Apuntes Algebra 11 - Conjunto generador PDF

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E SCUELA P OLITÉCNICA N ACIONAL Á LGEBRA L INEAL • R ESUMEN NO . 11 Semestre 2018 B

Departamento de Formación Básica

D EFINICIÓN 1: Espacio nulo y nulidad Sea A ∈ Km × n . El espacio nulo de A, que notaremos por nul( A ), se define como nul( A ) = { x ∈ R n : Ax = 0} y la nulidad es la dimensión del espacio nulo.

T EOREMA 1: Equivalencias no singulares Sea A ∈ Kn× n , se tienen que las siguientes son equivalentes: 1. A es no singular; 2. el sistema Ax = 0 tiene solamente la solución trivial; 3. A es equivalente por filas a In ; 4. el sistema lineal Ax = b tiene una solución única para cada vector b ∈ Kn ; 5. det( A ) 6= 0; 6. las filas de A forman un conjunto linealmente de vectores; 7. las columnas de A forman un conjunto linealmente; 8. rang( A ) = n; y 9. la nulidad de A es 0.

1. S UMA

DE ESPACIOS

D EFINICIÓN 2: Suma Sean ( E, +, ·, K) un espacio vectorial y W1 , W2 ⊆ E, entonces la suma de W1

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Resumen no. 11

y W2 se define como: W1 + W2 = { w1 + w2 ∈ E : w1 ∈ W1 y w2 ∈ W2 }. E JEMPLO 1. Sea U = {( x, 0, 0) ∈ R 3 : x ∈ R }

y

W = {(0, y, 0) ∈ R 3 : y ∈ R }

entonces U + W = {u + v ∈ R 3 : u ∈ U y v ∈ V }

= { u + v ∈ R 3 : u = (x, 0, 0) y v = (0, y, 0), con x, y ∈ R } = {( x, 0, 0) + (0, y, 0 ) ∈ R 3 : x, y ∈ R } = {( x, y, 0) ∈ R 3 : x, y ∈ R }. D EFINICIÓN 3: Suma generalizada Sean ( E, +, ·, K) un espacio vectorial y W1 , . . . , Wm ⊆ E, entonces la suma de W1 , . . . , Wm se define como: W1 + · · · + Wm = { w1 + · · · + wm ∈ E : w1 ∈ W1 , . . . , wm ∈ Wm } P ROPOSICIÓN 2. Sean ( E, +, ·, K) un espacio vectorial y W1 , W2 ⊆ E dos subespacios vectoriales de E, entonces W1 + W2 es un subespacio vectorial de E. T EOREMA 3 Sean ( E, +, ·, K) un espacio vectorial y W1 , W2 ⊆ E dos subespacios vectoriales de E de dimensión finita. Se tiene que dim(W1 + W2 ) = dim(W1 ) + dim(W2 ) − dim (W1 ∩ W2 ). D EFINICIÓN 4: Suma directa Sean ( E, +, ·, K) un espacio vectorial y V, W1 , W2 ⊆ E subespacios vectoriales de E, se dice que V es la suma directa de W1 y W2 si V = W1 + W2 y cada elemento de V se puede escribir de manera única como la suma de

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Resumen no. 11

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elementos de W1 y W2 . Esto se lo denota por V = W1 ⊕ W2 . E JEMPLO 2. Sea U = {( x, y, 0) ∈ R 3 : x, y ∈ R }

W = {(0, 0, z ) ∈ R 3 : z ∈ R }

y

entonces se tiene que R 3 = U ⊕ W. D EFINICIÓN 5: Suma directa generalizada Sean ( E, +, ·, K) un espacio vectorial y V, W1 , . . . , Wm ⊆ E subespacios vectoriales de E, se dice que V es la suma directa de W1 , . . . , Wm si V = W1 + · · · + Wm y cada elemento de V se puede escribir de manera única como la suma de elementos de W1 , . . . , Wm . Esto se lo denota por V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wm . T EOREMA 4 Sean ( E, +, ·, K) un espacio vectorial, V, W1 , W2 ⊆ E subespacios vectoriales de E, se tiene que E = W1 ⊕ W2 si y sólo si E = W1 + W2

y

W1 ∩ W2 = {0}.

T EOREMA 5 Sean ( E, +, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita. Para todo S subespacio vectorial de E, existe un subespacio vectorial T de E tal que E = S ⊕ T. Se dice que T es el subespacio complementario de S en E.

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T EOREMA 6 Sean ( E, +, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita y S, T ⊆ E subespacios vectoriales de E. Se tiene que si E es la suma directa de S y T, entonces E dim( E ) = dim (S) + dim ( T ).

2. E SPACIOS

CON PRODUCTO INTERNO

D EFINICIÓN 6: Producto interno Sea ( E, +, ·, K) un espacio vectorial. Un producto interno sobre E es una función h· , ·i : E × E −→ K (u, v) 7 −→ hu, vi tales que cumple: 1. hv, vi ≥ 0 para todo v ∈ E; 2. hv, vi = 0 si y solo si v = 0; 3. hu + v, w i = hu , w i + hv, w i para todo u, v, w ∈ E; 4. hαv, w i = αhv, w i para todo v, w ∈ E y α ∈ K. 5. hv, w i = hw, vi para todo v, w ∈ E. Si se define un producto interno sobre un espacio vectorial E, a este se lo denomina espacio con producto interno o pre-Hilbertiano. T EOREMA 7 Sea ( E, +, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno h· , ·i , entonces: 1. Para todo u, v, w ∈ E

hu, v + wi = hu, vi + hu, wi 2. Para todo u, v ∈ E y α ∈ K

hu, αvi = αhu, vi

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3. Para todo u ∈ E

hu, 0i = h0, u i = 0 2.1

Productos internos usuales 1. En (R n , +, ·, R ), para x, y ∈ R n : n

∑ xk y k .

h x, y i =

k= 1

2. En (C n , +, ·, C ), para x, y ∈ C n : n

∑ xk y k .

h x, y i =

k= 1

3. En (R n [ x ], +, ·, R ), para p( x ), q ( x ) ∈ R n [ x ], si p( x ) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x n

q ( x ) = b0 + b1 x + · · · + bn x n

y

entonces

n

h p( x ), q ( x )i =

∑

a k bk .

k= 1

4. En (Kn× n , +, ·, R ), para A, B ∈ Kn× n :

h A, Bi = tr( AB⊺ ). 5. En (C([ a, b]), +, ·, R ), para f , g ∈ C ([ a, b]):

h f , gi =

Z b a

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f ( x ) g ( x )dx....