Appunti - Fisica - Proprietà magnetiche dei materiali - a.a. 2015/2016 PDF

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5

PROPRIETÀ MAGNETICHE DEI MATERIALI

A seguito della scoperta di Ørsted dell’azione magnetica prodotta da un filo conduttore percorso da corrente l’ipotesi più naturale che molti fisici avanzarono per spiegare questo effetto fu che in tale circostanza il filo conduttore diventa un magnete. Nel 1820 Ampère propose un’interpretazione alternativa che, al contrario, ipotizzava che il magnete si dovesse ritenere costituito da un insieme di correnti. In particolare Ampère immaginò che, ad esempio, all’interno di un magnete cilindrico si situasse un complesso di correnti circolari equiverse, disposte perpendicolarmente all’asse del magnete. In tale modello, un filo conduttore fisso percorso da corrente situato parallelamente all’asse del Andrè Marie Ampère magnete determina una forza su questo facendolo deviare. Tale ipotesi è alla base dell’interpretazione moderna dei fenomeni magnetici. L’attuale conoscenza della struttura microscopica della materia ci porta a ricondurre, in una descrizione classica degli atomi, le correnti amperiane ai moti degli elettroni negli atomi. In un tale modello per  l’atomo di idrogeno, ad esempio, l’elettrone ruota attorno al nucleo con velocità v costante lungo un percorso circolare. Se r è il raggio dell’orbita, il tempo T necessario a descrivere tale orbita è:

T=

2π r , v

e la corrente I associata a questo moto è: I=

e ev = , T 2π r

(5.1)

dove e rappresenta la carica dell’elettrone. Dal teorema di equivalenza di Ampere, se S indica la  superficie dell’orbita, il momento magnetico m associato a questo moto ha modulo pari a: m = IS =

ev 1 π r 2 = evr . 2π r 2

 Siccome il modulo del momento angolare L dell’elettrone rispetto all’asse di rotazione vale me vr , dove me indica la massa dell’elettrone, il momento magnetico si scrive:

r L

r v r

 e   m = − L ,  2 me 

dove il segno meno segue dal fatto che la carica dell’elettrone è negativa.

r m

5-2

Proprietà magnetiche dei materiali

Una descrizione completa dei fenomeni atomici richiede l’impiego della meccanica quantistica, nondimeno in tale ambito è possibile provare che la relazione precedente continua a restare valida, sebbene il momento angolare possa assumere solo valori proporzionali ad una quantità  pari a h ( 2π ) , in cui h, detta costante di Planck, vale 6.62 × 10−34 J ⋅ s circa; in particolare risulta:

L =  l (l + 1 )

l = 0, 1, 2, … ,

e pertanto:

m = l (l + 1)

e 2 me

l = 0, 1, 2, … .

Il momento magnetico corrispondente alla rivoluzione dell’elettrone attorno al nucleo prende il nome di momento magnetico orbitale. Siccome nella maggior parte delle sostanze il momento orbitale di un elettrone si compensa con quello, di verso contrario, di un altro elettrone orbitante nella direzione opposta, l’effetto magnetico prodotto dal moto orbitale degli elettroni è nullo o molto piccolo. Un ulteriore contributo al momento magnetico dell’atomo è costituito da una caratteristica dell’elettrone che prende il nome di spin e rappresenta un momento angolare  intrinseco di questa particella. Il modulo dello spin S è pari a  ( 2π ) ed a tale momento angolare è associato un momento magnetico, detto momento magnetico di spin mB , che in questo caso assume il valore:  e   mB = −   S .  me 

pertanto: mB =

e . 2me

Negli atomi o molecole gli elettroni sono accoppiati tra loro con gli spin in direzioni opposte con la conseguente compensazione dei relativi momenti magnetici; tuttavia gli atomi con un numero dispari di elettroni o quelli in cui l’accoppiamento con gli spin contrapposti non è favorito energeticamente, possono avere uno o più elettroni spaiati e, di conseguenza, un momento magnetico non nullo. In generale il momento magnetico di un atomo è la somma vettoriale, calcolata secondo le regole della meccanica quantistica, dei momenti magnetici orbitali e di spin1.  Anche i costituenti del nucleo atomico, il protone ed il neutrone, possiedono un momento angolare di spin S di modulo pari a  ( 2π ) e di conseguenza determinano un momento magnetico. Per il protone risulta: 1

 e  m p = 2.79   2m  p

  S  , 

dove m p è la massa del protone; per il neutrone si ha:  e    m n = −1.91  S ,  2 mn 

Proprietà magnetiche dei materiali

5.1

5-3

Magnetizzazione

Consideriamo un materiale omogeneo in cui gli atomi o le molecole costituenti siano dotati di un momento magnetico elementare; supponiamo di realizzare un cilindro macroscopico molto lungo rispetto alla sua sezione. Supponiamo infine che tutti questi momenti magnetici siano allineati parallelamente all’asse del cilindro; in tale circostanza si osserva che le correnti elementari interne al cilindro tendono ad elidersi mutuamente, lasciando il solo contributo delle correnti situate in corrispondenza della superficie. Pertanto, dal punto di vista macroscopico il cilindro magnetizzato equivale ad una distribuzione superficiale di corrente; tale corrente prende il nome di corrente di magnetizzazione. La corrente di magnetizzazione può essere descritta in maniera quantitativa introducendo il vettore  di magnetizzazione M in maniera analoga a quanto già fatto col vettore di polarizzazione per i  materiali dielettrici; sia m il momento magnetico medio nella direzione dell’asse del cilindro magnetizzato e n il numero di molecole per unità di volume, allora, una misura del grado di allineamento dei dipoli magnetici molecolari del cilindro è dato dal vettore:   M ≡n m .

Consideriamo un tratto di lunghezza l del cilindro testé introdotto; per effetto della sua magnetizzazione uniforme, il  vettore M sarà diverso da zero all’interno e nullo all’esterno. Se S è la sezione del cilindro, il momento magnetico totale sarà  MlS . D’altra parte, per il teorema di equivalenza, se J MS indica il vettore densità lineare di corrente di magnetizzazione (espressa in A m ), il momento magnetico associato a tale corrente ha modulo JMS lS . Siccome queste sono due differenti rappresentazioni dello stesso fenomeno fisico, le due corrispondenti quantità devono essere uguali, ovvero:

r M

S l

r J MS

M = J MS ;

S

(5.2)

vettorialmente, se nˆ è il versore normale all’asse del cilindro, orientato verso l’esterno, allora:   J MS = M × nˆ .

(5.3)

n

r J MS

r M S

L’identità tra il modulo del vettore magnetizzazione e la densità di corrente lineare di magnetizzazione comporta che, dal punto  di vista dimensionale, il vettore M si esprima in A m . Sebbene ricavata per una particolare configurazione geometrica, si prova

dove m n è la massa del neutrone. Poiché la massa del protone e quella del neutrone sono circa 2000 volte più grandi di quella dell’elettrone, il modulo del momento magnetico associato allo spin dei componenti del nucleo atomico risulta di tre ordini di grandezza circa inferiore rispetto a quello dell’elettrone e pertanto il loro contributo viene solitamente trascurato nel computo del momento magnetico complessivo dell’atomo.

5-4

Proprietà magnetiche dei materiali

che la relazione (5.2) è di carattere generale; risulta infatti che in ogni punto della superficie la densità lineare di corrente di magnetizzazione è uguale alla componente del vettore magnetizzazione parallela ad un piano tangente alla superficie nel punto considerato. Dalla (5.3)  segue, infine, che la direzione di questo vettore è sempre perpendicolare alla direzione di M . Si  osservi che siccome J MS rappresenta la densità lineare di corrente e, in quanto tale si misura in A m , per ricavare la corrispondente intensità della corrente di magnetizzazione I M occorre calcolare:

  I M = ∫ J MS ⋅ dl × nˆ ,

(

)

(5.4)

L

dove l’integrazione è estesa alla lunghezza L della superficie  sulla quale è distribuito il vettore J MS . Nel caso del cilindro  descritto precedentemente, se il vettore dl è tangente alla sua superficie laterale e parallelo all’asse, la lunghezza attraversata   dalla corrente di densità J MS è l, quindi, se J MS è uniforme lungo l si ha:

n r dl S

r J MS

I M = J MSl . Ciò in analogia alla densità di corrente introdotta nella relazione (3.2), detta densità volumetrica di  corrente JV che, se distribuita uniformemente su una sezione S, determina una corrente di intensità pari al prodotto JV S .

r M n

d

R

Esempio: Consideriamo un disco formato con un materiale omogeneo magnetizzato, di raggio  R e spessore d. Supponendo che il vettore di magnetizzazione M sia diretto parallelamente  all’asse del disco, stabiliamo il vettore campo magnetico B al centro del disco. Il disco  uniformemente magnetizzato corrisponde ad un dipolo magnetico m pari a:   m = MV ,

dove V è il volume del disco pari a Sd , dove S è la superficie delle basi. Dal teorema di equivalenza di Ampere segue che tale configurazione è equivalente ad una spira percorsa da una corrente I M che genera  nel suo centro lo stesso campo magnetico B . Per determinare questa corrente è possibile procedere in due maniere.  Identifichiamo con m il momento di dipolo della spira equivalente esprimendolo come:  m = I M S nˆ,

dove nˆ è il versore normale passante per l’asse del disco; uguagliando questa espressione con la relazione precedente, si trova:  MV = I M S nˆ,

r M r M n

r J MS n

da cui segue: IM =

MV MSd = = Md . S S

 Alternativamente, dalla relazione (5.3) è possibile dedurre la densità lineare di corrente di magnetizzazione J MS ; tale vettore è diverso da zero solo in corrispondenza del bordo del disco ed ha intensità:

Proprietà magnetiche dei materiali

5-5

J MS = M ;

infine, dalla (5.4), integrando lungo lo spessore L del bordo segue: IM

  = ∫ JMS ⋅ dl × nˆ = ∫ JMS dl = JMS d = Md.

(

)

L

L

r B r J MS

r dl n

 Nota I M , è possibile ricavare B attraverso l’espressione del campo magnetico al centro di una spira circolare percorsa da corrente:  µI µ Md B = 0 M nˆ = 0 nˆ. 2R 2R

5.2

 Il vettore H

Consideriamo un solenoide ideale di lunghezza indefinita; se le spire di tale solenoide sono  percorse da una corrente di intensità I, l’interno sarà sede di un campo magnetico B0 di intensità proporzionale ad I. Per un solenoide ideale (o per uno reale a grande distanza dai suoi estremi), il campo magnetico all’interno ha intensità: B0 = µ0 nI ,

(5.5)

dove n rappresenta il numero di spire per unità di lunghezza. In un tratto di lunghezza L del solenoide, costituito da N spire, n vale N L , così il prodotto nI è pari a NI L ; siccome la quantità NI può essere riguardata come la corrente totale che scorre nel tratto L di superficie del solenoide,  il rapporto NI L , pari a nI rappresenta il modulo della densità JS con cui è distribuita superficialmente la corrente sul solenoide: J S ≡ nI . Alla luce di tale definizione la relazione (5.5) può essere scritta come: B0 = µ0 J S . Supponiamo di introdurre all’interno del solenoide un cilindro di sezione pari a quella del solenoide e costituito da un materiale magnetizzato nella direzione del suo asse, col vettore magnetizzazione    M orientato come B0 . Per il principio di sovrapposizione, il campo magnetico totale B nel  cilindro contenuto all’interno del solenoide sarà pari alla somma del campo B0 prodotto dal  solenoide e del campo BM prodotto dalla corrente di magnetizzazione del cilindro: B = B0 + B M = µ0 J S + µ0J MS = µ0J S + µ0M , avendo sostituito J MS con M dalla (5.2). Introduciamo un campo così definito:

5-6

Proprietà magnetiche dei materiali

H≡

B

− M = J S = nI ,

µ0

facendo uso di questo campo è possibile esprimere il campo magnetico totale all’interno del cilindro come: B = µ0 ( H + M ) .

Sebbene ricavata in un’accezione unidimensionale e per una particolare configurazione di corrente, si prova che tale espressione ha validità di carattere generale e risulta:    B = µ0 H + M .

(

)

(5.6)

 Questa relazione fra i tre vettori B ,    D = ε 0 E + P che lega tra loro i vettori

  e M H   presenta una formale analogia con la relazione D , E e P , tuttavia, mentre è concettualmente evidente la   similitudine fenomenologica tra i vettori M e P , non è altrettanto manifesta l’analogia tra i vettori    H e E . Dalla definizione del vettore H segue che dimensionalmente tale grandezza si esprime in A m. Nel caso dei materiali dielettrici la relazione di proporzionalità tra il campo elettrico applicato e la polarizzazione che ne consegue è stata rappresentata attraverso la (2.12) con l’introduzione di una quantità detta suscettività dielettrica. Analogamente la suscettività magnetica dovrebbe essere definita come il rapporto tra l’intensità del vettore di magnetizzazione ed il modulo del campo magnetico, vista l’affinità dei ruoli rivestiti da questi due vettori. Tuttavia, per ragioni di carattere storico, questa quantità si definisce attraverso la relazione seguente:   M = χm H

così, dalla (5.6), il campo magnetico per una sostanza magnetizzata può essere scritto come:     B = µ0 H + M = µ0 (1+ χ m )H ;

(

)

la quantità 1 + χ m prende il nome di permeabilità magnetica relativa del mezzo considerato, e si indica:

µ r ≡ 1+ χ m ; pertanto, sostituendo, si ha:    B = µ 0µ r H = µ H ,

(5.7)

dove µ prende il nome di permeabilità magnetica (assoluta) del mezzo. Occorre infine fare presente che tale trattazione non può essere applicata alle sostanze ferromagnetiche.

Proprietà magnetiche dei materiali

5-7

 Proprietà del vettore H

5.3

Consideriamo un tratto di un solenoide ideale avvolto strettamente intorno ad un cilindro magnetizzato; supponiamo I' che l’avvolgimento sia percorso da una corrente I' e che la superficie del cilindro risulti sede di una corrente di magnetizzazione di intensità I M . Siccome il solenoide è ideale, r r  M B all’esterno il campo magnetico B risulterà nullo, inoltre, poiché C D il materiale magnetizzato è interno al solenoide, all’esterno sarà  nullo anche il vettore M ; di conseguenza, per la (5.6),  C all’esterno anche il campo H sarà nullo. All’interno del F E   I' L solenoide sia B che M sono diretti coassialmente al solenoide,  così anche H sarà parallelo all’asse del solenoide. Stabiliamo la  circuitazione del vettore H lungo il percorso C di figura. Solo il contributo lungo il tratto CD sarà  diverso da zero, essendo H nullo lungo il percorso EF ed ortogonale alla direzione di circolazione  dl nei tratti DE e FC; pertanto:   D   H ∫ ⋅ dl = ∫ H ⋅ dl = HL = nLI' , C

C

 essendo il modulo di H pari a nI' . D’altra parte il prodotto nL rappresenta il numero complessivo di spire racchiuse all’interno del circuito C ; così, indicando con I la corrente totale che percorre il solenoide nel tratto contenuto all’interno del circuito considerato: I = nLI' ,

si ha:   H ∫ ⋅ dl = I .

(5.8)

C

La corrente I, somma delle nL correnti I' che attraversano il solenoide è da distinguere dalla corrente totale che attraversa la superficie del sistema (solenoide più cilindro) considerato, che è comprensiva anche della corrente di magnetizzazione. La relazione ricavata in questo particolare contesto può essere provata in condizioni più generali e rivela l’importanza, dal punto di vista  pratico del campo H , nel senso che solo tale campo, dipendendo dalla sola corrente macroscopica I può essere, in generale, oggetto di controllo sperimentale. Infatti, confrontando la (5.8) con  l’analoga relazione per B : 



C∫ B ⋅ dl = µ ( I + I ) , 0

M

si osserva che al secondo membro compare la corrente totale I + I M che attraversa la superficie del sistema; in presenza di fenomeni di magnetizzazione tale corrente non può essere oggetto di

5-8

Proprietà magnetiche dei materiali

 controllo. Analogamente per il vettore D risulta

  D ∫ ⋅ ds = q dove q è la carica libera contenuta S

 all’interno della superficie chiusa S, mentre per il vettore E risulta

  E ∫ ⋅ ds = ( q + q P ) ε 0 , dove S

q + qP rappresenta la somma della carica libera e di polarizzazione contenuta nel volume   considerato. L’analogia tra i vettori D e H è solo formale poiché, mentre nel caso dei dielettrici risulta quasi sempre impossibile scindere la cariche totali in cariche libere e cariche di  polarizzazione, e quindi D riveste un ruolo concettualmente importante ma trascurabile nella pratica, nel caso dei processi di magnetizzazione è generalmente semplice scindere  le correnti totali in correnti libere e correnti di magnetizzazione, così il ruolo del campo H è decisamente più  importante di quanto non lo sia quello del campo D nel caso elettrico.  Nell’espressione della circuitazione di H lungo una curva chiusa C è possibile dedurre la  corrente I come flusso del vettore J attraverso una superficie S che ha come contorno C : 







C∫ H ⋅ dl = I = ∫ J ⋅ ds ; S

applicando il teorema del rotore all’integrale al primo membro, si ha: 









∫ ( ∇ × H ) ⋅ ds =C∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ ds 

S



S

e, dovendo valere tale identità per ogni superficie S, segue:    ∇× H = J .

(5.9)

Analogamente, siccome: 







 C∫ B ⋅ dl = µ ( I + I ) = µ ∫( J + J ) ⋅ ds , 0

M

0

M

S

seguendo la stessa procedura, si ottiene:     ∇ × B = µ0 J + µ0 J M .

D’altra parte, applicando l’operatore rotore ad ambo i membri dell’espressione (5.6), si ha:       ∇ × B = µ 0 ∇ × H + µ 0∇ × M ,

(5.10)

da cui segue:    JM = ∇ × M .

(5.11)

  Si osservi che J M è una densità di corrente definita in un volume e misurata in A m2 , mentre JMS è una densità lineare di corrente, definita su una superficie e misurata in A m . La densità di   corrente J M è nulla, ad esempio, in assenza di correnti libere J , infatti in tale circostanza dalla

Proprietà magnetiche dei materiali

5-9

    (5.9) segue che è nullo ∇ × H e quindi dalla (5.7) che è nullo ∇ × B , così dalla (5.10) si ha che è    nullo anche ∇ × M ed infine, dalla (5.11) segue che è nullo il vettore JM . Le relazioni:   J MS = M × nˆ ,    JM = ∇ × M ,

 stabiliscono nel caso più generale le relazioni tra il vettore magnetizzazione M , introdotto per caratterizzare il momento magnetico acquisito dal mezzo e le correnti di magnetizzazione, che costituiscono l’aspetto macroscopico delle correnti atomiche, originate nel mezzo dalla presenza di un campo magnetico esterno. Gli effetti magnetici del materiale magnetizzato possono quindi essere  dedotti da una distribuzione superficiale con densità lineare J MS e da una distribuzione volumetrica  di corrente con densità J M . La situazione precedentemente descritta risulta formalmente analoga a quella di un dielettrico polarizzato in...