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HistoriaGeneral dela Ciencia IGrado en Filosofía. UNED.2021Mª DOLORES REBOLLO JIMÉNEZEsta asignatura abarca el desarrollo del conocimiento científico desde la Antigüedad hasta Newton (siglo XVII).ÍNDICE####### BLOQUE A:####### 1. La matemática de la Antigua Grecia.####### Tales de Mileto hasta Arquí...

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Historia General de la Ciencia I Grado en Filosofía. UNED. 2021

Mª DOLORES REBOLLO JIMÉNEZ

Esta asignatura abarca el desarrollo del conocimiento científico desde la Antigüedad hasta Newton (siglo XVII).

ÍNDICE BLOQUE A: 1. La matemática de la Antigua Grecia. Tales de Mileto hasta Arquímedes 2. La astronomía de la Antigua Grecia. BLOQUE B: 3. La revolución Copernicana. 4. El origen de la física moderna Galileo, Descartes y Newton.

Correo del tutor: [email protected], Nino Guallart

TEMA 1: La matemática de la Antigua Grecia 1. INTRODUCCIÓN En este tema abarcaremos desde Tales de Mileto hasta Arquímedes. Las matemáticas, en su origen, tienen que ver con varias operaciones que ha realizado el ser humano desde la prehistoria: Contar, medir y calcular (aritmética, geometría y álgebra). Calcular consiste en utilizar los datos obtenidos a partir de contar y medir para obtener otros datos. Son necesidades básicas de cualquier civilización, con muy pocas las culturas que carecen de conceptos con los cuales poder al menos contar y medir. Estas necesidades fueron tan importantes que es muy probable que los primeros símbolos escritos se usaran precisamente para representar cantidades, como unidades de peso de grano, trigo, cerveza… Las antiguas culturas de Mesopotamia (sumerios, babilonios…), Egipto, China e India desarrollaron no solo conceptos para contar y medir, sino también técnicas de cálculo relativamente sofisticadas, transmitidas (en papiros egipcios o tablillas cuneiformes en Mesopotamia) en forma de “problemas” o “recetas” aplicadas sólo a casos concretos sin una demostración. La matemática (y la ciencia) griegas forman parte de esa nueva actividad que los griegos denominaron philosophía (amor al saber) y theoría (contemplación). A diferencia de otras civilizaciones en las que el saber debía estar orientado a la práctica, la filosofía fue para los griegos el saber por el saber, hacen suya la capacidad de asombrarse por cómo son las cosas solo por el hecho de conocerlas y comprender el universo sin que tengan una aplicación práctica. No quiere decir que desdeñaran la aplicación práctica, sino que le daban valor intrínseco a la pura contemplación intelectual. Características del “saber teórico”: ✓ Universal/Abstracto: No limitado a casos concretos ✓ Intelectual: Valora más la comprensión que la aplicación práctica (sin despreciar ésta) ✓ Demostrativo: Intenta justificarse como la conclusión de una argumentación racional, no como simple opinión o doxa. La matemática fue para los griegos el mejor paradigma de este tipo de saber teórico, la filosofía por antonomasia, y el terreno en el que alcanzaron sus mayores éxitos científicos.

No se conserva ninguna obra matemática completa anterior a los Elementos de Euclides (alrededor del 300 aC), obra convertida en el manual de geometría empleado en todo occidente desde la época de Euclides hasta el siglo XVIII-XIX. Sólo se conservan referencias en otras obras, salvo La esfera en movimiento, de Autólico de Pitane, final siglo IV aC. Existieron otras obras nombradas igualmente “Elementos”, pero de ellas no se conservan textos sino referencias. Los primeros Elementos los escribió Hipócrates de Quíos (mediados s. V aC) y probablemente los dos primeros libros de los Elementos de Euclides se basan en aquellos o sean una reconstrucción de los mismos. La primera Historia de las matemáticas fue compuesta por el peripatético Eudemo de Rodas (segunda mitad s. IV aC), pero sólo se conservan resúmenes posteriores.

2. PANORAMA DE LA MATEMÁTICA GRIEGA Siglo VI aC: − −

Tales de Mileto (Teoremas, proporcionalidad, ángulo inscrito-diámetro) Pitágoras de Samos (Teorema, números irracionales)

Siglo III aC: − −

Conón de Samos (cónicas, espirales) Apolonio de Pérgamo (cónicas, epiciclos, tangencias, secciones de segmentos: álgebra)

−

Arquímedes de Siracusa (cónicas, espirales, estimación de Π, aritmética, aplicación de la geometría a la mecánica y la hidráulica) Eratóstenes (números primos, mediciones

Siglo V aC: −

−

Hípaso de Metaponto y Teodoro de Cirene (números irracionales)

−

Hipócrates de Quíos (Elementos, cuadratura de lúnulas, media geométrica) Antifonte y Brison de Heraclea (estimación de Π)

Siglo II aC: −

Hiparco de Nicea (trigonometría, geometría esférica: paralelos y meridianos)

Hipias de Elis y Arquitas de Tarento (curvas definidas por movimiento; duplicación del cubo)

−

Teodosio de Bitinia (Esférica, eclíptica)

Demócrito (volumen del cono y la pirámide)

− −

Herón de Alejandría (superficies y volúmenes) Menelao de Alejandría (geometría esférica)

−

Nicómaco de Gerasa (aritmética, tablas multipl.)

− −

−

Siglo IV aC:

astronómicas)

Siglo I dC:

Siglo II dC:

−

Eudoxo de Cnido (método de exhaución, variables continuas) Teeteto (irracionales, sólidos regulares)

− −

Autólico de Pitane (esfera) Dinóstrato (cuadratriz)

Siglo III dC:

−

Menecmo (cónicas)

−

Diofanto de Alejandría (aritmética, álgebra)

−

Euclides (Elementos, cónicas, trigonometría esférica, óptica: reflexión y perspectiva)

−

Pappus de Alejandría (Collectio, geometría)

−

−

Claudio Ptolomeo (geometría esférica, óptica)

Siglo IV-V dC: −

Hipatia de Alejandría (cónicas, aritmética)

3. LA MATEMÁTICA GRIEGA ANTERIOR A EUCLIDES La tradición atribuye a Tales de Mileto y a Pitágoras de Samos la introducción del conocimiento matemático en Grecia a partir de Oriente (Tales de Egipto y Pitágoras de Mesopotamia), aunque incorporado a un deseo de comprensión teórica del mundo y, en el caso de Pitágoras, mística. Es imposible saber si los teoremas que se les atribuyen eran realmente conocidos por ellos, y menos aún si ellos llegaron a ofrecer alguna “demostración”.

3.1. Teoremas de Tales • “Primer” teorema Si en el interior de un triángulo se traza una línea paralela a uno de sus lados, se obtiene un triángulo semejante o proporcional al primero respecto a la longitud de sus lados: ABC es semejante a AB’C’ AB/AC = AB’/AC’ De la misma manera, los ángulos en B’ y C’ son iguales a los ángulos en B y en C, respectivamente. Según la tradición, Tales utilizó este teorema para medir la altura de la Gran Pirámide de Keops

• “Segundo” teorema El triángulo que forman los dos extremos (A, C) del diámetro de una circunferencia y un punto cualquiera de la circunferencia (B) es rectángulo, con un ángulo recto (90º) en ese punto. Al contrario que con el primer teorema, la validez del segundo no es tan inmediatamente obvia, y requiere alguna demostración: Otra posible demostración: 2β + α = 2γ + δ = 180° 2β + α + 2γ + δ = 360° Pero α + δ = 180° Luego 2β + 2γ = 180° 2 (γ+β) = 180°, γ+β = 90°

En este ejemplo ya podemos apreciar algunas contribuciones importantes de los griegos al razonamiento matemático: → El uso del diagrama con letras, que permite ir siguiendo los pasos de la demostración. → La necesidad de basarse en resultados previo, es decir, que el conocimiento matemático es acumulativo. Por ejemplo, que los ángulos de un triángulo suman 180°. → La generalidad del resultado, pese a que el diagrama muestra un solo ejemplo, es decir, da igual dónde coloquemos el punto B, siempre que esté sobre la circunferencia. → La frecuente necesidad de construir con la imaginación elementos creativos añadidos a la figura original, para explorar las consecuencias que se siguen de ellos acerca de ésta. Por ejemplo, el radio BD, o el triángulo inferior, en la página anterior.

3.2. Pitágoras No está claro que el mismo Pitágoras hiciera contribuciones significativas a las matemáticas, todo lo que se cuenta sobre él es bastante legendario y es muy probable que las “matemáticas pitagóricas” sean más bien teoremas demostrados por sus seguidores. Pitágoras tenía una visión mística de la realidad, cuyos principios últimos pensaba que eran números, y creían que la naturaleza estaba gobernada por la oposición par-impar. Se le atribuye también la aplicación de la aritmética a la música mediante la creación de intervalos sonoros como proporciones en la lira pitagórica.

• Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a² + b² = c²

Los babilonios conocían, ya hacia el 1800 aC, numerosas “ternas pitagóricas”, es decir, series de tres números enteros a, b, c, tales que a² + b² = c², y que permiten, por tanto, construir triángulos rectángulos. Por ejemplo, la terna 3, 4, y 5, que sería 3² + 4² = 5², Pero el teorema, como propiedad general de los triángulos rectángulos, no limitada a números enteros, sólo fue formulado y demostrado en Grecia. Un aspecto interesante del teorema es que su validez no es intuitivamente obvia en absoluto, al contrario que la de los teoremas de Tales. No se conservan las demostraciones originales del teorema (más adelante veremos la de los Elementos de Euclides). Una prueba sencilla es la siguiente: el área sombreada en el cuadrado de la izquierda es igual a la sombreada en el de la izquierda, o sea, 4 triángulos, cada uno de área ab/2:

• Los números irracionales Los pitagóricos se aplicaron a explorar las consecuencias de “su” teorema y una de ellas fue especialmente sorprendente: No hay ninguna unidad A para la que existan dos números naturales n y m, tales que, si el lado de un cuadrado mide nA unidades, la diagonal mida mA unidades

Esto es: la diagonal no es conmensurable con el lado

En particular, si consideramos un cuadrado cuyo lado mide 1, lo que dice este teorema es que no hay ninguna razón n/m entre números naturales n y m, tal que la diagonal mida exactamente n/m. O sea, esa diagonal (que por el teorema de Pitágoras mide √2) es “irracional” (“a-lógica”, “in-expresable”). Parece que esto supuso un “jarro de agua fría” para la pretensión pitagórica de reducir toda la realidad a números… pero contribuyó considerablemente al desarrollo de las matemáticas. La prueba más conocida es uno de los primeros ejemplos de demostración por reducción al absurdo: − Supongamos que √2= 𝑛⁄𝑚 , y que hemos eliminado todos los factores comunes que puedan tener n y m. Esto implica que n y m no pueden ser ambos pares, pues serían divisibles por un factor común (2), por lo que uno de ellos como mínimo ha de ser impar. − Pero si 𝑛⁄𝑚 = √2, al elevar ambas al cuadrado, entonces (𝑛⁄𝑚 )2 = 2 = n2/m2

− −

Luego n2 = 2m2, y por lo tanto, n es par (pues los números cuadrados pares son siempre el cuadrado de un número par), y habrá un número p tal que n = 2p Por tanto, (2p)2=2m2, o sea: 4p2=2m2 De aquí se sigue que m2=2p2

−

¡Luego m es también un número par! CONTRADICCIÓN

−

La suposición de partida, por lo tanto, es falsa

• La “proporción áurea” También conocida como “sección de un segmento en extrema y media razón”. Otra consecuencia importante del teorema de Pitágoras fue el descubrimiento de la “sección áurea” (este nombre lo dio Luca Pacioli a principios del s. XVI): cómo dividir un segmento en dos subsegmentos a y b, de tal modo que: (a+b)/a = a/b = Φ Φ = (a+b)/a = (a/a) + (b/a) = 1 + 1/Φ = Φ Φ – 1 = 1/Φ Φ2 – Φ = 1 → Φ2 = Φ + 1 Φ2 – Φ – 1 = 0

Aunque en Euclides la “sección” aparece como solución de un problema (“dividir un segmento de tal modo que…”), es posible que fuese descubierta explorando las propiedades del triángulo rectángulo en el que un cateto mide el doble que otro (en cuyo caso la hipotenusa mide √5 por el cateto menor) Por simplicidad, suponemos que CD = 1 y AC = 2 Entonces, AD = √5, B’D = 1, AB = AB’ = √5-1 y BC = 2-(√5-1) = 3-√5 AB y BC están en proporción aurea, esto es, AB/BC = AC/AB

Si formamos un triángulo isósceles (dos lados iguales) cuyos lados diferentes estén en proporción áurea: (AC/DC = AC/AB = Φ) ¡Obtenemos los componentes de un pentágono regular! Este descubrimiento llevó posiblemente a los pitagóricos a elegir el pentagrama con la estrella de 5 puntas como su emblema simbólico. También demostraron que la proporción áurea es irracional, es decir el lado y la diagonal de un pentágono son inconmensurables entre sí, pues da infinitos números no periódicos.

φ = 1.6180339…

4. LOS TRES “GRANDES PROBLEMAS” En el siglo V aC, los matemáticos descubrieron tres problemas aparentemente sencillos, pero que no fueron capaces de resolver si se limitaban a construcciones que pudieran hacerse usando solo regla y compás: 1. La cuadratura del círculo: dibujar un cuadrado de área igual a un círculo dado; este problema equivale a dibujar una recta de longitud igual a una circunferencia. 2. La trisección del ángulo: dividir un ángulo en tres partes iguales. 3. La duplicación del cubo: construir un cubo cuyo volumen sea el doble que un cubo dado. Solo en el siglo XIX se pudo demostrar que los tres problemas son irresolubles. En principio, estos problemas parecían resolubles porque se habían resuelto problemas parecidos: − − −

Cuadratura de polígonos (triángulos, rectángulos...) y algunas figuras circulares (lúnulas) Bisección de un ángulo dado Duplicación del cuadrado: es el caso que usa Platón en el Menón como argumento sobre la anamnesis.

Algunas ideas importantes que fueron desarrolladas y descubiertas tratando de resolver estos problemas fueron:

4.1. Media proporcional, o geométrica: X es la media proporcional entre A y B si esto es, AB = 𝑋2 , y por tanto X = √𝐴𝐵

𝐴

𝑋

𝑋

= , 𝐵

Hipócrates demostró que se podría duplicar el cubo encontrando dos medias proporcionales entre 1 y 2, esto es, X e Y tales que si 1

1

( 𝑋) 3 = 𝑋 ·

𝑋

𝑌

Y

1

𝑋

=

𝑋

𝑌

= 𝑌2 , pues en ese caso,

1

· 2 = 2 , ergo X3=2, o sea, X = 3√2

Las proporciones en forma a/b = b/c = c/d = d/e = … forman lo que hoy llamamos una “progresión geométrica”.

4.2. El método de exhaución: Demócrito demostró que el volumen de una pirámide es 1/3 del de un prisma de base igual (o el de un cono respecto a un cilindro), suponiendo que esos cuerpos se dividían en capas infinitamente delgadas Eudoxo, Euclides y Arquímedes aplicaron este método a casos más complejos, constituyendo un precedente del cálculo integral de Newton y Leibniz. Antifonte y Bryson pensaron que se podía aproximar el tamaño de una circunferencia rodeándola de polígonos cada vez con un mayor número de lados

4.3. Curvas no circulares: • Curva de Arquitas

• Trisectriz de Hipias o Cuadratriz de Dinóstrato

• Cónicas Las curvas no circulares cónicas fueron una aportación de Menecmo y Apolonio. Sea un cubo de arista a. A partir de la proporción continua: 𝒂 𝒙

=

𝒙

𝒚

𝒚

= 𝟐𝒂 , resultado de interpolar dos medias

proporcionales entre 𝒂 y su doble 𝟐𝒂 , se obtienen las parábolas 𝒙𝟐 = 𝒂𝒚, 𝒚𝟐 = 𝟐𝒂𝒙, y la hipérbola equilátera 𝒙𝒚 = 𝟐𝒂𝟐.

Tanto la intersección de las dos parábolas, como la intersección de una de las parábolas, como la intersección de una de las parábolas y la hipérbola proporciona 𝒙𝟑 = 𝟐𝒂𝟑, es decir, la arista del cubo de volumen doble.

• Espiral de Arquímedes Quizá la curva “mecánica” más famosa es la estudiada por Arquímedes, motivado probablemente por sus estudios sobre la cuadratura del círculo en su tratado Sobre las Espirales. Se trata de la conocida Espiral de Arquímedes: la curva descrita por un punto M que se mueve sobre una recta a velocidad uniforme, mientras la recta gira, también a velocidad uniforme. Esta curva permite resolver el problema de la trisección de un ángulo (como se deduce de la Proposición 14 de la obra citada) y también el de la rectificación de la circunferencia (lo que, como sabemos, implica la cuadratura del círculo), debido a una importante propiedad de la tangente a la espiral que demuestra Arquímedes en la Proposición 20: La subtangente OQ en un punto P de la espiral (es decir, la intersección de la tangente en P con la perpendicular al radio vector OP por O) es igual a la longitud del arco PS de la circunferencia de centro O y radio OP (véase la figura de la derecha). En particular, si consideramos el punto R, en donde la espiral corta al eje de ordenadas, la subtangente en R es el segmento OM en donde M es la intersección de la tangente con el eje de abscisas y, por lo dicho, la longitud de la circunferencia de radio OR es cuatro veces la longitud de ese segmento. DUDAS: Entonces el primer tratado griego que se conoce de matemáticas es La esfera en movimiento, de Autólico de Pitane y el segundo Elementos de Euclides

5. PLATÓN Y ARISTÓTELES 5.1. Platón Aunque la filosofía platónica fue más que la pitagórica, Platón fue un pitagórico en aspectos epistemológicos y cosmológicos, según Aristóteles. Para Platón, el alma racional es prisionera del cuerpo material, lo que justifica el desprecio por los sentidos y el entusiasmo por el conocimiento puro, inquebrantable y necesario y las matemáticas de su tiempo, de eso, ofrecían buenos modelos. Es posible el conocimiento porque el Demiurgo ordenó el caos y se sirvió de armonías y razones matemáticas. Eso supuso la posibilidad de estudiar matemáticamente la naturaleza pues está regida por ellas. Pero los principios de las cosas están en la geometría y no ya en los números pitagóricos, dado el conocimiento de los inconmensurables. A los 40 años Platón viajó a Italia para conocer las ideas de los pitagóricos sobre las matemáticas y la educación. Las matemáticas eran importantes para entrenar al alma en el alejarse de las apariencias de los sentidos y centrarse en las Formas o Ideas inmutables y eternas de la razón. Lo conseguía porque los objetos matemáticos son necesarios como las Formas pero plurales como los objetos sensibles, siendo un escalón intermedio para superar a estos y acceder a aquellas. En el 380 a.C, al volver de Italia, fundó la Academia que carecía del secreto y misticismo pitagóricos pero que rendía religiosamente culto a las musas, enseñaba teología y teleología cósmica, en la que las matemáticas tenían un papel fundamental. Los objetos sensibles, afectados según Heráclito al cambio continuo, no se sujetan al concepto de objeto de conocimiento. En un mundo separado de ellos, las Formas son únicas, inmutables y eternas, pueden ser por tanto objeto de conocimiento ya que la parte racional del alma es de su misma naturaleza. Pero las cosas reciben su realidad por participación en las Formas del mundo más allá del firmamento, patrón de lo que pueda haber de racional en nuestro mundo. Entre los objetos sensibles y los inteligibles están los matemáticos que crean un estado mental entre la opinión derivada de los sentidos y el conocimiento real de las Formas, facilitando el acceso a éste mediante la dialéctica. La diferencia entre pitagóricos y Platón es la idea de “participación” o imitación de Formas, además dice que aparte de las cosas sensibles y de las Formas están los objetos de las matemáticas que ocupan una posición intermedia, pues difieren de las cosas sensibles en que son eternas e inmutables y de las Formas en que hay muchas semejantes, mientras que la Forma misma es en todos los casos única. Esta función de las matemáticas sancionó la separación de las matemáticas de los cálculos prácticos (la logística) y reafirmó su carácter abstracto y demostrable, pero alentó su uso para escapar de la realidad sensible y no para estudiar geométricamente lo propio de este

mundo: el cambio y el movimiento. Metodológicamente el problema es que las matemáticas se basan en ...