Clase 12 Matematica financiera apuntes para estudio PDF

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Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra Matemática para las Finanzas TALLER EXAMEN FINAL

Amortización (Uso de Excel)

Índice de contenido Ejercicios ............................................................................................................................... 2 Información Útil para la Resolución de los Ejercicios .............................................................. 3 Amortización de deudas ..................................................................................................................3 Amortización constante ......................................................................................................................................... 3 Uso de Excel ........................................................................................................................................................ 5 Amortización gradual............................................................................................................................................. 7 Uso de Excel ...................................................................................................................................................... 10

Ejercicios Utilizando la hoja de cálculo Excel, resuelva los siguientes ejercicios.

Amortización constante 1.

Una tienda vende un equipo de video en $6700, precio de contado. Para promover sus ventas, lo ofrece a crédito con un pago inicial del 10% sobre el precio de contado y el saldo en 9 pagos mensuales iguales. Si la tasa de interés es del 28% anual sobre saldos insolutos, calcule el valor de los pagos mensuales mediante una tabla de amortización.

Amortización gradual

2.

Una persona compra un terreno de $ 130 000 pagando $13 000 de pago inicial y adquiere por el saldo restante un crédito hipotecario a 10 años con una tasa de interés del 17.5% capitalizable cada mes. a) Calcule el pago mensual. b) ¿Qué cantidad del pago número 60 se destina a cubrir intereses y qué cantidad se aplica en amortizar la deuda? c) ¿Qué cantidad se debe inmediatamente después de efectuado el pago número 60? d) ¿Qué porcentaje del terreno le pertenece a la persona después de efectuado el pago número 60?

Informaci Información ón Útil para la Resoluc Resolución ión de los Ejerc Ejercicios icios Amortización de deudas Muchas deudas se liquidan mediante un pago único en la fecha de vencimiento; sin embargo, es común que los créditos se contraten para pagarlos mediante abonos o pagos parciales. En ambos casos se dice que el préstamo se amortiza. Desde el punto de vista financiero, amortizar significa pagar una deuda y sus intereses mediante un pago único o mediante una sucesión de pagos parciales que, por lo general, son periódicos, los cuales pueden ser iguales o diferentes en cantidad. A los pagos parciales también se les llama abonos, cuotas, mensualidades (si los pagos son mensuales), etcétera. La parte del abono, pago parcial o cuota que se destina a reducir la deuda recibe el nombre de amortización. En general, se tiene que: 𝑨𝒃𝒐𝒏𝒐 = 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂𝒄𝒊ó𝒏 + 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐. De la igualdad anterior se deduce que la amortización es la parte del abono o pago parcial que reduce el capital original de la deuda. En teoría, el número de métodos de amortización de deudas que se pueden crear o diseñar es prácticamente infinito; todo depende de la creatividad de la persona que los diseñe. Sin embargo, los métodos de amortización más comunes son: •

amortización con interés global,

•

amortización constante y

•

amortización gradual.

Amortización constante Los métodos de amortización constante y gradual se basan en el saldo insoluto para el cobro de los intereses. La palabra insoluto significa no pagado; por lo tanto, un método de amortización donde los intereses se cobran sobre el saldo que queda por pagar cada vez que se realiza un abono recibe el nombre de amortización con intereses sobre saldos insolutos. El método de amortización constante consiste en pagar una deuda de tal manera que la cantidad destinada a reducir el capital de ésta es siempre la misma, y se calcula dividiendo el capital original entre el número de períodos de pago; esto es:

𝒂=𝒏

𝑷

donde 𝑎 es la amortización constante.

(Ecuación 1)

En este método de amortización los abonos o cuotas efectuados son decrecientes debido a que los intereses se calculan sobre el saldo insoluto, el cual disminuye con cada amortización. Ejemplo 1 La señora Sandoval compra una lavadora que tiene un precio de contado de $12 000. La compra la efectúa a crédito, sin pago inicial, pagando 6 mensualidades con una tasa de interés del 36% anual. Mediante el método de amortización constante, calcule el valor del abono mensual, así como el interés total que se paga por el uso del crédito. Solución El problema puede resolverse de dos maneras: mediante una tabla de amortización o mediante una fórmula. Se resolverá mediante una tabla de amortización. Una tabla de amortización muestra la forma en que va evolucionando la deuda hasta su liquidación, período a período. En primer lugar, se calcula la amortización constante mediante la ecuación (1): 𝑎=

𝑃 $ 12 000 = $ 2 000 = 6 𝑛

Los intereses mensuales se deben calcular sobre la parte no pagada del capital (saldo insoluto) que queda después de cada amortización. Desde el inicio del crédito y hasta el final del primer mes, el saldo insoluto es de $12 000. Por lo tanto, el interés a pagar al efectuar la primera amortización será: 𝐼 = 𝑃 ∙ 𝑖 ∙ 𝑡 = ($ 12 000) ∙ (

0.36 ) ∙ (1) = $ 360 12

Al final del primer mes se tendrá que pagar $2000 de amortización más $360 de intereses; es decir, se tendrá que dar un abono de $2360. El saldo insoluto al inicio del segundo mes es de $12 000 − $2000 = $10 000. El interés a pagar al final del segundo mes es: 𝐼 = ($ 10 000) ∙ (

El segundo abono será de $2000 + $300 = $2,300.

0.36 ) ∙ (1) = $ 300 12

Al pagar el segundo abono, el saldo insoluto es de $10 000 − $2000 = $8000. El interés a pagar al final del tercer mes es:

0.36 𝐼 = ($ 8 000) ∙ ( 12 ) ∙ (1) = $ 240

El tercer abono será de $2000 + $240 = $2240.

Continuando de esta manera, se tiene la siguiente tabla de amortización:

El precio total pagado por la lavadora es de $13 260, de los cuales $12 000 corresponden al capital y $1260 a los intereses. Se observa que el abono es cada vez menor, debido a que los intereses van decreciendo mes a mes. Es una práctica común que el abono realizado sea igual cada mes. Como el monto de la deuda es de $13 260, entonces el abono mensual constante es: 𝐴𝑏𝑜𝑛𝑜 =

$13 260 = $ 2 210. 6

Uso de Excel

Ejemplo 2 Una tienda departamental publicó el siguiente anuncio: Deshágase de su viejo televisor y adquiera la nueva pantalla de 60” Le ofrecemos el nuevo televisor con pantalla led Smart Precio de contado: $ 24 960

− Llévesela sin pago inicial, en 13 abonos mensuales. − Tasa de interés: 28.2% anual sobre saldos insolutos. Utilice la hoja de cálculo Excel y elabore la tabla de amortización. Solución En las celdas A4, B4 y C4 se escriben el capital, la tasa de interés y el número de meses, respectivamente. En la celda D4 se inserta la fórmula =

A4 C4

la cual proporciona la cantidad mensual que amortiza al capital. Vea la figura 1.

Figura 1 Las celdas A4 y D4 están en formato de moneda y la celda B4 en formato de porcentaje. La siguiente tabla muestra las celdas y las fórmulas que deben insertarse en dichas celdas para poder elaborar la tabla de amortización.

Una vez introducidas las fórmulas, éstas se copian a lo largo de las columnas utilizando el controlador de relleno. Observe que las fórmulas de las celdas B9 y C9 contienen referencias de celda absoluta, la cual se indica utilizando el signo de $. Para obtener los totales, se utiliza la función suma. Los números de la columna Mes se colocan de la siguiente forma: se escribe el número 0 en la celda A8, se seleccionan las celdas A8 a A21 y posteriormente se rellenan las celdas como una serie. De esta forma se colocan automáticamente los números del 1 al 13.

La tabla de amortización completa se muestra en la figura 2.

Figura 2

Amortización gradual

El método de amortización gradual consiste en pagar una deuda de tal manera que la cantidad destinada a reducir el capital aumenta gradualmente, y los abonos o cuotas realizadas son siempre iguales. Este es el método de amortización más usual en la práctica financiera. Al método de amortización gradual también se le conoce como método francés. En la amortización gradual el abono o cuota constante se calcula despejando 𝐴 de la fórmula del valor presente de una anualidad,

sea vencida o anticipada. Cada abono efectuado se divide en dos partes: en primer lugar se pagan los intereses que se adeudan

al momento en que se efectúa el pago, y el resto se aplica a disminuir el capital de la deuda. Como cada pago reduce el capital, los intereses que se pagan en cada período van disminuyendo; por lo tanto, resulta evidente que la amortización gradual de una deuda se lleva a cabo calculando los intereses sobre el saldo insoluto.

Ejemplo 3 Un préstamo de $18 000 se va a amortizar por medio de 6 pagos mensuales iguales. Calcule el abono mensual si la tasa de interés es del 34% capitalizable mensualmente. Solución El abono mensual se obtiene al despejar 𝐴 de la ecuación:

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝑃=𝐴[ ], 𝑖

o sea, 𝐴=

𝑃𝑖 , 1 − (1 + 𝑖)−𝑛

por tanto, 𝐴=

0.34 ) 12 −6, 0.34 ) 1 − (1 + 12 (18 000) (

𝐴 = $ 3 304.42

Para amortizar la deuda es necesario realizar 6 pagos mensuales de $3304.42. Ejemplo 4 Elabore la tabla de amortización para el ejemplo 3. Solución Como ya se mencionó, la tabla de amortización muestra la forma en que una deuda está siendo pagada; esto es, permite ver cómo se va reduciendo la deuda con cada abono efectuado. La tabla de amortización es la siguiente:

A continuación, se explica cómo se elabora la tabla de amortización. El saldo insoluto (columna 5) al inicio del primer mes (mes 0) es la deuda original de $18 000. El interés vencido al final del primer mes (mes 1), mostrado en la columna 3, se calcula utilizando la fórmula del interés simple: 𝐼 = (18 000) (

0.34 ) (1) = $ 510 12

El pago mensual o abono (columna 4) realizado al final del primer mes es de $3304.42, de los cuales se utilizan $510 para el pago del interés vencido, y el resto, $3304.42 − $510 = $2794.42, se utiliza como pago al capital (amortización). Al final del primer mes se tiene un saldo insoluto de $18 000 − $2794.42 = $15 205.58. Al término del segundo mes, el interés vencido es: 𝐼 = (15 205.58) (

0.34 ) (1) = $ 430.82 12

Del abono mensual hecho al final del segundo mes se destinan $ 430.82 para pagar el interés vencido, y el resto, $3304.42 −

$430.82 = $2873.60, como pago al capital.

Al final del segundo mes el saldo insoluto es de $15 205.58 − $2873.60 = $12 331.98, y así sucesivamente. Puede verificarse que: •

la parte de cada abono mensual que se usa para pagar intereses sobre la deuda es decreciente, y el resto del abono, que se aplica a la deuda misma, es creciente;

•

las cantidades que amortizan la deuda van creciendo en sucesión geométrica;

•

en todas las filas se verifica que:

•

cada una de las cantidades mostradas en la columna 5 (saldo insoluto) representa el valor presente de los pagos o

𝑃𝑎𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 + 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠

abonos mensuales que faltan por realizar. Por ejemplo, la cantidad de $9376.97, mostrada en la columna 5, es el saldo insoluto al final del tercer mes y, por lo tanto, es el valor presente de los 3 pagos que faltan por efectuarse, como se muestra a continuación: 𝑃 = 3 304.42 [

0.34 −3 ) 12 ] = $ 9 376.95 0.34 12

1 − (1 +

La pequeña diferencia que se observa en el resultado con respecto al mostrado en la tabla se debe al redondeo de las cantidades.

Uso de Excel

Ejemplo 5 Una empresa solicita un préstamo de $1 000 000 que será pagado mediante 6 abonos trimestrales. La tasa de interés es del 20% anual capitalizable cada trimestre. ¿Cuál es el valor de los abonos? Elabore la tabla de amortización. Solución En las celdas A4, B4 y C4 se escriben el capital, la tasa de interés y el número de pagos trimestrales, respectivamente. En la celda D4 se calcula el valor del abono trimestral utilizando la función financiera PAGO. Las celdas A4 y D4 están en formato de moneda y la celda B4 en formato de porcentaje. Vea la figura 3.

Figura 3 Una vez que se tiene el pago trimestral, la siguiente tabla muestra las celdas y las fórmulas que deben insertarse en dichas celdas para poder elaborar la tabla de amortización.

Observe que en la fórmula de la celda D9 después del signo igual hay un signo negativo a fin de hacer positivo el valor tomado de la celda D4, el cual es negativo. Asimismo, la fórmula contiene referencias de celda absoluta, la cual se indica utilizando el signo $. Una vez introducidas las fórmulas, éstas se copian a lo largo de las columnas utilizando el controlador de relleno.

Los números de la columna Mes se colocan de la siguiente forma: se escribe el número 0 en la celda A8, se seleccionan las celdas A8 a A14 y posteriormente se rellenan las celdas como una serie. De esta forma se colocan automáticamente los números del 1 al 6. La tabla de amortización completa se muestra en la figura 4.

Figura 4...