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Apuntes de toda la materia....

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NOTAS DE CLASE por Raquel Abrate ÍNDICE UNIDAD Nº 1 – SISTEMAS LINEALES....................................................................................3 INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................3 ECUACIONES LINEALES........................................................................................................3 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO................................................................................................4 SISTEMAS LINEALES..............................................................................................................5 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES...................................................8 MATRICES Y SISTEMAS........................................................................................................10 RANGO DE UNA MATRIZ.....................................................................................................13 TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS.................................................................................13 Corolario................................................................................................................................13 SISTEMAS HOMOGÉNEOS...................................................................................................14 UNIDAD Nº 2 – MATRICES Y DETERMINANTES..............................................................17 INTRODUCCIÓN.....................................................................................................................17 MATRICES IGUALES.............................................................................................................18 MATRICES ESPECIALES.......................................................................................................18 Matriz Cero (o Nula).............................................................................................................18 Matriz Cuadrada....................................................................................................................18 Matriz Diagonal.....................................................................................................................18 Matriz Identidad....................................................................................................................19 Matriz Triangular...................................................................................................................20 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ........................................................................................20 OPERACIONES CON MATRICES.........................................................................................20 Suma de Matrices..................................................................................................................20 Multiplicación por Escalar.....................................................................................................21 Multiplicación de Matrices....................................................................................................22 Propiedades de las operaciones con matrices........................................................................24 Forma matricial de un sistema lineal.....................................................................................24 INVERSA DE UNA MATRIZ..................................................................................................25 Matrices Elementales.............................................................................................................25 Método para encontrar la Matriz Inversa (Por Reducción)...................................................26 DETERMINANTES..................................................................................................................27 Función determinante............................................................................................................27 Propiedades de la Función Determinante..............................................................................29 Otras propiedades..................................................................................................................30 EVALUACIÓN DE DETERMINANTES POR TRIANGULACIÓN......................................32 CÁLCULO DEL DETERMINANTE POR DESARROLLO DE COFACTORES..................33 Menores y Cofactores............................................................................................................33 MÉTODO DE CHÍO PARA EL CÁLCULO DE DETERMINANTES....................................34 ADJUNTA DE UNA MATRIZ..................................................................................................34 Cálculo de la Inversa por el Método de la Adjunta...............................................................35 REGLA DE CRAMER PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES....................35 INSUMO PRODUCTO – MATRIZ DE INSUMO PRODUCTO.............................................36 La planificación de requerimientos de Producción...............................................................37 La Matriz de Coeficientes Técnicos de Insumo-Producto.....................................................38

2 La Matriz de Leontief y su inversa........................................................................................39 UNIDAD Nº 3 – ESPACIOS VECTORIALES.........................................................................42 INTRODUCCIÓN.....................................................................................................................42 OPERACIONES CON VECTORES.........................................................................................42 Vectores en el espacio bidimensional (en el plano: R2).........................................................43 Vectores en el espacio tridimensional (R3)............................................................................43 ESPACIOS VECTORIALES.....................................................................................................44 SUBESPACIOS.........................................................................................................................45 COMBINACIÓN LINEAL.......................................................................................................46 ESPACIO GENERADO............................................................................................................46 INDEPENDENCIA LINEAL....................................................................................................47 BASE Y DIMENSIÓN..............................................................................................................48 ESPACIO FILA – ESPACIO COLUMNA – ESPACIO SOLUCIÓN......................................49 Rango y Nulidad....................................................................................................................50 RECTAS Y PLANOS EN R2 Y R3.............................................................................................51 Rectas.....................................................................................................................................51 Planos.....................................................................................................................................52 UNIDAD Nº 4 – PROGRAMACIÓN LINEAL – SIMPLEX..................................................54 INTRODUCCIÓN.....................................................................................................................54 MÉTODO GRÁFICO (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PROBLEMA)................55 MÉTODO DEL SIMPLEX (ALGORITMO)............................................................................56 UNIDAD Nº 5 – MODELO EXPONENCIAL..........................................................................59 Crecimiento o decaimiento exponencial................................................................................59 Crecimiento logístico.............................................................................................................59 Interés Compuesto Continuamente........................................................................................61 Ley de enfriamiento de Newton............................................................................................62 BIBLIOGRAFÍA.........................................................................................................................63

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UNIDAD Nº 1 – SISTEMAS LINEALES INTRODUCCIÓN Multitud de fenómenos naturales y sociales se comportan linealmente, es decir, por ejemplo una causa doblemente intensa produce un efecto doblemente intenso, o una misma causa que actúa por un espacio de tiempo dos veces más largo produce un efecto dos veces mayor. Y aún cuando muchos fenómenos se comportan así tan sólo aproximadamente, se tratan como si fueran lineales para facilitar su estudio inicial. Un ejemplo concreto de lo que hablamos podría ser el siguiente: si el precio del kilo de azúcar es de $1,50, es claro que, a menos que haya una oferta especial, por dos kilos tendré que pagar $3. Esto explica que la Matemática de las aplicaciones a los fenómenos naturales y sociales sea muy fundamentalmente lineal en un primer acercamiento a estos fenómenos y que los sistemas de ecuaciones lineales, en particular, constituyan el esqueleto básico de estas aplicaciones. En este capítulo, estudiaremos algunos métodos que nos permitirán resolver sistemas de ecuaciones lineales. ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal en las variables x1 y x2 es una expresión de la forma: a1x1 + a2x2 = b En ella, las variables están elevadas a la potencia 1 y sus coeficientes son constantes. De manera general, una ecuación lineal en n variables x1, x2, ..., xn puede escribirse como sigue: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b 

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones lineales y de ecuaciones no lineales:

Son ecuaciones lineales: x + 3y = 7 y=

1 x + 3z + 1 2

x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 8 x1 + x2 + x3 + ... + xn = 1 Son ecuaciones no lineales: x + 3y2 = 7 y – sen(x) = 0 3x + 2y – z + xz = 4 x 1 + 2x 2 + x 3 = 1

Llamamos solución de una ecuación lineal a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b a una sucesión de n números reales s 1, s2, s3, ... , sn de modo que la ecuación se cumple cuando se sustituye x1 = s1, x2 = s2, x3 = s3, ... , xn = sn. El conjunto de todas las soluciones de una ecuación lineal se denomina conjunto solución o solución general de la ecuación. 

Ejemplo 1: 4x – y = 1

4

Una solución de esta ecuación lineal en x e y podría ser x = 1, y = 3; es decir la sucesión (1, 3). Pero también son soluciones (0, -1), (2, 7), etc. Esta ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Su conjunto solución sería entonces: S {(1, 3), (0, -1), (2, 7), ...} el que, de manera general podría obtenerse así: 4x – y = 1 ⇒ x =

1+ y , esto significa que x podrá tomar infinitos valores, dependiendo de los 4

también infinitos valores que adopte y. Por lo tanto se dice que y es un parámetro que puede adoptar cualquier valor real. Así, el conjunto solución es y=t  1 + t   ⇒ S =  , t  ∀t ∈ ℜ 1+ t   4 x= 4

Podríamos haber obtenido una expresión distinta, aunque similar, si hubiéramos escrito a y en función del parámetro x. 

Ejemplo 2: x1 – 4x2 + 7x3 = 5

⇒

x1 = 5 + 4x2 – 7x3

Procediendo como en el ejemplo anterior: ⇒ S = {(5 + 4t – 7w, t, w)} ∀t , w ∈ ℜ (conjunto solución) Si x2 = t y x3 = w Asignándoles valores arbitrarios a los parámetros t y w obtendríamos distintas soluciones. Por ejemplo, si t =1 y w = 0 una solución sería (9, 1, 0). SIGNIFICADO GEOMÉTRICO Gráficamente, una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta. Así, las infinitas soluciones de una ecuación lineal de este tipo corresponderían a los infinitos puntos de dicha recta. Por ejemplo, la ecuación del ejemplo 1: 4x – y = 1 representa la recta de la figura. Ahora bien, no todas las ecuaciones lineales con dos incógnitas representan rectas. Analicemos dos casos particulares: •

0x + 0y = b (b ≠ 0)

Esta ecuación no tiene solución ya que no existen valores de x e y que sustituidos en la ecuación permitan calcular un número b distinto de cero. Es decir, S = φ . •

0x + 0y = 0

Esta ecuación también tiene infinitas soluciones plano. Es decir, S = R2. Del mismo modo, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio tridimensional. Las infinitas soluciones de dicha ecuación constituyen los infinitos puntos de dicho plano. También en este caso podríamos considerar casos particulares: •

0x + 0y + 0z = 0

Esta ecuación representa todo el espacio tridimensional. Es decir, S = R3.

5 0x + 0y + 0z = b (b ≠ 0)

•

Esta ecuación no tiene solución ya que no existen valores de x, y, z que sustituidos en la ecuación permitan calcular un número b distinto de cero. Es decir, S = φ . Finalmente, una ecuación con más de tres incógnitas representa un hiperplano, imposible de graficar. SISTEMAS LINEALES Un sistema lineal mxn es un conjunto de m ecuaciones lineales en las variables x1, x2, ..., xn; es decir, con n incógnitas. Solución de un sistema lineal es una sucesión de números s 1, s2, ..., s n si x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn es una solución de todas y cada una de las ecuaciones del sistema. 

Ejemplo 3: 4x1 – x2 + 3x3 = –1 3x1 + x2 + 9x3 = – 4

x1 = 1, x2 = 2, x3 = –1 es una solución del sistema. x1 = 1, x2 = 8, x3 = 1 no es una solución del sistema, pues sólo lo es de la primera ecuación. Ahora bien, nosotros podríamos preguntarnos ¿todos los sistemas tienen solución?. La respuesta es no. 

Ejemplo 4:

El sistema x+y=4 2x + 2y = 6

⇒

x+y=4 x+y=3

es un sistema inconsistente o incompatible, es decir, es un sistema que no tiene solución ya que contiene ecuaciones contradictorias. Si existe por lo menos una solución del sistema, el sistema se dice consistente o compatible (si tiene exactamente una solución se dice compatible determinado, y si tiene más de una –infinitas- se dice compatible indeterminado). A continuación, veremos qué significado geométrico tiene el hecho de que un sistema de ecuaciones tenga o no soluciones. Comenzaremos analizando los sistemas más sencillos: de dos ecuaciones lineales (en adelante, los llamaremos simplemente sistemas) con dos incógnitas. Un sistema con dos incógnitas, gráficamente, representa un conjunto de dos rectas. Como un punto (x, y) pertenece a una recta si y sólo si los números x e y satisfacen la ecuación de la recta, la solución del sistema corresponde al punto de intersección de ambas rectas. Entonces, la resolución de un sistema de ecuaciones 2x2 consiste en saber si ellas (rectas) tienen algún punto común y localizarlo. Podría suceder que estas dos rectas R1 y R2: •

No tengan puntos en común, es decir, no se corten (paralelas). En este caso, el sistema no tiene solución. Es incompatible. El conjunto solución es S = φ . Éste sería el caso del sistema del ejemplo 4.

y

R2 R1 x

y •

Tengan sólo un punto en común, es decir, se corten. El sistema tiene exactamente una solución. Es compatible determinado.

R1 R2 x

y •

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R1R2

Tengan infinitos puntos en común, es decir, coincidan. El sistema es compatible indeterminado. x

Estas tres posibilidades son las mismas para sistemas lineales arbitrarios (no sólo para los sistemas 2x2). Por ejemplo, si las incógnitas de un sistema lineal son tres, como dijimos, cada ecuación representa un plano. Entonces, un sistema de ecuaciones con tres incógnitas puede ser compatible o incompatible según que todos los planos tengan o no puntos en común. Pero si todos los planos se cortan a lo largo de una recta, el sistema, compatible, tendrá infinitas soluciones y será, pues, indeterminado. Si el sistema es 2x3 (2 planos) podría suceder que:

Si el sistema es 3x3 (3 planos) las posibilidades son las siguientes:

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La figuras (a), (b), (c) y (g) corresponden a sistemas incompatibles. Las figuras (d), (f) y (h) corresponden a sistemas compatibles indeterminados, y la figura (f) corresponde a un sistema compatible determinado.  Ejemplo 5: Los sistemas:

2x + 3y = 9 3x – 5y = 4

y

2x + 3y = 9  3x – 5y = 4  5x – 2y = 13 

tienen por solución x = 3, y = 1. Es decir, el conjunto solución es S = {(3, 1)}. Eso significa que las tres rectas pasan por el punto (3, 1). Si se observa el segundo sistema de ecuaciones se notará que es prácticamente igual que el primero, pues las dos primeras ecuaciones coinciden y la tercera se obtiene sumando, término a término las anteriores. Esta tercera ecuación no dice nada nuevo.   

 Ejemplo 6: Los sistemas:

2x + 3y = 9 4x + 6y = 12

y

2x + 3y = 9 3x – 5y = 4 5x – 2y = – 6

no tienen solución, son incompatibles. Al resolverlos, se obtienen expresiones contradictorias. En el primer caso las rectas son paralelas y no tienen punto de corte. En el segundo caso la tercera recta no pasa por el punto en que se cortan las dos primeras.

8 Observemos que, en el primer caso, si 2x + 3y es igual a 9, entonces 4x + 6y tendría que ser 18. Como se nos dice que es 12, las dos ecuaciones son contradictorias o incompatibles. En el segundo caso, si 2x + 3y es igual a 9 y 3x – 5y es igual a 4, entonces 5x – 2t tendría que ser 13. Pero como se nos dice que 5x – 2y es igual a – 6, la tercera ecuación contradice a las dos primeras. En síntesis: Un sistema de ecuaciones puede tener solución (compatible) o no tenerla (incompatible). • Los sistemas compatibles pueden tener una solución (determinados) o infinitas (indeterminados). • Resolver un sistema es dar sus soluciones o concluir que no tiene solución.

•

Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones que veremos a continuación consisten, en esencia, en llegar rápida y eficazmente, mediante transformaciones válidas, desde el sistema inicial a su solución, o a la conclusión de que no la tiene. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES  Ejemplo 7: Una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere 1 hora de mano de obra para pintarse y media hora de mano de obra en pulido; el modelo B requiere 1 hora de mano de obra para cada uno de los procesos. Durante cada hora que la línea de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para pintura y 80 horas de mano de obra para pulido. ¿Cuántos autos de cada modelo pueden ser producidos cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra? Antes que nada, identificamos lo que buscamos: x: cantidad de autos modelo A y: cantidad de autos modelo B Luego, con los datos del problema, referentes a la cantidad de horas de mano de obra para pintura y para pulido, armamos el sistema: (pintura)

1x + 1y = 100

(pulido)

1 x + 1y = 80 2

Para encontrar la solución, podemos ir eliminando incógnitas por sustitución (despejamos una incógnita de una ecuación y la sustituimos en la otra ecuación): (pintura)

1x + 1y = 100

(pulido)

1 x + 1y = 80 2

⇒

x = 100 – y  1 (100 − y) + y = 80 2

⇒ 50 -

1 y + y = 80 2

1 y = 80 − 50 2 1 y = 30  2

y = 30 . 2 y = 60

9 Reemplazando y = 60 en : x = 100 – 60 x = 40 Entonces, la solución de este sistema es S = {(40, 60}. Esto significa que si se utilizan todas las horas de mano de obra disponibles, deberán fabricarse 40 autos modelo A y 60 autos modelo B. También podríamos haber obtenido esta solución realizando operaciones entre las ecuaciones del sistema (con la finalidad de obtener sistemas más sencillos de resolver), que garanticen la equivalencia de los mismos; es decir, que tengan la misma solución. ...