariche elettriche. Più precisamente non esistono i cosiddetti monopoli magnetici. Anche un magnete (calamita) contiene sempre due poli magnetici, e se anche viene spezzato si divide in due magneti, ciascuno dei quali contiene due poli magnetici, che appaiono quindi come indivisibili.

11.4 La legge della circuitazione di Ampère La circuitazione del campo magnetico statico, al contrario di quella del campo elettrico statico, non è sempre nulla: il campo magnetico non è conservativo: per questo motivo non si può introdurre un potenziale magnetostatico, come si fa nel caso elettrico. Applicando la relazione che lega il campo magnetico alle sue sorgenti si ricava che la circuitazione è direttamente proporzionale alla corrente totale concatenata con il circuito l considerato, e precisamente: ! ! "∫ B ⋅ dl = µ 0 I conc .

I1

Γ

Per corrente concatenata con la linea chiusa l si intende quella che attraversa dei conduttori che sono avvolti dal circuito, ovvero il flusso del vettore densità di corrente attraverso una superficie S che ha Γ per contorno: ! I conc = ∫ J ⋅ nˆ dS .

Γ

I conc

I2

I3

Γ l

I conc = 2I1 − I2 + I3

S, cont .Γ

Se dunque abbiamo più fili concatenati a Γ, la corrente totale concatenata è la somma delle correnti che vi fluiscono, prese con segno positivo se sono dirette verso l’alto per un osservatore che vede il circuito percorso in senso antiorario, con segno negativo in caso contrario.

127

Prof. G. Della Valle

Corso di FISICA – A.A. 2015-2016

Uno stesso conduttore può essere concatenato più volte al circuito, se l non è una linea semplice: in questo caso la corrente corrispondente va contata più volte (vedi figura). Questa relazione prende il nome di legge della circuitazione di Ampère ed è molto utile per il calcolo del campo magnetico in condizioni di particolare simmetria. Oss. Ad esempio, dalla legge della circuitazione di Ampera si ricava facilmente la legge di BiotSavart, considerando che il campo generato da un filo conduttore rettilineo di lunghezza infinita può dipendere, in modulo, solo dalla distanza r dal conduttore stesso. La direzione del campo è sicuramente azimutale, poiché tutti i contributi di campo generati dai singoli tratti di conduttore hanno la stessa direzione. A questo punto basta scegliere come circuito una circonferenza di raggio r generico centrata sul conduttore ed ortogonale ad esso: applicando la legge della circuitazione si trova il modulo del campo, che rispetta la legge di Biot-Savart. Oss. Lo stesso procedimento si può seguire per calcolare il campo generato da un filo conduttore molto lungo di sezione non trascurabile, distinguendo la regione esterna al conduttore da quella al suo interno, o anche quello generato da un conduttore cavo attraversato da corrente stazionaria. Nel caso di più conduttori si può sempre applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.

11.5 Esempi di calcolo del campo magnetico La prima formula di Laplace, insieme al principio di sovrapposizione, è quanto basta per calcolare il campo magnetico prodotto in un generico punto dello spazio da un sistema di correnti stazionarie assegnato. Tuttavia questo procedimento generale implica una integrazione di tipo vettoriale, che in generale è assai complessa. In alcuni casi in cui la distribuzione delle correnti gode di particolari simmetrie, il calcolo del campo magnetico può essere svolto assai più facilmente utilizzando la legge della circuitazione di Ampère, senza ricorrere alla prima formula di Laplace. Filo rettilineo infinito a sezione circolare uniforme Ad esempio, se abbiamo un conduttore rettilineo di lunghezza molto grande, a sezione circolare di raggio R, all’interno del quale fluisce una corrente stazionaria I distribuita in maniera uniforme nella sezione, il campo magnetico generato obbedisce alle stesse leggi che abbiamo visto per il conduttore di spessore trascurabile per quanto riguarda la direzione e la dipendenza dalle coordinate. In un sistema di coordinate cilindriche con l’asse z coincidente con l’asse del conduttore e diretto secondo il verso della corrente, l’espressione del campo magnetico è del tipo: ! ! B(r ) = B(r)uˆϕ . Se dunque consideriamo come linea chiusa sulla quale eseguire la circuitazione una circonferenza di raggio r centrata sull’asse z e giacente in un piano ortogonale ad esso, la legge della circuitazione di Ampère si scrive: B(r )2π r = µ0 I conc (r ) , dove I conc (r ) indica l’intensità totale della corrente concatenata all linea chiusa di raggio r. A questo punto si distinguono due casi: per r > R , cioè al di fuori del conduttore, la linea chiusa concatena tutta la corrente che fluisce nel conduttore, cioè I conc (r ) = I , mentre se siamo all’interno del conduttorela corrente concatenata è solo una frazione di I: I conc (r ) = J π r 2 = I r 2 R 2 , per r < R . Di conseguenza anche il campo magnetico ha un andamento differente nelle due regioni di spazio:

128

Prof. G. Della Valle

Corso di FISICA – A.A. 2015-2016

⎧ µ0 I r ˆ ⎪2π R 2 uϕ , r < R ! ! ⎪ B(r ) = ⎨ ⎪µ 0 I uˆ , r > R ⎪⎩2π r ϕ Oss. Si osservi che all’esterno del conduttore il campo segue la legge di Biot-Savart, come avviene per un conduttore di spessore trascurabile. Oss. Inoltre, la situazione è analoga per certi versi a quella che si incontra nel calcolo del campo elettrico generato da una distribuzione di carica sferica (o cilindrica) omogenea, che all’esterno ha lo stesso andamento che avrebbe se tutta la carica fosse concentrata nel centro, mentre all’interno ha un andamento linearmente crescente con la distanza.

Spira circolare (campo sui punti dell'asse) Il campo magnetico generato da una spira circolare, invece, ha un andamento più complesso, e si calcola applicando la prima formula di Laplace. E’ abbastanza semplice calcolare il suo andamento sull’asse della spira, perché, in base a considerazioni di simmetria, il campo in ogni punto dell'asse della spira è sempre diretto parallelamente all’asse stesso. Spponiamo che la spira circolare abbia raggio R e sia percorsa dalla corrente (stazionaria) I. Fissiamo un SdR cilindrico (r , ϕ , z ) centrato nel centro della spira, e con l'asse z diretto come l'asse della spira e verso piedi-testa di un osservatore che vede la corrente circolare ! nella spira in senso antiorario. Un generico punto sull'asse è individuato dunque dal vettore r = zuˆz . Data la nostra scelta del SdR, possiamo rappresentare l'elemento infinitesimo della spira come il vettore ! dl = Rdϕuˆϕ . Esso è localizzato a distanza R dal centro della spira, e quindi la sua posizione è ! semplicemente r′ = Ruˆr . La posizione relativa del punto generico sull'asse rispetto all'elemento ! ! di spira è dunque il vettore r − r ′ = zuˆz − R uˆ r - Ruˆr , il cui modulo vale z 2 + R 2 . Abbiamo quindi tutti gli elementi per riscrivere la prima formula di Laplace per il contributo elementare al campo su un generico punto dell'asse in funzione dei parametri della spira: ! ! µ0 dl × (r! − !r′ ) µ0 Rdϕ uˆϕ × (zuˆ z − Ruˆ r ) µ0 zuˆ r + Ruˆ z I dB = I ! ! 3 = = IR 3/2 dϕ . 3/2 4π 4π 4π r − r′ z 2 + R2 z 2 + R2

(

)

(

)

Come previsto in base alle considerazioni di simmetria, questo contributo elementare al campo è indipendente dalla coordinata angolare ϕ . Dunque integrando rispetto a ϕ su tutto l'angolo giro ! le componenti radiali dei diversi contributi elementari dB andranno ad annullarsi tra loro, mentre rimarrà una componente risultante non nulla lungo z: ! ! 2π ! µ0 µ0 R 2 I Ruˆz ˆ B= " d B = B( ϕ π 2 d = IR = ) 3/2 3/2 u z ∫l ∫0 4π 2 z 2 + R2 z 2 + R2

(

)

(

)

Solenoide (ideale infinito) Un insieme di molte spire affiancate, tutte percorse dalla stessa corrente stazionaria I, costituisce un solenoide, ed è una sorgente di campo magnetico più intensa rispetto alla singola spira (vedi figura). Certamente, come per la singola spira, il campo magnetico sull'asse z è diretto come l'asse z stesso e con verso il verso piedi-testa dell'osservatore che vede la corrente circolare in senso antiorario.

129

dz

I

Prof. G. Della Valle

Corso di FISICA – A.A. 2015-2016

Inoltre a grande distanza dal solenoide, in base alla I formula di Laplace, il campo sarà certamente nullo. Nel caso di un solenoide costituito da un numero di spire N molto grande e di lunghezza complessiva L molto maggiore del raggio R, il calcolo del campo magnetico può essere eseguito in maniera semplice introducendo l'approssimazione di considerare il solenoide come se fosse di lunghezza infinita. Allora, in base a considerazioni di simmetria, l'unica componente non nulla del campo sarà quella parallela all'asse del solenoide e inoltre il suo valore dovrà essere indipendente dalla coordinata z (invarianza traslazionale continua lungo la direzione z). Applicando il teorema della circuitazione di Ampere, si può dimostrare che il campo deve essere uniforme sia all'interno che all'esterno del solenoide e si può anche determinarne il valore. Consideriamo infatti due punti, 1 e 2, arbitrari all'interno del solenoide posti a diversa distanza dall'asse z. Prendiamo una linea chiusa di forma rettangolare interamente contenuta nel solenoide e con due lati di lunghezza d paralleli all’asse z (e gli altri due ortogonali ad esso), il primo passante per il punto 1 ed il secondo passante per il punto 2. A tale linea non è concatenata alcuna corrente e la circuitazione del campo magnetico vale semplicemente: ! ! B "∫ ⋅ dl = B1d − B2 d = 0 , quindi risulta B1 = B2 : il campo è uniforme all'interno del solenoide. Analogamente si può procedere per dimostrare l'uniformità del campo al di fuori, e questo, insieme al fatto che a grande distanza il campo deve annullarsi, implica che ovunque fuori dal solenoide il campo debba esssere nullo (sempre per un solenoide ideale infinitamente lungo, mentre nel solenoide reale il campo sarà circa uniforme e di entità non nulla ma molto inferiore al campo interno). Se invece prendiamo due punti, 1, interno, e 2, esterno al solenoide, e di nuovo una linea rettangolare che passa per tali punti e con due lati lunghi d e paralleli all'asse z, abbiamo la possibilità di determinare il campo magnetico all'interno solenoide. A tale linea è concatenata infatti una corrente pari al numero di spire presenti nel tratto d, e cioè nd, con n ≡ N L il numero di spire per unità di lunghezza. ! ! Quindi la circuitazione del campo magnetico vale: "∫ B ⋅ dl = B1d = Bint d = µ0 nd I , semplicemente perchè il campo B2 è nullo. In questo modo si ottiene per il campo magnetico all’interno del solenoide la semplice espressione seguente Bint = µ0 n I .

130...