Apuntes de clase para resolver Asíntotas PDF

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Es un apunte obligatorio de la clase de matemática II que permiye al alumno de entender muy bien el tema de asintotas. Es una heramienta que permite al alumno resolver distintos ejercicios....

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ASÍNTOTAS Se llaman asíntotas de una función a las rectas a las cuales se aproxima indefinidamente dicha función. ASÍNTOTA HORIZONTAL ASÍNTOTA VERTICAL

ASÍNTOTA VERTICAL ASÍNTOTA OBLICUA

¿Cómo hallar las ecuaciones de las asíntotas dada una función? ASÍNTOTA VERTICAL Decimos que y  f (x) tiene una asíntota vertical en x  a si:

lím f ( x)  

o

x a

lím f ( x)   x a

0

lím f ( x)   x a

Ejemplo:

x3  27 x2  9 Para ver si la función presenta asíntotas verticales, lo primero que debemos hacer es hallar su dominio. Como sabemos su denominador no puede ser cero. Entonces: f ( x) 

x2  9  0 Buscamos así para qué valores de x el dominio se anula. Así:

x 2  9  0  x 2  9  x1  3

o

x2  3

Por lo tanto en Domf     3;3 Esos dos valores son posibles asíntotas, por lo tanto hay que calcular en límite de la función dada con x  3 y luego con x  3 . Si alguno de esos límites da infinito, entonces en ese punto existe una asíntota vertical. Veamos que sucede: 0 3

x  27 lím 2  x 3 x  9

Como podemos ver, es una indeterminación y por lo tanto debemos factorizar. 0

Para factorizar el numerador vamos a aplicar el método de Ruffini:

1 0 0 3

 27

Aplicando la definición de división

3 9 1 3 9 R 0

Para factorizar el numerador vamos a aplicar diferencias de cuadrados o si se quiere se puede aplicar nuevamente Ruffini obteniendo en ambos casos la misma expresión.

x2  9   x  3   x  3

Ahora remplazamos las expresiones halladas en el límite:

3 2 ( x2  3 x  9)  ( x  3) x  27 x  3 x  9 27 9 lím 2    lím  lím x 3 x  9 x 3 x 3 x2  3 ( x 2  3)  ( x  3) 12 4

Por lo tanto como el límite no da infinito, x=3 no es asíntota vertical. Ahora veamos lo que sucede en -3 -54

x 3  27 lím    x  3 x 3 x 2  9

Es ASÍNTOTA VERTICAL.

0

ASÍNTOTA HORIZONTAL Decimos que la función y  f (x) tiene asíntota horizontal en y  b si:

lím f (x )  b

lím f (x )  b

o

x 

x 

0

lím f (x )  b x 

La función y  f (x) tiene una asíntota horizontal en y  b si lím f (x )  b . x 

Ejemplos: 1)

f ( x) 

2x 2  3x 2 x 4

Vamos a calcular el límite:



x2  2 x

2



3x 2 2 3 2  2 x 3x x x x 2 lím 2  lím  lím 2 x  x  4 x  x 2   4 1 x  x 24 2 x2 x x 2





Por lo tanto y  2 es ASÍNTOTA HORIZONTAL. 2)

f ( x) 

2 x 2  3x 4x  1

Calculamos el límite:

2

2 x  3x lím  lím x 4 x 1 x



x2  2 x

2 2

x

3x

x 4 x  1 x x





x2  lím x



x 2  3

4  1 x    x

Por lo tanto como el límite da infinito, decimos que la función no tiene ASÍNTOTA HORIZONTAL. CONCLUSIÓN Para encontrar las asíntotas horizontales de f ( x) 

P (x ) P (x ) se debe hallar lím , el x   Q (x ) Q (x )

cual debe de dar un número. Por ello: 1) Si GP x  GQ( x)  lím f ( x)   x

NO TIENE ASÍNTOTA HORIZONTAL.

a 2) Si G P x  G Q (x )  lím f (x )  , donde a es el coeficiente principal de x  b P(x) y b es el coeficiente principal de Q(x) 3) Si G P x  G Q( x)  lím f ( x)  0 x

TIENE ASÍNTOTA HORIZONTAL y=a/b. TIENE ASÍNTOTA HORINZOTAL y=0.

ASÍNTOTA OBLICUA Decimos que la función y  f (x) tiene una asíntota oblicua y  mx  b diferencia f ( x )  ( mx  b) tiende a cero cuando x   .

si la

lím f (x)  mx  b   0 x

Para obtener la ecuación de la asíntota debemos hallar la pendiente m y la ordenada al origen b, para ello contamos con dos fórmulas:

m  lím

x 

Ejemplo: f ( x) 

x3  2 x 2 3x2  4 x

f ( x) x

y

b  lím  f ( x)  mx x 

Buscamos la pendiente:

x  2x 1 x 2 x x  2x   lím  lím 3 x 3x 2  4x x x x  3x 2  4x x 3 x  4 x2

m  lím

 lím

3

2

3

2



1  2x 3  4x

x 



3

2



 x  2x x    lím  4x x  3x  x x 3 x3  x

x

3

2

3

3

2

2

3

3

1 3

1 , ahora hallamos b: 3  x3  2 x2 1  3  x 3  2 x2  x  3 x 2  4 x 3 x3  6 x2  3 x3  4 x2  x   lím   lím m  lím  2 x 3 x  4 x 3  x 3  3x2  4 x 9x 2  12x 

Por lo tanto m 



2

2











2x 2x 2 2 2  lím  lím  b  2 x  9x  12x x  2 9 x 9  12 x 2 x 9  12 x 9 x  x2 x

lím

2





1 2 Por lo tanto y  x  es la ASÍNTOTA OBLICUA. 3 9...