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Apuntes sobre Prácticas/Introducción al Mathematica...

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Prácticas CALCULO II Mathematica 7 - E.I.I. de Albacete INTRODUCCIÓN AL MATHEMATICA. INSTRUCCIONES USUALES Conocimientos previos para alumnos que desconocen el programa Mathematica Aviso 1.- Éste es un documento interactivo, que el usuario puede modificar si lo desea. Se recomienda trabaja en una copia del documento. Tambien se recomienda, en todo caso, que las instrucciones Mathematica s vayan ejecutando en modo secuencial, ya que de lo contrario, se pueden obtener resultados inesperados si e alguna instrucción es necesaria una función o variable definida en otra anterior. Aviso 2.- Para comenzar a trabajar tienes que desbloquear las celdas que ahora estan bloqueadas. Seleccion la celda que quieres desbloquear a la derecha (puedes seleccionar todas a la vez), elige Cell en el menú princiu pal superior, dentro de él selecciona Cell Properties y dentro de éste desactiva Active. Nota.- Los ejercicios propuestos y que el alumno tiene que resolver particularmente y enviar al profesor d prácticas tienen este color amarillo de fondo.

0.0 Características: Mathematica es un sistema de cálculo científico (simbólico, numérico y gráfico) interactivo, con una sintaxi próxima a la notación matemática, disponible para una amplia gama de sistemas operativos. Algunas de sus capacidades son: Operaciones numéricas en aritmética racional exacta o decimal de precisión arbitraria. Manipulación algebraica de variables y símbolos. Operaciones con polinomios, fracciones algebraicas y series. Cálculo de límites, derivadas parciales e integrales. Resolución de ecuaciones y sistemas. Resolución de ecuaciones diferenciales y en diferencias. Operaciones con vectores y matrices. Cálculo vectorial con funciones de varias variables. Capacidades gráficas en 2 y 3 dimensiones. Lenguaje de programación de alto nivel.

2

In t ro du cció n a l Ma t h e m a t ica Alu m n o s .n b

Tipos de celdas: Con el menú Format Style se pueden elegir varias posibilidades para los distintos tipos de celdas. Por ejempl esta es una celda Text.Cada una de ellas tiene, por defecto, un tipo de letra, color,etc. que se puede modifica utilizando la barra de Menús Format + Font para cambiar el tamaño (Size), Color Backgroud Color o Text Color) etc. Por ejemplo está es una celda cuyo tamaño de letra es 12. Ahora si queremos remarcar algo de amarillo podemos utilizar Menús Format + BackgroundColor. Por ejemplo Amarillo. En una primera utilización de Mathematica las únicas celdas IMPORTANTES son las de tipo INPUT, que son la ejecutables y nos devuelven un OUTPUT, un cálculo, una gráfica, etc.. Las celdas tienen sus atributos que se pueden modificar acudiendo al menú

Properties

Cell +

señalando previamente la celda.

Por ejemplo, esta es una celda

OPEN Hno está ocultaL y ACTIVE

H bloqueada, no se puede escribirL

Una celda puede cambiarse bien utilizando el ratón, desplazandose por la ventana de la parte superior izquierda del documento, en la que ahora aparece Text, o a través del menú Format Style y escoger el tipo de celda deseado.

Las únicas celdas válidas para hacer operaciones y ejecutar comandos de Mathematica son las de tipo Inpu Por defecto Mathematica genera celdas de este tipo. Para evaluar una celda, sólo si es de tipo Input, se pone e cursor en cualquier parte de ella y se pulsa la tecla INTRO del teclado numérico o Mayúsculas (Shift) + Enter. Las celdas deben ejecutarse en el orden en que aparecen en el documento . En caso contrario la salida puede n ser la esperada. Formas de obtener ayuda: A través del Menú Help o usando interrogaciones y asteriscos: Con ?Palabra aparece información relativa al comando Palabra. Por ejemplo al ejecutar ?Plot. Con ??Palabra aparece información relativa al comando Palabra y las opciones de dicho comando. Ejecútese por ejemplo ??Plot Usando la tecla F1. Se debe poner una palabra, seleccionarla y pulsar la tecla F1. En otras palabras F1 no conduce directamente a la ayuda. Options[Comando] da las opciones de ese comando. Véase por ejemplo Options[Plot]

0.1 Nociones básicas y algunas funciones importantes: Para realizar una operación basta con escribir la expresión y luego teclear SHIFT + ENTER. Si buscamos una aproximación podemos utilizar expresión / / N o también N[ expresión]. N[expresión, n] da el resultado numérico de "expresión" con n cifras significativas. Tambien puedes utilizar Print[Expresión]; Clear[variables]; ...... Operadores: + (suma) ; - (resta); * (producto - o también un espacio en blanco 2*3 = 2 3); / (división /. (ReplaceAll); - >, ® ); ^ (potencia = Power); && (And);  (Or) ; ! (Not); (StringJoin) ; (Rule); :>, ¦ (RuleDelayed); Î( Element). Veremos su uso en ejemplos. Nota .- En Mathematica hay tres signos de igualdad que significan cosas distintas = Asignación. == Igualdad, que se utilizará en la resolución de ecuaciones lineales, no lineales, diferenciales, etc. === Igualdad lógica Nota .- No confundir ! x (no x ) con x ! ( factorial de x ).

In t rodu cció n a l Ma t h e m a t ic a Alu m nos . n b

3

Ejemplo.- Pulsa con el botón izquierdo del ratón en la ventana de presentación y escribe 5/2+3*2^3 + 5 Pi co un espacio entre el 5 y Pi y luego pulsa SHIFT + ENTER, (5 Pi = 5*Pi) . Después calcula una aproximación de resultado de dos formas distintas y una tercera aproximación del resultado con 18 cifras significativas. Nota.- (* De esta forma, entre paréntesis y asteriscos, puedes añadir aclaraciones en las entradas Input que programa no considera *) 5  2 + 3 * 2 ^ 3 + 5 Pi 53 2

+ 5Π

53 2

+ 5 Π  N

H* Valor numérico de

53 2

+5 Π *L

42.208

NB

53 2

+ 5 ΠF

H* También valor numérico de

53 2

+5 Π s *L

42.208 NB

53 2

+ 5 Π, 18F

H* Valor numérico de

53 2

+5 Π con 18 cifras significativas *L

42.2079632679489662

Para introducir comentarios también podemos utilizar celdas tipo texto como ésta, seleccionando la celda a l derecha con el boton izquierdo del raton y pulsando el botón derecho elegimos la opción Style y despues Text.

Nota .- Si ahora modificas los números y las expresiones en las entradas In[n] y pulsas de nuevo SHIFT + ENTER, cambia el resultado en las salidas Out[n]. Nota.-También puedes usar los botones de la paleta BasicMathAssistant, u otras paletas, para escribir matrices, integrales, etc. Seleccionando Palettes en la barra del menú principal y despues BasicMathAssistant.

Nota .- Observa que los argumentos de comandos y funciones se introducen entre corchetes y que todos los comandos, funciones y constantes predefinidas comienzan con mayuscula. En las funciones se pueden expresar condiciones para los argumentos o resultados.

Nota.- Para sustituciones utilizaremos los simbolos: /. Para sustituir una cosa por otra en una expresión de cualquier tipo. expresión /. sustitución //. Sustituimos hasta que sea posible expresión //. sustitución // Para sustituir un valor en un comando cualquiera: valor // comando Ejemplo.- a) Sustituir x por 7 en la expresión x3 + 6 x2 + 3 x + 7 . x4 + y5 + 3 x2 y .

b) Sustituir x por 2 e y por 3 en la expresión

p = x3 + 6 x2 + 3 x + 7 ; q = x ^ 4 + y ^ 5 + 3 x^2 y ; H*definimos p p . x ® 7 H* sustituimos x por 7

y

q*L

en p, la flecha se consigue con - > *L

665 q . 8x ® 2, y ® 3< H* sustituimos x por 2 e y por 3 en q*L 295

Ejemplo.- Sustituir hasta que ya no sea posible más en el polinomio pol =a x2 + b x + c , x por 2 y c por

x

4

In t rodu cció n a l Ma t h e m a t ic a Alu m nos . n b

pol = a x2 + b x + c; pol . :x ® 2, c ®

x >

2 +4a+2b

Observa lo que sucede con pol /. {x ® 2, c ® pol . :x ® 2, c ® 4a+2 b+

x } que solo se sustituye una vez.

x >

x

Ejemplo.- Hallar Sin [ 23Π ] de dos formas distintas 2 * Pi  3  Sin 3 2 Sin@2 * Pi  3D 3 2

Ejemplo.- Observa en los siguientes ejercicios las entradas In[n] y las salidas correspondientes Out[n]: Print@a + b, " .....hola...... ", a ^bD a + b.....hola...... ab n = 2; m = 3; Print@"El número primo de posición p = n× m = ", n * m, " es ", Prime@n* mDD El núero primo de posición p = n× m = 6 es 13 Graphics@Circle@DD

Graphics3D@Sphere@DD

Power@a, b, c, dD cd

ab

Hx + yL Hx - yL ^ 2 . 8x -> 3, y -> 1 - a<

H*

.

sustituye x po 3 e y por 1-a en H x+yL H x-yL^2 *L

H 4 - aL H2 + aL2

8x, x^ 2, x^ 3, a, b< . x ^ n_ ® f @nD 8x, f@2D, f@2D, a, b<

H* . sustituye x^n en el vector 8x, x^2, x^3, a, b<

por f@nD *L

In t rodu cció n a l Ma t h e m a t ic a Alu m nos . n b

5

8x, x, x< . x ® RandomReal@D H* sustituye x en el vector 8x, x, x< por números aleatorios comprendidos entre 0 y 1 *L 80.965119, 0.965119, 0.965119< 8x, x, x< . x :> RandomReal@D H* igual que el anterior pero con números distintos *L 80.829053, 0.630991, 0.878774< 8x, x, x< . x :> Random@Real, 82, 8 0 && b > 0D H* Usando Simplify con condiciones *L 1 Element@8x, y, z -1 && x log(n) y como Ún¥=2

1

< logHnL

b) Sabemos que la serie geométrica Ún¥=1 LimitB

Cos@1  nD  3^ n 13^n

1 3n

1 n

diverge, tenemos que Ún¥=2

1 logHnL

diverge.

converge y como:

, n ® Infinity F

1 SumB

Cos@1  nD 3^n

, 8n, 1, ¥...