Appunti sulle travi - Fondamenti di meccanica strutturale a.a. 2014/2015 PDF

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H-1 Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuni Schema - Trave appoggiata agli estremi con carico concentrato

Relazioni

a b R A = ------ ⋅ F ; R B = ------ ⋅ F l l T A = R A ; T B = –R B MA = MB = 0 a⋅b M ma x = R A ⋅ a = R B ⋅ b = ---------- ⋅ F l 1 F ⋅ a 2 ⋅ b-2 f = --- ⋅ ---------------------3 E⋅I⋅l

- Trave appoggiata agli estremi con carico uniformemente distribuito

q⋅l R A = R B = -----------2 T A = R A ; T B = –R B MA = MB = 0 1 M ma x = --- ⋅ q ⋅ l 2 8 1 q ⋅ l4 f = --------- ⋅ ----------384 E ⋅ I

- Trave con un appoggio intermedio e con carico concentrato all’estremo del tratto a sbalzo

l+a b R A = ------ ⋅ F ; R B = -------------- ⋅ F l l b T A = –------ ⋅ F ; l

TB = F

MA = 0 M ma x = –F ⋅ b F ( l + b ) ⋅ b2 f = ---------- ⋅ ------------------------E⋅I 3

Continua

H-2

MECCANICA

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuni Schema - Trave appoggiata agli estremi con carico uniformemente distribuito su un tratto

Relazioni

a2 a + 2b R A = q ⋅ a ⋅ ------------------- ; R B = q ⋅ ----2l 2l TA = RA ; TB = – RB MA = MB = 0 R A2 M ma x = -----q RA x = -----q

- Trave simmetrica con appoggi intermedi e carichi concentrati agli estremi

RA = RB = F T A = –R A ;

TB = RB

M ma x = –F ⋅ a F ⋅ a ⋅ l2 f 1 = ------------------8⋅E⋅I F ⋅ a2 f = ----------------- ⋅ ⎛ a + 3l -----⎞ 3⋅E⋅I ⎝ 2⎠ - Trave simmetrica con appoggi intermedi e carico uniformemente distribuito

q ⋅ l2 R A = R B = ----------2 TA = RA ; TB = RB q ⋅ aM A = –-----------2 q ⋅ l2 M 1 = ----------- ⋅ ⎛ b--- – 1---⎞ 4 ⎝ l 2⎠ q⋅a f = -------------------- ⋅ ( 3a 2 – b 3 + 6a 2 ⋅ b ) 24 ⋅ E ⋅ I Continua

H-3 Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuni Schema - Trave appoggiata agli estremi con carico distribuito variabile con legge lineare (triangolare)

Relazioni

q⋅l R A = --------3

;

q ⋅ -l R B = -------6

TA = RA ; TB = – RB MA = MB = 0 16 M ma x = --------- ⋅ q ⋅ l 2 250 q ⋅ l4 f ma x = 0, 013 ⋅ ------------2E ⋅ I

- Trave incastrata a un estremo con carico concentrato all’estremo libero

RA = F T = TA = T B = R A M ma x = M A = – F ⋅ l 1 F ⋅ l3 f = --- ⋅ -----------3 E⋅I

- Trave incastrata a un estremo con carico uniformemente distribuito

RA = q ⋅ l TA = RA ⋅ lM ma x = M A = – q---------2

2

1 q ⋅ l4 f = --- ⋅ ----------8 E⋅I

Continua

H-4

MECCANICA

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuni Schema - Trave incastrata a un estremo con carico distribuito variabile con legge lineare (triangolare)

Relazioni

⋅ -l RA = q -------2 TA = RA q ⋅ l2 M ma x = M A = – ---------6 1 q ⋅ l4 f = ------ ⋅ ----------30 E ⋅ I

- Trave incastrata a un estremo e appoggiata all’altro con carico concentrato

F R A = ------- ⋅ (3l2 – b 2 ) ⋅ b ; 2l3 F R B = ------- ⋅ ( 2l + b ) ⋅ a 2 2l3 TA = RA ; TB = – RB F ⋅ a ⋅ b ⋅ ( l + b)M A = – -------------------------------------2l2 F ⋅ a2 ⋅ b ⋅ ( 2l + b )M C = -------------------------------------------2l3 3 F a ⋅ b 2 ⋅ ( 3l + b )f C = ---------- ⋅ -------------------------------------E⋅I 12l3 3 l–x F⋅ a l–x f x = ---------------- 3b – ( 2l + b ) ⋅ ⎛ ---------- ⎞ ⎛ ----------⎞ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ 12E ⋅ I

- Trave incastrata ai due estremi con carico concentrato

F ⋅ ( l + 2a ) ⋅ a -2 R A = -----------------------------------l3 ⋅ ( l + 2b ) ⋅ b 2RB = F -----------------------------------l3 TA = RA ; TB = – RB F ⋅ a⋅ b2 M A = – --------------------l2 ⋅ a 2 ⋅ bMB = – F -------------------l2 2F ⋅ a2 ⋅ b 2M B = – -------------------------l3 3 ⋅ b3 F a-------------f C = ---------- ⋅ E⋅I 3l3

Continua

H-5 Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuni Schema - Trave incastrata a un estremo, appoggiata all’altro e con carico uniformemente distribuito

Relazioni

3 5 R A = --- ⋅ q ⋅ l ; R B = --- ⋅ q ⋅ l 8 8 TA = RA ; TB = – RB 1 M A = --- ⋅ q ⋅ l 2 8 9 M C = --------- ⋅ q ⋅ l2 158 1 q⋅ l4 f = --------- ⋅ ----------185 E ⋅ I

- Trave incastrata a un estremo, con un appoggio intermedio e con carico uniformemente distribuito

q⋅l a- ⎞ 3l – ---R A = --------- ⋅ ⎛3 – ----2a 4l ⎠ 2 ⎝ q ⋅ l 3l a R B = --------- ⋅ ⎛⎝ ------ + ----- – 1⎞⎠ 2 2a 4l TA = RA ; TB = RB 2b 2 – a 2 M A = q ⋅ l ⋅ -------------------8l q ⋅ b2 M B = – -----------2

- Trave incastrata ai due estremi e con carico uniformemente distribuito

M A = M ma x

se a > 6 ⋅ b

M B = M ma x

se a < 6 ⋅ b

⋅ -l RA = RB = q -------2 TA = RA ; TB = – RB 1- q l2 M A = M B = – ----⋅ ⋅ 12 1 M C = ------ ⋅ q ⋅ l 2 24 1 q⋅ l4 f = --------- ⋅ ----------384 E ⋅ I Continua

H-6

MECCANICA

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuni Schema - Trave su tre appoggi simmetrici e con carichi concentrati equidistanti dagli appoggi

Relazioni

22 5 R A = R B = ------ ⋅ F ; R C = ------ ⋅ F 16 16 TA = RA ; TB = – RB 5 M A = M B = ------ ⋅ F ⋅ l 32 3 M C = – ------ ⋅ F ⋅ l 16

- Trave su tre appoggi simmetrici e con carico uniformemente distribuito

3 5 R A = R B = --- ⋅ q ⋅ l ; R C = --- ⋅ q ⋅ l 8 4 TA = RA ; TB = – RB 9 M = --------- ⋅ q ⋅ l 2 128 MC = – 1 --- ⋅ q ⋅ l2 8

- Trave simmetrica incastrata agli estremi, con un appoggio in mezzeria e con carico uniformemente distribuito

1 R A = R B = --- ⋅ q ⋅ l ; 2

RC = q ⋅ l

1 M = ------ ⋅ q ⋅ l 2 24 1- ⋅ q ⋅ l 2 M A = M B = M C = – ----12

Continua

H-7 Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuni Schema - Trave su quattro appoggi simmetrici e con carico uniformemente distribuito sulla campata centrale

Relazioni

R A = R D = 0, 005 ⋅ q ⋅ l R B = R C = 0, 550 ⋅ q ⋅ l 5 M = ------ ⋅ q ⋅ l 2 67 1 M A = M B = M C = – ------ ⋅ q ⋅ l 2 20 - Trave su quattro appoggi simmetrici e con carico uniformemente distribuito sulle campate laterali

R A = R D = 0, 450 ⋅ q ⋅ l R B = R C = 0, 550 ⋅ q ⋅ l 1- ⋅ q ⋅ l 2 M 1 = – ----20 10 M 2 = ------ ⋅ q ⋅ l 2 99

- Trave su quattro appoggi simmetrici e con carico uniformemente distribuito sulle campate laterali

R A = 0, 383 ⋅ q ⋅ l ; R B = 1, 2 ⋅ q ⋅ l R C = 0, 450 ⋅ q ⋅ l ; R D = 0, 033 ⋅ q ⋅ l 1 1 M 1 = ------------ ⋅ q ⋅ l 2 ; M B = –------------ ⋅ p ⋅ l 2 8, 55 12, 7 1 1 - q l2; M C = – ----------⋅ ⋅ M 2 = ------------ ⋅ q ⋅ l 2 18, 3 30, 3

- Trave su cinque appoggi simmetrici e con carico uniformemente distribuito

R A = 0, 393 ⋅ q ⋅ l ; R B = 1, 143 ⋅ q ⋅ l R C = 0, 929 ⋅ q ⋅ l ; R D = 1, 143 ⋅ q ⋅ l R E = 0, 393 ⋅ q ⋅ l 1 1 M 1 = ------ ⋅ q ⋅ l 2 ; M B = –------------ ⋅ p ⋅ l 2 8, 55 13 1 1 M C = – ------------ ⋅ q ⋅ l 2 ; M 2 = --------------- ⋅ q ⋅ l 2 27, 75 14, 1 Continua

H-8

MECCANICA

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuni Schema - Telaio incernierato agli estremi e con carico concentrato sulla parte orizzontale

Relazioni

⋅ b- ; R = F ⋅ aRA = F ------------------B l l hk = ----l 3 ⋅F ⋅a ⋅ b H A = H B = ---------------------------------------2 ⋅ h ⋅ l ⋅ ( 2k + 3 ) 3 ⋅F ⋅a ⋅b M C = M E = --------------------------------2 ⋅ l ⋅ ( 2k + 3 ) F ⋅ a ⋅ b 4k + 3 M D = ------------------ ⋅ --------------2l 2k + 3

- Telaio incernierato agli estremi e con carico concentrato su una parte verticale

F⋅ h R A = R B = ------------1l F ⋅ h 4h 3 + h 13 – 3h 1 ⋅ h 2 + H A = ----------- ⋅ --------------------------------------------2⋅ l h ⋅ ( 2h + 3l ) 6h ⋅ l – 3h 1 ⋅ h ⋅ l + ---------------------------------------h ⋅ ( 2h + 3l) HB = F – H A ME = HA ⋅ h ; MC = HA ⋅ h – F ⋅ h 2 M D = –H B ⋅ h = – ( F – HA ) ⋅ h

Continua

H-9 Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuni Schema - Telaio incernierato agli estremi e con carico uniformemente distribuito sulla parte orizzontale

Relazioni

q ⋅ -l R A = R B = -------2 q ⋅ l2 H A = H B = ----------------------------------h 4h ⋅ ⎛⎝2 ------ + 3⎞⎠ l q ⋅ l 2 2h + l M D = ----------- ⋅ ----------------8 2h + 3l q ⋅ l2 M C = M E = ------------------------------h 4 ⋅ ⎛ 2 ------ + 3⎞ ⎝ l ⎠

- Telaio incernierato agli estremi e con carico uniformemente distribuito su una parte verticale

q ⋅ h2R A = R B = -----------2l q ⋅ h ---------------------h + 18-l H A = ---------- ⋅ 11 8 2h + 3l H B = q ⋅ h – HA q ⋅ h 2 -------------------hk + 18- ⎞2 k = ----M E = ------------- ⋅ ⎛11 ; ⎝ 128 2k + 3 ⎠ l h 11 k + 18 h E = --- ⋅ ⎛--------------------- ⎞ 8 ⎝ 2k + 3 ⎠ 3 h + 2l M C = --- ⋅ q ⋅ l2 ⋅ ----------------8 2h + 3l q ⋅ h 2 5k + 6 M D = –------------- ⋅ --------------8 2k + 3

Continua

H-10

MECCANICA

Tabella H.1 Travi variamente vincolate e sottoposte ai tipi di carichi più comuni Schema - Telaio incastrato agli estremi e con carico concentrato sulla parte orizzontale

Relazioni

F ⋅ b 6 ⋅ h ⋅ l + l 2 + a ⋅ l – 2a 2R A = ----------- ⋅ -------------------------------------------------------l 6 ⋅ h ⋅ l + l2 F ⋅ a 6 ⋅ h ⋅ l + 3 ⋅ a ⋅ l – 2a 2R B = ----------- ⋅ ----------------------------------------------------l 6 ⋅ h ⋅ l + l2 3 ⋅F ⋅a ⋅ b H A = H B = -------------------------------------h 2 ⋅ h ⋅ l ⋅ ⎛ --- + 2⎞ ⎝l ⎠ F ⋅ a ⋅ b 5 ⋅ h ⋅ l – l2 + 2a ⋅ ( h + 2l ) M A = ------------------ ⋅ --------------------------------------------------------------( h + 2 l ) ⋅ ( 6h + l ) 2l F ⋅ a ⋅ b 3l + 7 ⋅ h ⋅ l – 2a ⋅ ( h + 2l ) M B = ------------------ ⋅ ---------------------------------------------------------------( h + 2 l ) ⋅ ( 6h + l) 2l MC = MA – HA ⋅ h ME = MB – HB ⋅ h M D = M A – H A ⋅ h + RA ⋅ a

- Telaio incastrato agli estremi e con carico concentrato su una parte verticale

3 ⋅ F ⋅ h 21 R A = R B = -------------------------- ; H A = F – HB 6 ⋅ h ⋅ l + l2 F ⋅ h1 h - ⋅ 3 ⋅ ⎛ h--- + 1⎞ – ----1- ⋅ H B = ---------------------------------⎝ ⎠ h l h 2 ⋅ h 2 ⋅ ⎛ --- + 2⎞ ⎝l ⎠ ⋅ ⎛ 2 ⋅ --h- + 1⎞ ⎝ ⎠ l F ⋅ h 2 2h M A = – -------------1 ⋅ -----– 2h h1 3h 2 h ⋅ l + 2 h 2 – h ⋅ ( h + l )- – --------------------------– 3-------------------------------------------------------6 ⋅ h2 + h ⋅ l h2 + 2 ⋅ h ⋅ l F ⋅ h2 ⋅ h ⋅ l + 2h 2 – h ⋅ ( h + l)- – M B = -------------1 ⋅ 3-----------------------------------------------------------2⋅h h2 + 2 ⋅ h ⋅ l 3h 2 – --------------------------6 ⋅ h2 + h ⋅ l ME = MA + HA ⋅ h1 M D = M – HB ⋅ h M C = M A + H A ⋅ h 1 – F ⋅ h2

H-11

H-12

MECCANICA...