Aula 21 - hidrodinâmica PDF

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UNIDADE G

Capítulo

21

Hidrodinâmica

U

m túnel de vento é uma instalação que permite o estudo do efeito do ar sobre corpos sólidos, usado nas indústrias automobilística, aeronáutica e até nas de equipamentos esportivos de alto desempenho.

A hidrodinâmica é o estudo dos fluidos (líquidos e gases) em movimento, como as águas de um rio ou de uma tubulação. Neste estudo, é importante o conhecimento do conceito de vazão, das equações de continuidade e de Bernoulli, bem como a equação de Torricelli. 21.1 Considerações iniciais O termo Hidrodinâmica (do grego: hydro, água) está relacionado ao estudo do movimento da água; no entanto, esse ramo da Física se ocupa do movimento de todos os fluidos. 21.2 Equação de Bernoulli A pressão, o nível e a velocidade de um fluido em movimento, através de uma tubulação, estão relacionados pela equação de Bernoulli.

Por meio de uma análise detalhada, pode-se determinar a direção das forças que atuam nos corpos, visando possíveis correções em sua forma, na busca do melhor desempenho possível.

Seção 21.1

Considerações iniciais

Objetivos Compreender como se dá o escoamento de líquidos ideais. Definir vazão de um líquido. Conhecer as unidades de vazão. Analisar a relação entre velocidade de escoamento de um líquido e a área da secção transversal do tubo que o contém. Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Compreender e aplicar a equação da continuidade.

Termos e conceitos

S ∆V ∆t

___

St Figura 1.

A 3 Ss ___ ] Z 5 ______ ] St

St

S A

v ∆V ∆s

Figura 2. SV 5 A 3 Ss

454

Z5A3v

2

Equação da continuidade

S1

Z1 5 Z2 ]

A1 3 v1 5 A2 3 v2

A1

S2 v1

A2

v2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Figura 3.

tubulação com seção transversal não uniforme, a velocidade de escoamento do fluido é inversamente proporcional à área da seção.

Figura 4.

455

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Solução: a) A vazão (Z) é dada pelo produto da área da seção transversal (A) pela velocidade (v) do líquido: Z5A3v Sendo A 5 5,0 cm2 e v 5 40 cm/s, vem: Z 5 5,0 3 40 ]

2

3

Z 5 2,0 3 10 cm /s

SV b) De Z 5 ___ , sendo St 5 10 s, resulta: St SV 2,0 3 102 5 ___ ] SV 5 2,0 3 103 cm3 10

90 5 3,0 3 v ]

v 5 30 cm/s

SV b) De Z 5 ___, sendo Z 5 90 cm3/s e St SV 5 1,8 c 5 1,8 3 103 cm3, resulta: 1,8 3 103 90 5 ________ ] St

St 5 20 s

Respostas: a) 30 cm/s; b) 20 s R. 210 As superfícies S1 e S2 do tubo indicado na figura possuem áreas respectivamente iguais a 2,5 3 1022 m2 e 1,0 3 1022 m2. S1 A1

S2 v1

A2

v2

Respostas: a) 2,0 3 102 cm3/s; b) 2,0 3 103 cm3 R. 209 A artéria aorta de um adulto tem área de seção transversal da ordem de 3,0 cm2. O sangue bombeado pelo coração passa pela artéria com vazão de 90 cm3/s. a) Com que velocidade o sangue passa pela artéria aorta? b) Quanto tempo é necessário para circular pelo coração 1,8 litro de sangue? Solução: a) De Z 5 A 3 v, sendo Z 5 90 cm3/s e A 5 3,0 cm2, vem:

Um líquido escoando pelo tubo atravessa a seção S1 com velocidade 3,0 m/s. Determine a velocidade com que o líquido atravessa a seção S2. Solução: Pela equação da continuidade, temos: A1 3 v1 5 A2 3 v2. Sendo A1 5 2,5 3 1022 m2, A2 5 1,0 3 1022 m2 e v1 5 3,0 m/s, vem: 2,5 3 1022 3 3,0 5 1,0 3 1022 3 v2 ]

v2 5 7,5 m/s

Resposta: 7,5 m/s

EXERCÍCIOS PROPOSTOS P. 538 Um líquido escoa através de um tubo de seção transversal constante e igual a 4,0 cm2, com vazão de 1,0 3 102 cm3/s. a) Qual é a velocidade do líquido ao longo do tubo? b) Qual é o volume de líquido, em litros, que atravessa uma seção do tubo em 10 min? P. 539 As superfícies S1 e S2 do tubo indicado na figura possuem, respectivamente, áreas A1 e A2, tais que A2 5 3A1. Um gás flui pelo tubo, atravessando as seções S1 e S2 com velocidades v1 e v2, respectivav1 mente. Determine a relação __. v2 S2 S1 A1

456

v1

A2

v2

P. 540 Uma piscina possui 4,0 m de largura, 10 m de comprimento e 1,8 m de profundidade. Para enchê-la completamente, utilizando um conduto de área de seção transversal 25 cm2, são necessárias 8 h. a) Qual é a vazão de água através do conduto? b) Qual é a velocidade com que a água sai do conduto? c) Com que velocidade sobe o nível de água da piscina?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

R. 208 Um líquido flui através de um tubo de seção transversal constante e igual a 5,0 cm2 com velocidade de 40 cm/s. Determine: a) a vazão do líquido ao longo do tubo; b) o volume de líquido que atravessa uma seção em 10 s.

Seção 21.2

Equação de Bernoulli

Objetivos Relacionar pressão, nível e velocidade de um fluido escoando por uma canalização. Compreender o efeito Bernoulli. Explicar fenômenos cotidianos com base no efeito Bernoulli.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Analisar a velocidade de escoamento de um líquido através de um furo feito no recipiente que o contém.

Termos e conceitos

dv22 5 p2 1 dgh2 1 ____ 2 2

____1

2

1

p2 v2

p1 h2

v1 h1

dv2 Figura 5. p 1 dgh 1 ____ é constante. 2

____ ____

dv22 5 p2 1 ____ 2 2

____1

A1

A2

v1

h

v2 h

Figura 6. h1 5 h2 5 h

457

A

B

1

2

p 1(

ex t e

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Figura 7. p1 . p2

rna)

Ar

p 2 (interna) F

Figura 8. p1 , p2: a pressão do ar logo acima do telhado é menor, pois ali a velocidade do ar (ventania) é maior (F: força ascensional).

Vento rasante em uma janela p2

p2

p2 p1

p1

Ar Figura 9. A pressão em torno da bola (p1) é menor do que a pressão do ambiente (p2), pois em torno da bola a velocidade do ar é maior.

458

A

B

C

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

v bola

F Figura 10. (A) Bola em translação. (B) Bola em rotação. (C) Bola transladando e girando ao mesmo tempo.

A

B v bola

C F

Figura 11.

Chute de Ronaldinho Gaúcho que resultou em gol, no jogo Brasil # Inglaterra, na Copa do Mundo de 2002.

459

Equação de Torricelli 1

h1

v

2

d

h h2

Figura 12.

dv1 2 dv22 p1 1 dgh1 1 ____ 5 p2 1 dgh2 1 ____ 2 2

d llll 2gh

Equação de Torricelli

Entre na rede No endereço eletrônico http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava2/ em Easy Java Simulations, Dynamics, item 6 (acesso em junho/2009), por meio de uma simulação, você pode analisar a trajetória de um jato de líquido por um furo lateral num recipiente, determinado pela pressão exercida pelo líquido.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS R. 211 As superfícies S1 e S2 do tubo indicado na figura possuem áreas 3,0 cm2 e 2,0 cm2, respectivamente. Um líquido de densidade d 5 0,80 3 103 kg/m3 escoa pelo tubo e apresenta, no ponto 1, velocidade v1 5 2,0 m/s e pressão p1 5 4,0 3 104 Pa. Determine a velocidade e a pressão do líquido no ponto 2.

S1 1

A1

v1

d

A2

p1

S2 2 v2 p2

Solução: Pela equação da continuidade, temos A1 3 v1 5 A2 3 v2. Sendo A1 5 3,0 cm2, A2 5 2,0 cm2 e v1 5 2,0 m/s, vem: 3,0 3 2,0 5 2,0 3 v2 ]

v2 5 3,0 m/s

Para o cálculo da pressão no ponto 2, usamos a equação de Bernoulli, para o caso em que h1 5 h2: dv21 dv2 2 p1 1 ____ 5 p2 1 ____ 2 2 Sendo p1 5 4,0 3 104 Pa, d 5 0,80 3 103 kg/m3, v1 5 2,0 m/s e v2 5 3,0 m/s, vem: 0,80 3 103 3 (3,0)2 0,80 3 103 3 (2,0)2 4,0 3 104 1 ________________ 5 p2 1 ________________ ] 2 2 Respostas: 3,0 m/s e 3,8 3 104 Pa

460

p2 5 3,8 3 104 Pa

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

____

R. 212 Pretende-se medir a vazão de um líquido que escoa por uma canalização. Para isso, utiliza-se um aparelho chamado tubo de Venturi*, que consiste essencialmente de um tubo cujas seções S1 e S2 têm áreas A1 e A2 conhecidas. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é medida por meio do desnível h do líquido existente nos tubos verticais. O tubo de Venturi é inserido na canalização, conforme mostra a figura. Sendo A1 5 10 cm2 , A2 5 5,0 cm2 , h 5 0,60 m, g 5 10 m/s2 e d 5 1,2 3 103 kg/m3 a densidade do líquido, determine a vazão do líquido através da canalização.

h

A2

S1 v1

A1

S2

v1 1

Canalização

2

d

v1

v2

Tubo de Venturi

Solução: Da equação da continuidade, vamos determinar a velocidade do líquido no ponto 2 e substituir na equação de Bernoulli:

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A1 3 v1 10 3 v1 De A1 3 v1 5 A2 3 v2, resulta: v2 5 ______ 5 ______ 5 2,0 3 v1 5,0 A2 d 3 (2,0 3 v1)2 dv21 2 3 (p1 2 p2) d 3 (2,0 3 v1)2 dv22 dv21 dv21 2 De p1 1 ____ 5 p2 1 ____, vem: p1 1 ____ 5 p2 1 ____________ ] p1 2 p2 5 ____________ 2 ____ ] v1 5 ___________ 2 2 2 2 2 2 3d Sendo p1 2 p2 5 dgh, em que d é a densidade do líquido, temos: 2dgh 2gh 2 3 10 3 0,60 2 v1 5 _____ 5 ____ 5 ___________ ] v1 5 2,0 m/s 3 3 3d Portanto, a vazão do líquido será: Z 5 A1 3 v1 5 10 cm2 3 2,0 3 102 cm/s 5 2,0 3 103 cm3/s 5 2,0 litros/segundo ]

Z 5 2,0 c/s

Resposta: 2,0 c/s

Entre na rede No endereço eletrônico http://www.galileo.fr.it/marc/idraulica/bernoulli/bernoulli.htm (acesso em junho/2009), você pode variar o raio de uma das seções de um tubo de Venturi e a vazão do fluido, verificando a constância da soma das pressões que comparecem na equação de Bernoulli.

R. 213 Para medir a v elocidade com que um líquido, de densidade d 5 1,0 3 103 kg/m3, escoa por uma canalização, pode-se utilizar um aparelho chamado tubo de Pitot **, esquematizado ao lado. Na situação da figura, o líquido manométrico é o mercúrio, de densidade dM 5 13,6 3 103 kg/m3, e o desnível h é de 10 cm. Considere g 5 10 m/s2. Qual é a velocidade v de escoamento do líquido?

1 v1

v

2

d

h

dM Solução: Vamos aplicar a equação de Bernoulli, considerando os pontos 1 e 2 indicados: dv22 dv2 1 p1 1 ____ 5 p2 1 ____ 2 2

1 v1

v

2

d

x A

y h

B dM

461

Sendo v1 5 v (velocidade de escoamento do líquido) e v2 5 0 (o ponto 2, onde o líquido é barrado, é chamado ponto de estagnação), vem:

d

llllllllll 2 3 (p2 2 p1) dv25 p ] v 5 ___________ p1 1 ____ 2 2

pB 5 pA 1 dM gh Mas pA 5 p1 1 dgx e pB 5 p2 1 dgy , portanto: p2 1 dgy 5 p1 1 dgx 1 dM gh ] p2 2 p1 5 dM gh 2 dg(y 2 x) ] p2 2 p1 5 dM gh 2 dgh ] p2 2 p1 5 (dM 2 d) 3 gh

d 2 3 (d

llllllllllllll 2 d) 3 gh

M _______________

d

Sendo dM 5 13,6 3 103 kg/m3, d 5 1,0 3 103 kg/m3, h 5 10 cm 5 0,10 m e g 5 10 m/s2, vem:

d

llllllllllllllllllllllllll 2 3 (13,6 2 1,0) 3 103 3 10 3 0,10 ] v 5 _____________________________ 1,0 3 103

v 7 5,0 m/s

Observação: O tubo de Pitot permite medir a velocidade de escoamento de líquidos e gases. Nos aviões, a finalidade do tubo de Pitot é obter a velocidade v (do avião em relação ao ar) através da diferença de pressão p2 2 p1, como vimos nesse exercício. Para isso, ele deve ser montado paralelamente ao eixo longitudinal do avião, num local onde não exista ar turbulento. Sua localização varia de acordo com o tipo de avião, dependendo do projeto. Pode ser localizado, por exemplo, no nariz do avião, na ponta da asa etc.

R. 214 Um recipiente, de grande área de seção transversal, contém água até uma altura H. Um orifício é feito na parede lateral do tanque a uma distância h da superfície do líquido. a) Determine, em função de H e h, o alcance D indicado na figura. b) Qual é o valor do alcance máximo? c) Qual deve ser a relação entre H e h para que o alcance seja máximo? Solução: a) Vamos calcular, inicialmente, o tempo de queda, analisando o movimento vertical que é um MUV.

v

llllllllll 2 3 (H 2 h) gt2 gt2 De s 5 ___, vem: H 2 h 5 ___ ] t 5 __________ g 2 2

d

H

Na horizontal o movimento é uniforme, com velocidade v dada pela 2gh equação de Torricelli: v 5 d llll De s 5 vt, vem:

d

llllllllll 2 3 (H 2 h) 2gh 3 __________ ] D 5 dllll g

h 3 (H 2 h) D 5 2d llllllllll

b) De D 5 2d llllllllll

Logo, o valor máximo de D é igual a H: Dmáx. 5 H

h5

S 2(24H) ! dll _____________ 234

H Respostas: a) D 5 2d llllllllll h 3 (H 2 h) ; b) Dmáx. 5 H; c) h 5 __ 2

462

h

4H 5 ___ ] 8

H h 5 __ 2

D

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Resposta: 5,0 m/s

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3 3 P. 541 Um líquido de densidade d 5 1,2 3 10 kg/m flui pelo tubo indicado na figura, passando pelo ponto 1 com velocidade v1 5 5,0 m/s e pelo ponto 2 com velocidade v2 5 2,0 m/s. A pressão no ponto 1 é p1 5 2,4 3 103 Pa. Determine: a) a razão entre as áreas das seções transversais S1 e S2; b) a pressão no ponto 2.

S2 S1 1

2

v1

v2

p1 p2 P. 542 Pretende-se medir a velocidade v1 de um líquido que escoa por uma canalização. Para isso, insere-se na canalização um tubo de Venturi, conforme a figura (h: desnível do líquido existente nos tubos verticais; g: aceleração da gravidade; A1 e A2: áreas das seções transversais S1 e S2). h Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

S1 v1

A1

S2

v1

2

1

v2

A2

Canalização

Tubo de Venturi lllllllll 2gh

d@

Prove que: v1 5 _________ 2 A 1 ___ 21 A2

#

P. 543 Um tubo de Pitot é inserido numa canalização, por onde escoa um líquido de densidade d 5 1,6 3 103 kg/m3. O líquido manométrico é o mercúrio, de densidade dM 5 13,6 3 103 kg/m3. O desnível h é de 20 cm. v1

1

2

d

h dM 2

Considerando g 5 10 m/s , determine: a) a diferença de pressão entre os pontos 2 e 1;

b) a velocidade de escoamento do líquido.

P. 544 Um recipiente, de grande área de seção transversal, contém água até uma altura H. Um orifício é feito na parede lateral do tanque a uma distância h da superfície do líquido. A área do orifício é de 0,10 cm2 e a aceleração da gravidade é g 5 10 m/s2. No instante em que h 5 0,80 m e H 5 1,25 m, determine: a) a velocidade com que o líquido escoa pelo orifício; b) a vazão de água pelo orifício; c) o alcance horizontal D.

h H

v

D

463

EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE RECAPITULAÇÃO

P. 546 (UnB-DF) Considere as seguintes afirmações:

tura localizada a uma altura diferente, conforme ilustrado na figura I a seguir.

Abertura 2 v2

Abertura 1

p2

v1 p1

Figura I.

de do vento aumenta com a altitude, conforme ilustra a figura II a seguir.

v

Ar

Solo Figura II.

cies ao longo das quais ele escoa varia com a velocidade de escoamento. Assim, na situação ilustrada na figura I, devido à velocidade do ar, as pressões p1 e p2 e as velocidades v1 e v2 nas aberturas 1 e 2, respectivamente, são relacionadas de forma aproximada pela equação 1 1 p1 1 __ Gv12 5 p2 1 __ Gv22, em que G é a densidade 2 2 do ar, supostamente constante. A análise dessa equação permite afirmar que, em regiões onde a velocidade do ar é alta, a pressão é baixa, e, onde a velocidade é baixa, a pressão é alta. Com base nas afirmações anteriores, julgue os itens a seguir. (1) Uma toca com duas aberturas no mesmo nível terá melhor ventilação que a apresentada na figura I, sob as mesmas condições de vento.

464

(2) Se um arbusto crescer nas proximidades da abertura 1, de forma a dificultar a passagem do vento, sem bloquear a abertura, então a ventilação na toca será melhorada. (3) Sp 5 p1 2 p2 é diretamente proporcional à diferença dos módulos das velocidades v2 e v1. (4) A circulação de ar no interior da toca mostrada na figura I ocorre da abertura 1 para a abertura 2. P. 547 (Unicamp-SP) “Tornado destrói telhado de ginásio da Unicamp. Um tornado com ventos de 180 km/h destruiu o telhado do ginásio de esportes da Unicamp... Segundo engenheiros da Unicamp, a estrutura destruída pesa aproximadamente 250 toneladas.” (Folha de S.Paulo, 29/11/95) Uma possível explicação para o fenômeno seria considerar uma diminuição da pressão atmosférica, devida ao vento, na parte superior do telhado. Para um escoamento de ar ideal, essa redução de Gv2 pressão é dada por ___ , em que G 5 1,2 kg/m3 é a 2 densidade do ar e v a velocidade do vento. Considere que o telhado do ginásio tem 5.400 m2 de área e que estava apenas apoiado nas paredes. (Dado: g 5 10 m/s2.) a) Calcule a variação da pressão externa devida ao vento. b) Quantas toneladas poderiam ser levantadas pela força devida a esse vento? c) Qual a menor velocidade do vento (em km/h) que levantaria o telhado? P. 548 (UFBA) Um fenômeno bastante curioso, associado ao voo dos pássaros e do avião, pode ser visualizado através de um experimento simples, no qual se utiliza um carretel de linha para empinar pipa, um prego e um pedaço circular de cartolina. O prego é colocado no centro da cartolina e inserido no buraco do carretel, conforme a figura. Soprando pelo buraco superior do carretel, verifica-se que o conjunto cartolina-prego não cai. Considere a massa do conjunto cartolina-prego igual a 10 g, o raio do disco igual a 2 cm e a aceleração da gravidade local, 10 m/s2. A partir dessas informações, apresente a lei física associada a esse fenômeno e calcule a diferença de pressão média mínima, entre as faces da cartolina, necessária para impedir que o conjunto caia. 2 cm P. 549 (ITA-SP) Considere uma tubulação de água que consiste de um tubo de 2,0 cm de diâmetro por onde a água entra com velocidade de 2,0 m/s sob uma pressão de 5,0 # 105 Pa. Outro tubo de 1,0 cm de diâmetro encontra-se a 5,0 m de altura, conectado ao tubo de entrada. Considerando a densidade da água igual 1,0 # 103 kg/m3 e desprezando as perdas, calcule a pressão da água no tubo de saída. (Use g 5 10 m/s2.)

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

P. 545 (Fuvest-SP) A artéria aorta de um adulto tem um raio de cerca de 1 cm, e o sangue nela flui com velocidade 33 cm/s. a) Quantos litros de s...