Apuntes matemáticas - Profesor Jose Manuel Soto Álvarez. PDF

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Profesor Jose Manuel Soto Álvarez....

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ÍNDICE Tema 1. Espacio vectorial real

- Combinación lineal de vectores - Dependencia e independencia lineal de vectores - Sistema generador y base de un sistema vectorial Tema 2. Diagonalización de matrices

- Vector propio y valor propio de una matriz - Condiciones de diagonalización Tema 3. Formas Cuadráticas

- Expresión de una forma cuadrática - Clasificación de las formas cuadráticas • Libres • Resrtringidas Tema 4. Funciones de varias variables

- Dominio - Gráfica de una función - Curvas de nivel Tema 5. Derivabilidad y diferenciabilidad de funciones

- Derivabilidad • Derivadas parciales • Vector gradiente

-

• Matriz Hessiana Diferenciabilidad

Tema 6. Funciones Homogéneas

- Concepto - Propiedades - Aplicación económica: rendimientos a escala

Tema 7. Optimización de funciones de varias variables -

TEMA 1. ESPACIO VECTORIAL REAL Son espacios vectoriales: R , R₂ , R₃ … Rₙ R₂ = ｛(x , y)︱x , y ∈ R｝→ R₂ es un vector de dos componentes, ambos números reales. R₃ = ｛(x , y , z)︱x , y , z ∈ R｝ Rₙ = ｛(x , y , z , u)︱x , y , z , u ∈ R｝ 1.1. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Dado los vectores ▽₁,▽₂,▽₃… ▽ₙ , se denomina combinación lineal de dichos vectores al vector (▽ₖ) que resulta de sumar y multiplicar por un escalar (λ) los vectores anteriores. ▽ₖ = λ₁ ▽₁ + λ₂ ▽₂+ λ₃ ▽₃ +…+ λₙ ▽ₙ

→

λ₁ , λ₂ , λ₃ … λₙ ∈ R

La combinación lineal convexa de vectores se trata de un caso particular de la combinación lineal de vectores en la que los escalares son ① todos positivos y, además, ② la suma de los mismos es igual a 1. 1.2. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES Un conjunto de vectores serán linealmente independientes si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal del resto. Estudiaremos la dependencia e independencia lineal de los vectores de la siguiente forma: ① Construiremos la matriz de los vectores, que será cuadrada y cuyo orden coincidirá con el número de vectores. El primer vector será la primera columna de la misma, y así sucesivamente. ② Haremos el determinante de la matriz, cuyo rango coincidirá con el número de vectores linealmente independientes. ③ En Rₙ existirán como máximo n vectores linealmente independientes. 1.3. SISTEMA GENERADOR Y BASE DE UN SISTEMA VECTORIAL Un sistema generador de un espacio vectorial será un conjunto de vectores de dicho espacio vectorial a partir de los cuales y por combinación final se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio espacio vectorial.

El conjunto A = ｛(1 , 2), (2 , 1), (1 , 3)｝es un sistema generados de espacio vectorial R₂. Se define como base de un espacio vectorial como un conjunto de vectores que ①

son un

sistema generador y, ② son linealmente independientes.

TEMA 2. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 2.1. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Sea A una matriz cuadrada de orden n y x un vector no nulo (x ≠ 0); se dice que x es un vector propio de la matriz A asociado a un valor propio λ si verifica la siguiente relación: Ax=λx 2.2. CONDICIONES DE DIAGONALIZACIÓN ︱A - λ I︱= 0

1. Si la matriz A cuadrada de orden n es simétrica entonces será diagonalizable. 2. Si tras aplicar la relación anterior la matriz cuadrada A de orden n tiene sus n valores propios distintos, entonces será diagonalizable. 3. Teorema de la diagonalización. Sea A una matriz cuadrada de orden n y sean λ₁, λ₂, λ₃ … λₙ los valores propios de dicha matriz, siendo m₁, m₂, m₃ … mₙ los respectivos ordenes de multiplicidad (las veces en las que se repite cada uno de los valores propios), se dice que la matriz A será diagonalizable si y sólo si se cumple la siguiente relación: Rg (A - λ I) = n - m

TEMA 3. FORMAS CUADRÁTICAS Una forma cuadrática es un polinomio en el que todos los términos o sumandos que poseen son de grado 2. f (x , y) = x² + xy + y²

→

Es forma cuadrática

3.1. EXPRESIÓN DE UNA FROMA CUADRÁTICA Una forma cuadrática puede expresarse: ① De forma matricial (matrices)

② De forma analítica (polinomio)

3.2. CLASIFICACIÓN DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS Formas cuadráticas libres ︱Dₙ︱≠ 0

︱Dₙ︱= 0

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +…0

F.C. Definida Positiva

F.C. Semidefinida Positiva

- + - + - + - + -

- + - + - + - + -…0

F.C Definida Negativa

F.C. Semidefinida Negativa

RESTO Indefinida

Formas cuadráticas restringidas ① Resolver el sistema de ecuaciones homogéneo. ② La solución de dicho sistema homogéneo se sustituirá en la forma cuadrática restringida. ③ Una vez realizada la sustitución, nos quedará una forma cuadrática libre.

TEMA 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4.1. DOMINIO Polinomio

Todos los valores de R

Fracción

Denominador = 0

√ f (x) (índice par)

f (x) ≥ 0

√ f (x) (índice impar)

Ver f (x)

Log f (x)

f (x) > 0

Exponente

Ver f (x)

Sen / cos f (x)

Ver f (x)

4.2. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN En el caso de las funciones de una sola variable y = f (x), su gráfica será siempre una curva que se representará en R². En el caso de funciones de dos variables independientes, y = f (x , y), son la familia de curvas de la función y = f (x , y) = K, siendo K ∈ R. 4.3. CURVAS DE NIVEL Es un concepto referido exclusivamente a funciones d dos variables independientes y = f (x , y). Las funciones de dos variables independientes se representan en R³ (espacio). Sin embargo, podemos aproximarnos en el plano, R², a dicha representación mediante las denominadas curvas de nivel. Las curvas de nivel de una función y = (x , y) son la familia de curvas de la función y = f (x , y) = K, siendo K ∈ R. ① Identificar la forma de la función (recordatorio). ② Igualar la función a diferentes números (K) para hallar puntos. ③ Representar la función.

TEMA 5. DERIVABILIDAD Y DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES 5.1. DERIVABILIDAD 5.1.1 Derivadas parciales La derivada parcial d f /d x de la función f (x, y) mide la variación de la variable dependiente fante una variación infinitesimal de la variable independiente x, permaneciendo constante la variable y. 5.1.2 Vector gradiente Se define el vector gradiente de una función como aquel vector cuyos componentes son las derivadas parciales primeras de la función respecto a cada una de las variables independientes.

5.1.3 Matriz Hessiana Sea la función f (x, y) se define la matriz hessiana de dicha función como la matriz cuadrada de orden n (coincide con el número de variables) cuyos elementos sondas derivadas parciales segundas de la función.

5.2. DIFERENCIABILIDAD Se define la diferencial de una función en un punto como la variación aproximada que experimenta la variable dependiente ante una variación de las variables independientes a partir de dicho punto.

Para que una función sea diferenciadle en un punto debe cumplir las siguientes condiciones:

- La función debe existir y ser continua en (x₀,y₀). - Las derivadas parciales de la función deben existir y ser continuas en (x₀,y₀). 5.3. EL POLINOMIO DE TAYLOR El Polinomio de Taylor proporciona una aproximación polinómica de una función en un punto concreto, pudiendo, dependiendo del error cometido en dicha aproximación, sustituto a efectos operativos, la propia función por el Polinomio de Taylor para un punto concreto. Se concreta siempre en un punto, es decir, es local.

5.4. FUNCIONES COMPUESTAS Una función compuesta es aquella que está formada por una composición de funciones. Por ejemplo: Sea la función f (x,y) = 2x + y, con x = 2u + v e y = 3v:

5.5. FUNCIONES IMPLÍCITAS Hay ocasiones en las que la función viene definida de forma implícita a través de la ecuación. Para ello deben cumplir una serie de condiciones: Siendo f (x,y) = k una función en la que x = f (y) es implícita en el entorno del punto (m,n). 1. La función en el punto debe ser igual a la constante de la ecuación: f (m,n) = k 2. Deben de existir y ser continuas todas las derivadas parciales en dicho punto. 3. La derivada parcial de la variable despejada en la implícita es distinta de 0.

TEMA 6. FUNCIONES HOMOGÉNEAS 6.1. CONCEPTO Se dice que la función f : D ∈ Rⁿ ⟶ R es homogéneo a de grado m (m ∈ R) si para todo (x₁, x₂, x₃ … xₙ) ∈ D y t > 0 se verifica que: f (x₁, x₂, x₃ … xₙ) ⟶ f (tx₁, tx₂, tx₃ … txₙ) = t ᵐ f (x₁, x₂, x₃ … xₙ) 6.2. PROPIEDADES

- Suma de funciones homogéneas (tienen que tener el mismo grado)

- Multiplicación y división (no es necesario que tengan el mismo grado)

- Derivación f (x) = H (m) ⟶ ∂ f (x) = H (m - 1)

- Teorema de Euler Proporciona una condición necesaria y suficiente para que una función sea homogénea. x . ∂f / ∂x + y . ∂f / ∂y = m f (x , y) 6.3. APLICACIÓN ECONÓMICA: RENDIMIENTOS A ESCALA Q (k₁, k₂, k₃ … kₙ) donde k₁, k₂, k₃ … kₙ son las unidades empleadas de los factores productivos. Si Q es homogénea de grado m: Q (tk₁, tk₂, tk₃ … tkₙ) = t ᵐ Q (k₁, k₂, k₃ … kₙ) Según los valores de m: m = 1 ⟶ Rendimientos constantes a escala (homogénea lineal) m > 1 ⟶ Rendimientos crecientes a escala m < 1 ⟶ Rendimientos decrecientes a escala m = 0 ⟶ Entonces t = 1, por lo que Q no varía....