Autovalores e Autovetores PDF

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Resumo de Autovalores e Autovetores...

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AUTOVALORES E AUTOVETORES É uma transformação especial T : V  W. (I)

T(v) = v

Onde,  é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se v  0). Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então: (II) T(v) = Av Igualando (I) e (II), tem-se: Av = v ou Av – v = 0 que resulta no sistema homogêneo: (III) (A – I) v = 0 Onde A é n x n, v = 0 é sempre solução (trivial). Os vetores v  0 para os quais existe um  que resolve a equação (III) são chamados de autovetores da matriz A e os valores de , que conjuntamente com v resolvem a equação são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores. Para que a equação (III) tenha solução além da trivial é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja, 1

det(A – I) = 0 o que resulta em um polinômio de grau n em , conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A. Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado ao autovetor encontrado. Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação (III), dado o respectivo autovalor. Logo, qualquer múltiplo do autovetor também é um autovetor. Portanto: Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T, temos:  autovalores  de T ou de A: são as raízes da equação det(A – I) = 0,  autovetores v de T ou de A: para cada , são as soluções da equação Av = v ou (A – I)v = 0.

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Interpretação geométrica  u é autovetor de T pois   R / T(u) = u.  v não é autovetor de T pois não   R / T(v) = v.

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Exemplo 1: Considere o operador linear definido no exemplo anterior: T: R2  R2 (x, y)  (4x + 5y, 2x + y)

 autovalores de

4 A  2

5 1 ,

matriz canônica de T.

Resolvemos a equação característica det (A – I) = 0: 5   1 0  4    4 5 A   I       1     0 1  2  2 1

det (A – I) = 0  (4 – ) (1 – ) – 10 = 0

 2 – 5 – 6 = 0

 1 = – 1 e 2 = 6.

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 autovetores de A ou de T: Para cada autovalor  encontrado, resolvemos o sistema linear (A – I)v = 0: 1  1;

 x v    y

5   x   0  4  (  1) ( A  1 I) v 0    2 1  (  1)   y   0   5 x  5 y 0    2x  2y  0  x -y

Então, v 1 = (– y, y) sendo um de seus representantes o vetor v1 = (– 1, 1).  2 6;

x v   y

5   x  0 4 6 (A  I )  0     1 6  y   0  2   2 x  5 y 0    2 x  5 y 0  x

5 y. 2

5 5 Então v 2 = ( 2 y, y) sendo um de seus representantes o vetor v2 = ( 2 , 1).

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Exemplo 2: Determinar os autovalores e autovetores do operador linear: T : 3  3, T(x,y,z) = (3x – y + z, -x + 5y + z, x – y + 3z) Em forma matricial:  x  3  1 1  x T  y    1 5 1 . y Av       z   1  1 3  z  3-  -1 1 3 2 det[A - I]  - 1 5- 1    11  36  36 0 1 -1 3- 

Cálculo numérico:  = 0  -36 = 0  logo 1 > 0  = 1  -10 = 0  logo 1 > 1  = 2  0 = 0  logo 1 = 2 Dividindo por ( – 2): ( – 2) (2 - 9 + 18) = 0  2 = 6 e 3 = 3 Os autovalores são 1 = 2, 2 = 6 e 3 = 3 Para achar os autovetores basta substituir cada um dos autovalores na equação (A – I) v = 0: Para 1 = 2:  1  1   1

1 3 1

1   x 0      1 . y  0      1   z   0 

. Escalonando:

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1 0   0

1 2 0

1 1 0   0    0 0

0 1 0

1 0   ou seja, y 0 e z  x  0 

Logo, v1 = (x,0,-x) = x (1,0,-1) Assim, qualquer múltiplo do vetor (1,0,-1) é um autovetor que tem como autovalor associado 1 = 2, (1,0,-1)

v1 =

Para 2 = 3:  0  1 1   x  0      1 2 1 . y  0       1  1 0   z   0 1 0  1 0 0 0   1  2 1    1 0  1  ou seja, z x e z y, x y z      0  1  0 1  1  1

Assim, v2 = (x,x,x) = x (1,1,1). v2 = (1,1,1) ou seus múltiplos. Para 3 = 6:   3  1 1   x  0        1 1 1 . y  0        1  1  3  z   0  0  0  4  8  0 0 0  2  4   0 1 2  ou seja, z  x e  2z y     1  1  3   1 0  1

v3 = (z,-2z,z) = z (1,-2,1)

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v3 = (1,-2,1) ou seus múltiplos. Observações:  Se  é um autovalor de A, o conjunto S de todos os vetores v  V, inclusive v nulo, associados a , é um subespaço vetorial (próprio) de V.  A matriz dos autovetores é chamada MATRIZ MODAL.

Exemplo 3:

 3 A   1

 1 3

 equação característica: det(A – I) = 0. 3  1

1 0  3 

( 3   )2  1  0 

2  2 3  4  0

2 3 2 i   3 i 2

 autovalores de A: os valores 1  3  i e 2  complexos, igualmente válidos para nós!

3 i

não são reais  A possui autovalores

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 O procedimento para se determinar os autovetores é o mesmo. Assim, é possível encontrar os autovetores associados a estes autovalores.

Referências Bibliográficas: http://www.ene.unb.br/~flavia/aula16-adl.doc http://www.stamford.pro.br/ARQUIVOS/2002_Algebra.doc BOLDRINI, C. Álgebra Linear. 3ª ed. Editora Harbra, 1986.

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