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Composizione dei moti

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Moti relativi

Nel capitolo precedente abbiamo detto che un punto materiale si trova in stato di moto quando, al passare del tempo, occupa posizioni diverse rispetto a un generico sistema di riferimento considerato fisso. Si verifica spesso il caso che un punto (o un corpo qualsiasi) si muova rispetto a un sistema di riferimento, che a sua volta è in movimento rispetto a un secondo sistema considerato fisso; ciò comporta l’esistenza di tre diverse velocità, strettamente connesse fra loro: e indicheremo con v r ; di trascinamento, che indicheremo con vt ; Il legame esistente fra le tre velocità sopra definite risulta abbastanza chiaro esaminando alcuni semplici casi reali. Consideriamo un convoglio ferroviario che si muova, rispetto al sistema fisso costituito dall’ambiente esterno, con una velocità costante vt ; un passeggero, seduto al proprio posto, si muove anch’esso rispetto al sistema fisso con la stessa velocità vt ma, rispetto al treno, che costituisce il sistema di riferimento mobile, la sua velocità è nulla. Se il passeggero comincia a camminare lungo il corridoio, si trova in stato di moto, sia rispetto al sistema fisso, sia rispetto al sistema mobile; è quindi abbastanza logico dedurre che, se il passeggero procede verso la motrice, la sua velocità va nei confronti del sistema fisso è uguale alla somma di quella con cui esso si sposta lungo il corridoio (v r) più la velocità del treno (vt ): va = v r + vt

(7.1)

mentre, nel caso opposto (movimento del passeggero verso la coda del treno), la velocità assoluta equivale alla differenza fra le due velocità suddette: va = v r – vt Allo stesso modo, un velivolo che decolla da una portaerei compie tale operazione nel senso poppa-prua della nave, in modo che la maggior velocità acquisita rispetto all’ambiente circostante gli consenta uno stacco più facile. Nei due esempi ora fatti le due velocità (v r e vt) sono dirette secondo la stessa traiettoria, il che riduce il calcolo della velocità assoluta a una somma algebrica. P Nel caso più generale, se la velocità relativa del punto è orientata diversamente da quella di trascinamento, l’espressione (7.1) della velocità assoluta è sempre valida, ma deve essere intesa come una somma vettoriale. 128

A

Meccanica

Pidatella, Ferrari Aggradi CORSO DI MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA © Zanichelli 2012 per Meccanica ed Energia

t ra

i et

to

r ia

re

a le

Se una barca attraversa un fiume, staccandosi dalla sponda con direzione normale alla corrente, è noto che quasi sempre essa non tocchi la sponda opposta in un punto corrispondente a quello di partenza, ma più o meno a valle senso della di tale punto, a seconda dell’entità della corcorrente rente del fiume (FIGURA 7.1). Ciò porta a concludere che la sua velocità rispetto al terreno circostante (velocità assoluta) ha una direzione intermedia fra quella della corrente (velocità di trascinamento) e quella della barca (velocità relativa), in conseguenza della composizione vettoriale effettuata fra i due vettori vt e v r che rappresentano le velocità suddette. L’argomento dei moti relativi, già di notevole importanza nella cinematica, occupa un posto preminente nello studio e nella progettazione delle macchine rotanti, ove una corrente fluida investe, ad alta velocità, una palettatura mobile dotata di moto rotatorio rispetto alla cassa fissa della macchina; lo studente avrà modo di apprezzare i concetti ora illustrati nella parte B del volume.

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7.1 Moto relativo di un natante rispetto alle sponde di un fiume.

Composizione di moti rettilinei

Spesso si presenta il problema di effettuare la composizione vettoriale di due velocità, sia per determinare il moto relativo di un punto in movimento rispetto a due diversi sistemi di riferimento, sia per stabilire la traiettoria che tale punto compirebbe per effetto dei due diversi movimenti che gli competono. È abbastanza intuitivo che la composizione di due diverse velocità individui la velocità risultante, cui il punto è soggetto in un determinato istante, e che tale composizione sia sufficiente a risolvere il problema solo se i due moti componenti sono entrambi uniformi. In ogni altro caso, la velocità risultante, ottenuta vettorialmente, determina la tangente alla traiettoria descritta dal punto mobile, ma il risultato ottenuto cambia con il trascorrere del tempo, in quanto cambia almeno una delle due velocità componenti; quindi la traiettoria può essere tracciata solo per punti, rilevandone il valore della tangente in tempi diversi. Sia P un punto materiale soggetto contemporaneamente a due diversi moti rettilinei (FIGURA 7.2), le cui velocità supporremo per semplicità orientate perpendicolarmente fra loro; trattandosi di due vettori, la loro risultante si ottiene graficamente mediante la consueta costruzione del parallelogramma e analiticamente con la relazione: v = v21 + v 22

(7.2)

v2 v

che ne esprime il valore in m / s. Il punto si muoverà perciò con tale velocità, seguendo una traiettoria rettilinea inclinata, rispetto alla direzione del vettore v1 , di un angolo α1, la cui tangente vale: tg α1=

v2

α1 P

v1

(7.3)

v1

costante nel tempo in virtù dell’invariabilità delle due velocità componenti.

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7.2 Composizione di due moti rettilinei e uniformi, ortogonali fra loro.

Composizione dei moti

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A

C

s2  v2 · t s

v2

v·

s=v·t

t

oppure rilevando la diagonale (FIGURA 7.3) del rettangolo AOBC, avente per lati gli spazi s1 e s2, che il punto mobile compirebbe se fosse soggetto separatamente ai due moti rettilinei:

v v1

O

s1  v1 · t

B

7.3 Composizione delle velocità e degli spazi percorsi.

v1

v

α2

v2

7.4 Composizione di due moti rettilinei uniformi non ortogonali.

O

s2 = v 2 · t

ottenendo: s = v 21 ⋅t2 + v22 ⋅ t 2 = t ⋅ v12 + v22 cioè, per la (7.2): s = v · t. Se i moti (sempre rettilinei uniformi) sono orientati secondo direzioni inclinate fra loro di un generico angolo α, la soluzione grafica non subisce alcuna variante (FIGURA 7.4), mentre, per via analitica, si può determinare l’entità della velocità risultante con la relazione: v = v 21 + v 22 + 2 ⋅v1 ⋅ v2 ⋅ cosα

α1

a2

s1 = v 1 · t

β

α P

Lo spazio s percorso dal punto mobile in un determinato tempo t si può calcolare per mezzo della velocità risultante:

a

a1

7.5 Composizione di due moti rettilinei uniformemente accelerati (α = 90°).

(7.4)

già illustrata nel capitolo 2 trattando la composizione delle forze. Il punto descrive una traiettoria rettilinea la cui direzione (rispetto al vettore v2) si determina con il teorema dei seni: senα1 = senβ ⋅

v1 v

(7.5)

i cui simboli sono deducibili dalla FIGURA 7.4. Per quanto riguarda lo spazio s percorso in un certo tempo t, conviene dapprima calcolare la velocità risultante v e successivamente applicare la legge del moto uniforme: s = v · t. Se entrambi i moti sono uniformemente accelerati, il problema non si discosta eccessivamente da quelli precedenti, potendosi operare la composizione vettoriale sia sui vettori che rappresentano le velocità iniziali, sia su quelli che rappresentano le rispettive accelerazioni che, come è noto, sono proporzionali alle velocità stesse. Con velocità iniziali nulle, il punto mobile, soggetto a due moti rettilinei uniformemente accelerati, orientati su direzioni perpendicolari (FIGURA 7.5), si muove con accelerazione: a=

a 21+ a22

(7.6)

costante nel tempo, su una traiettoria rettilinea il cui orientamento si ricava dalla relazione: a (7.7) tg α1 = 2 a1 In modo perfettamente analogo, è possibile calcolare l’accelerazione e l’orientamento della traiettoria nel caso in cui i due movimenti non siano ortogonali, sostituendo nelle (7.4) e (7.5) le velocità con le rispettive accelerazioni. Nel caso più generale di composizione fra un moto rettilineo uniforme e uno rettilineo uniformemente accelerato comunque orientati fra loro (FIGURA 7.6), la 130

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traiettoria risultante non è rettilinea ma parabolica, in quanto, mentre il vettore v2 rimane costante nel tempo, la velocità v1 del moto accelerato va gradualmente aumentando secondo la relazione:

v

v2 v2

v 1 = a1 · t

α1

v2 v a · t

1 1 e la risultante dei due vettori tende progressivav2 mente ad accostarsi al vettore v1, diminuendo l’ampiezza del relativo angolo α1. Conviene perciò v1 effettuare la composizione in diversi punti della traiettoria, corrispondenti a valori prefissati dei tempi (t = 1 s; t = 2 s; t = 3 s ecc.), e successiva- 7.6 Composizione di un moto rettilineo uniforme con uno unimente tracciare la curva rispettando le condizioni formemente accelerato. di tangenza imposte dalla risultante dei due vettori. I problemi di composizione di moti rettilinei con moti rotatori verranno esaminati nei paragrafi seguenti.

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Moto elicoidale

Consideriamo un punto materiale P, sollecitato a muoversi con velocità costante v1 lungo una circonferenza di raggio r e contemporaneamente soggetto a spostarsi, con velocità v2, anch’essa costante, in direzione normale al piano sul quale descrive il moto circolare (FIGURA 7.7). Poiché i moti sono entrambi uniformi, sarà uniforme anche il moto risultante (v = costante), la cui traiettoria deve evolversi lungo una superficie cilindrica, elevandosi di un certo tratto p a ogni giro descritto dal punto mobile. P Tale traiettoria viene definita elicoidale e lo spostamento verticale p, compiuto dal punto a ogni giro, si chiama passo dell’elicoide. È evidente l’analogia di questo tipo di traiettoria con il filetto di una vite illustrato nel paragrafo 8 del capitolo 5. Potremo perciò sviluppare nel piano del disegno l’arco di traiettoria corrispondente a un giro del punto P e ripetere il ragionamento esposto a proposito del passo della vite. Senza addentrarci in una seconda dimostrazione che sarebbe superflua, possiamo dedurre, per semplice analogia, che il passo p dell’elicoide è legato all’angolo di inclinazione α della traiettoria rispetto al piano orizzontale, dalla relazione: tg α =

p 2 π⋅r

p

(7.8)

che ci sarà utile per determinare il valore della velocità risultante con la quale il punto mobile percorre l’elicoide. Sia v la velocità risultante (peraltro tuttora incognita) del punto P in un istante generico. Tale velocità è rappresentata graficamente da un vettore tangente all’elicoide e inclinato dell’angolo α sul piano orizzontale.

r

v2 α P

v1

7.7 Composizione di un moto rettilineo con uno circolare entrambi uniformi.

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Composizione dei moti

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Scomponiamo il vettore v nelle sue componenti (FIGURA 7.8): tangenzialmente alla circonferenza di raggio r ; r

Con le notazioni della figura citata, otteniamo: v1 = v · cos α

v2 P

α

v

v2 = v · sen α

ovvero, tenendo conto che il vettore v1 rappresenta anche la velocità periferica del punto P nel moto di rotazione lungo la circonferenza di raggio r, è anche v1 = ω · r, se con ω si indica la velocità angolare di P. Esprimendo la componente v2 in funzione di v1 (v2 = v1 · tg α) e sostituendo a tg α il suo valore, dato dalla (7.8), risulta: p p =ω ⋅ v2 = ω ⋅ r ⋅ ⋅ π 2 r 2π

v1

7.8 Velocità in un moto elicoidale.

L’intensità del vettore v, risultante dalla composizione dei due vettori suddetti, è

v=

v21 + v22 =

ω2 ⋅ r2 + ω2 ⋅

p2 4π2

ovvero

v=

4π2 ⋅ ω2 ⋅ r2 + ω 2 ⋅ p2 4 π2

e semplificando: v=

ω ⋅ 2π

4 π 2⋅ r 2 + p 2

(7.9)

relazione che esprime la velocità del punto mobile in funzione della velocità angolare (costante nel tempo), del raggio r e del passo p dell’elica, entrambi fattori invariabili.

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Moto armonico

Un punto materiale P percorre una traiettoria circolare di raggio r con moto uniforme (v = costante); si deve determinare la legge del moto del punto P 9, proiezione di P su un diametro del cerchio da esso descritto (FIGURA 7.9). Se supponiamo che inizialmente il punto P si trovi all’estremità sinistra del diametro considerato, esso, muovendosi di moto uniforme, percorre archi uguali in tempi uguali, occupando successivamente le posizioni P1, P2, P3 e P4. Le proiezioni di tali punti (indicate nella figura con P1,9 P 92, P39 e P 94) individuano spazi via via crescenti, ciascuno dei quali viene percorso nello stesso tempo t . Ciò significa che la velocità di P 9 va progressivamente aumentando, cioè esso procede con moto accelerato. Ripetendo il ragionamento, si rileva che, nel secondo quadrante, la velocità del punto P 9 va diminuendo, per cui il moto è ritardato; nel terzo e nel quarto quadrante si ripetono le condizioni verificatesi nel primo e nel secondo, ma il movimento si è invertito, in quanto il punto P 9 retrocede con moto accelerato nel terzo quadrante e con moto ritardato nel quarto, fino a riprendere la posizione iniziale coincidente con P (FIGURA 7.10). 132

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P3

P In definitiva, mentre il punto P descrive la traiettoria circolare con moto uniforme, la sua proiezione P 9 si muove di moto rettilineo alternato, percorrendo due volte il diametro del cerchio (andata e ritorno) per ogni giro intero compiuto dal punto P.

P4

P2 P1

Si sarebbe pervenuti alle stesse conclusioni esaminando – in corrispondenza delle diverse posizioni assunte dal punto P – le proiezioni del vettore che ne rappresenta la velocità (FIGURA 7.11):

P P 91 P 29

P 93

O  P 94

Q

quando P si trova ai due estremi del diametro considerato, le proiezioni del vettore v sul diametro stesso sono nulle; risultato logico, in quanto dovendosi invertire il movimento del punto P 9, 7.9 Genesi del moto armonico. quest’ultimo deve annullare la propria velocità; P4

traiettoria, il vettore velocità si proietta integralmente sul diametro; il punto P 9si muove in quell’istante con la velocità massima consentita;

P5 P6 P7

la velocità di P è orientato in modo diverso rispetto al diametro, per cui la sua proiezione sul diametro stesso assume valori intermedi (fra il massimo e lo zero) e versi opposti a seconda del quadrante di appartenenza.

O  P 94

La legge del moto del punto P 9 può essere dedotta abbastanza facilmente (FIGURA 7.12). Consideriamo il punto mobile in una posizione generica Pk individuata dall’angolo α, che il raggio OPk forma con l’orizzontale, e valutiamo la proiezione v9 del vettore v tangente alla circonferenza nel punto Pk. Con le notazioni della figura citata, si ha: v9 = v · cos β

P 59

P 96 P 97

P8

7.10 Moto della proiezione P 9 nel secondo quadrante.

oppure, sostituendo all’angolo β il suo complementare α: v9 = v · sen α Ricordando le note formule del moto circolare uniforme: v=ω·r

(7.10)

α=ω·t

l’espressione (7.10) può essere posta anche sotto la forma: (7.11)

v9= ω · r · sen (ω · t)

anch’essa costituente la legge del moto del punto P 9 in funzione del tempo t e della velocità angolare ω di P. R

v β

Pk

P1

v9 P

α

Q

P 91

P k9

v9

O

S

7.11 Velocità nel moto armonico.

7.12 Legge del moto armonico.

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Dalla relazione (7.10) o dalla (7.11) si ottiene subito conferma delle conclusioni precedentemente dedotte ragionando sulle proiezioni del vettore v; infatti: per α = 0: π per α = : 2 per α = π : 3 per α = π : 2

sen 0 = 0 π sen = 1 2 sen π = 0 3 sen π = − 1 2

v9 = 0 v9 = v9 (massima) v9 = 0 v9 = – v

Assunto un sistema di assi cartesiani e riportate le velocità sulle ordinate e gli angoli descritti (o i tempi, a essi proporzionali) sulle ascisse, la (7.10) o la (7.11) dà origine a un diagramma simile a quello di FIGURA 7.13. Il moto del punto P 9 ha andamento sinusoidale (dipende da una funzione trigonometrica dell’angolo al centro) e risulta periodico, poiché si ripete identico a ogni giro descritto da P. P Si definisce periodo T del moto sinusoidale l’intervallo di tempo intercorso fra due istanti in cui la velocità di P 9 assume gli stessi valori. Poiché ciò avviene a ogni giro compiuto dal punto P, è α = 2π e quindi: T=

2π ω

(7.12)

P La grandezza inversa al periodo si definisce frequenza del moto sinusoidale e rappresenta il numero di periodi compiuti dal punto mobile nell’unità di tempo. Indicando la frequenza con il simbolo f, dalla (7.12) si ottiene: ω f= 2π e le due grandezze sono legate fra loro dalle relazioni:

(7.13)

1 1 T= (7.14) T f Poiché il moto rettilineo alternato avviene con variazioni continue di velocità, è prevedibile la presenza di una determinata accelerazione anch’essa variabile nel tempo. Consideriamo perciò ancora una posizione generica Pk del punto P (FIGURA 7.14) e proiettiamo sul diametro orizzontale il vettore che rappresenta l’accelerazione centripeta di P stesso, la cui intensità è (v. paragrafo 6 del capitolo 6): f =

ac =

v2 = ω 2 ⋅r r

v

Pk ac α

vmax

a9 P tα

P9k

M α M9

Q O

vmax

T

7.13 Diagramma della velocità nel moto armonico.

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A

7.14 Accelerazione nel moto armonico.

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v, a Pk

accelerazione

t (α) R

a

r

a9

M

O velocità

M9

P9 s

7.15 Diagramma della velocità e dell’accelerazione in un moto armonico.

7.16 Calcolo del periodo T di un moto armonico.

costante nel tempo. Tale vettore è applicato in Pk con direzione radiale, inclinato perciò rispetto all’orizzontale del consueto angolo α. Con le notazioni della figura citata, la sua proiezione a9 vale: a9 = ac · cos α (7.15) ossia: (7.16)

a9 = ω 2 · r · cos (ω · t)

se si preferisce esprimere l’angolo al centro α in funzione del tempo t e della velocità angolare ω di P. P Dalle (7.15) e (7.16) si rileva che anche l’accelerazione nel moto armon...