Calculo 3 - Avance 2 tarea calculos prepac PDF

Preview

Summary

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSDecana de AméricaFACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA , MINERA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVILCURSO:Cálculo III AVANCE 2 La Integral de Línea DOCENTE: Elvis Bustamante RamosGRUPO N° 3: Alarcon Vasquez Antonio 19160071 Espinoza Lla...

Description

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Decana de América FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA , MINERA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: Cálculo III AVANCE 2 La Integral de Línea DOCENTE: Elvis Bustamante Ramos GRUPO N° 3: Alarcon Vasquez Antonio

19160071

Espinoza Llanos Marcelo Martin

19160276

Espinoza Ordoñez Katia

19160257

Lopez Rivadeneyra Dayanna Esther

19160264

Ochante Garcia Yovana

19160081

Panta Gonzales, Anibal Aldair

18160296

Pumayauli Bendezú, Josué Alberto

19160274

2020 - II

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

Índice 1. Introducción 2. Antecedentes 3. Problemática 4. Marco teórico 5. Aplicaciones 6. Diseño 7. Presentación 8. Discusión y análisis de resultados 9. Procedimiento metodológico 10. Cuadro de cargas 11. Aportes - Conclusiones 12. Referencias

Cálculo III - Avance N°2 2

La Integral de Línea

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

1. INTRODUCCIÓN El estudio del cálculo matemático es un tanto complejo debido a que abarca diversas teorías, disciplinas, experiencias, etc. En este panorama tan amplio es común confundirse o perder el rumbo y avanzar a ciegas; es por ello que se necesita una referencia o guía de aprendizaje, el cual es nuestro instrumento esencial al estudiar el cálculo matemático. Por otro lado, sabemos que en el campo de la ingeniería es común o hasta necesario llevar los conocimientos sobre el cálculo matemático a la vida real. Entre los diversos temas del cálculo, nos vamos a centrar en la aplicación y/o utilización de la línea integral de línea no solo como teoría sino también encontrando la manera de aplicarlo a diferentes problemáticas. Es por eso que en el trabajo que vamos a desarrollar a continuación explicaremos más a detalle el tema de las integrales de línea, las cuales también son llamadas integrales curvilíneas, los campos en donde se desarrollan, la importancia que tienen en estos campos y los diversos beneficios que se ha logrado desde su creación y/o formulación. Además, el trabajo realizado se encuentra basado en investigaciones anteriores a las cuales llamamos antecedentes previos y en los objetivos a los cuales se quiere llegar mediante la investigación realizada. Esperamos dar una mejor idea acerca de las aplicaciones de este tema en diversos ámbitos.

Cálculo III - Avance N°2 3

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

2. ANTECEDENTES Para poder iniciar el desarrollo de este trabajo empezamos con la búsqueda de información que nos pueda servir como base. Los libros y trabajos mencionados en el desarrollo de este punto del trabajo han sido la base y el principal respaldo teórico que como grupo decidimos usar puesto que nos sirvió para poder entender con una mayor amplitud el tema y posteriormente obtener un mejor resultado. Un libro que como grupo seleccionamos para tenerlo como texto de consulta fue el de James Sterwart con su libro Cálculo de varias variables (año 2008, sexta edición). En el capítulo 16 del libro el autor desarrolla el tema de integral de línea utilizando ejemplos que encontramos muy palpables y enriquecedores para este trabajo, habla del concepto matemático acompañado de su aplicabilidad dentro de distintas ramas, ya sea la física con ejemplos de campos gravitatorios o campos magnéticos, incluso logró establecer una conexión entre la integral de línea y la inducción magnética; también se desarrolló en ramas como la topografía en el análisis de curvas de nivel utilizando la gradiente o en la utilidad de un campo vectorial para el análisis del clima de una determinada región. Este libro fue básicamente el que nos abrió el panorama como grupo sobre lo que abarcaba la integral de línea y sobre lo que se podría llegar a trabajar con ella. Otro trabajo al cual haremos una mención particular será al de Integral de línea y lo que fue su producto final desarrollado el semestre pasado, es decir el 2020-I, (hecho por Castillejo Requez, J. et al., 2020). Uno de los motivos por el cual elegimos utilizar este trabajo como antecedente fue porque estuvo dirigido mediante los mismo parámetros que nuestro actual trabajo debido a que están contemplados dentro del desarrollo del curso de Cálculo III de la mano del mismo docente. Buscamos utilizar este antecedente como guía para evitar posibles errores a lo largo del desarrollo de nuestro avance 2 como a su vez también en pro de futuros aciertos que buscamos obtener de este. Este antecedente citado nos sirvió para poder aclarar las dudas que como grupo se nos fueron presentando a lo largo del desarrollo de nuestro trabajo. En el caso del libro de Martinez Molada (Integral de línea, 2019) se presenta el tema de integrales sobre curvas como parte del análisis vectorial de la asignatura de Matemáticas III que se imparte en el Grado en Ingeniería de Tecnologías y Servicios de Telecomunicación, Cálculo III - Avance N°2 4

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

como grupo nos sirvió para permitirnos tener un panorama más completo y variado en cuanto al tema a desarrollar. Pudimos ver alternativas diferentes, tanto de planeteo como de desarrollo, en cuanto a cómo tratar la integral de línea y la forma en que la podíamos entender en comparación a los textos con los que ya estábamos trabajando con anterioridad puesto que este libro ya tenía un enfoque diferente en cuanto a qué tipo de estudiante lo estaría leyendo (en su caso, un estudiante de Telecomunicaciones), nos enriqueció como grupo. Un libro que nos sirvió bastante como antecedente fue el de Matemáticas III de Bernardo Acevedo Frías en su capítulo siete, puesto que nos consolidó en el ámbito aplicativo y operativo al mostrarnos más detalles sobre lo que necesitábamos como grupo. Este libro nos sirvió para fortalecer nuestros conceptos y poder establecer con mayor claridad la diferencia entre un campo escalar y un campo vectorial y a su vez poder entender qué es lo que abarcan estos dos conceptos. Su libro nos detalla la idea del trabajo, del área de un cilindro, momento de inercia, centro de masa, longitud de curva, entre otros; si bien es cierto muchos libros detallan estos contenidos la diferencia que encontramos fue en la propuesta de sus ejercicios matemáticos y la cantidad de sus ejemplos que iban variando de nivel, todo esto nos permitió entender de mejor manera el aspecto aplicativo en cuanto a la resolución de problemas de la integral de línea. Un libro que utilizamos para poder iniciar nuestro trabajo y adoptar las nociones básicas fue el de Espinoza en su libro Análisis Matemático III en el capítulo siete que es donde desarrolla la integral de línea. El aporte que este libro nos brindó fue poder tener los cimientos iniciales para poder establecer un panorama general sobre cómo ir manejando el tema y sobre cómo podríamos ir desarrollando y plasmando nuestras ideas como grupo, también para saber qué abarcaba el tema y qué cuestiones iniciales podríamos ver y empezar a manejar. Recalcamos que cada material mencionado en el desarrollo de los antecedentes de este trabajo será detallado en las referencias del mismo, en el mismo orden en el que aparecen.

Cálculo III - Avance N°2 5

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

3. PROBLEMÁTICAS PROBLEMÁTICA 1: Longitud de Arco El dueño de un nuevo conjunto habitacional desea construir un muro que rodee a su edificio, para eso necesita comprar los materiales necesarios de acuerdo a la medida de la forma del muro. Como este muro estará en una esquina, se necesita conocer su longitud para la compra de estos materiales. PROBLEMÁTICA 2: Centro de masa. En la construcción de un puente colgante, la armadura de refuerzo es de tipo cercha y está formado por piezas de acero que se necesitan elevar con una grúa para su transporte y ubicación en la estructura. Las grúas sostienen la pieza con unos cables resistentes que soportan toda la tensión del peso. Para lo cual, un ingeniero civil debe conocer el centro de masa de la pieza, ya que este punto pasa la línea de acción del centro de giro. PROBLEMÁTICA 3: Cálculo del trabajo mecánico Un meteorólogo se aventura a investigar un tornado desde adentro. Para lograrlo, necesita que su automóvil resista las fuerzas del tornado que lo arrastrarán. Lo que se necesita saber es la potencia necesaria para que el automóvil pueda tener un acercamiento más próximo sin correr el riesgo de perder el control. PROBLEMÁTICA 4: Áreas El dueño de una casa desea construir una muralla de forma parabólica con altura variable, para eso contrata a un ingeniero que le explica cómo construir esa muralla de acuerdo a la función, sin embargo para hacer la cotización del trabajo, necesita conocer el área de la superficie de la muralla. 4. MARCO TEÓRICO Integral de línea i.

Integral de línea de primera especie Sea F: D→R un campo escalar continuo con D⊂Rn y sea r:[a; b]→D un camino regular a trozos. La integral

de línea de F Cálculo III - Avance N°2 6

a lo largo de r es, por definición:

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

ii.

La Integral de Línea

Integral de línea de segunda especie Sea r:[a; b]→Rn una curva regular a trozos, tal que C=r ([a; b]). Sea F:D⊂Rn→Rn un campo vectorial definido y acotado en la región D que contiene a la curva C.

Gráfico N°1: “Curva C dentro de una región D” La integral de línea del campo vectorial F a lo largo de la curva C será:

Campo Escalar Representa la distribución espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. En matemáticas, el valor es un número; en física, una magnitud física.

Cálculo III - Avance N°2 7

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

Gráfico N°2: “Campo escalar”

Un campo escalar es una función que a cada punto en el espacio le asigna un valor de la magnitud escalar, definida por un número( su magnitud)con su signo y su unidad. Suponga que a cada punto(x, y, z) de una región en el espacio le corresponde un número (escalar) Φ(x,y,z). Entonces Φ se le denomina función escalar de posición, y decimos que se ha definido un campo escalar Φ. Campo vectorial Un campo vectorial de n dimensiones es una función que asigna a cada punto del conjunto D a un único vector:

con punto inicial en P. Si n=2 (el plano); el campo vectorial lo representamos como:

Cálculo III - Avance N°2 8

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

Si n=3 (el espacio); el campo vectorial lo representamos como:

Figura N°1 :” Campo vectorial en 2D.” Trabajo El trabajo es la energía que se necesita para trasladar un objeto a través de una trayectoria. Su definición matemática es F.dr.

Gráfico N°3:” Relación del trabajo.” Tenemos a la fuerza como el campo vectorial:

y también tenemos una curva: Cálculo III - Avance N°2 9

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

Tomando la definición de trabajo, la cual es una integral de línea:

Utilizando la fórmula para integrales de línea de segunda especie, tenemos:

Centro de Masa Es una posición definida a un objeto o a un sistema de objetos. Para objetos rígidos sencillos con densidad uniforme, el centro de masa se ubica en el centroide. Para un sistema que está formado por un número extremadamente grande de partículas (como es el caso de un sólido, un volumen líquido, etc.) Se realiza lo que se llama el paso al continuo que consiste en considerar el sistema constituido no por partículas individuales sino como un continuo de materia. En este caso se divide al sistema en pequeños diferenciales de masa (dm), cada uno con su posición correspondiente. Las sumas de la expresión anterior se transforman ahora en integrales (ya que en el límite estamos sumando un número infinitamente grande de cantidades infinitesimalmente pequeñas), y la expresión de la posición del centro de masas queda ahora:

donde M es la masa total del sistema de partículas. Longitud de Arco La teoría a tratar con respecto a la longitud de arco viene a ser una consecuencia de interpretar la Integral de línea de primera especie o Integral de línea en campo escalar.

Cálculo III - Avance N°2 10

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

Sea f (r (t)) = 1 y r (t) describe el movimiento de una partícula, tenemos que: ●

' ‖r ( t ) ‖

●

ⅆl =‖ r ( t ) ‖ ⅆt

es la velocidad escalar en un instante t. '

representa la distancia recorrida por la partícula en

un diferencial de tiempo t.

Por lo tanto:

Es la longitud de arco de la curva C. Área Si f (r (t)) ≥ 0 para todo t ∈ [a,b], sea f(x,y) la altura de una valla en cada (x,y) de la curva r Un diferencial del área de la valla se va a escribir como:

f ( r ( t ) ) ⅆs =f ( r ( t ) ) ‖ r ' (t ) ‖ ⅆt

Gráfico N°4: “Región con altura f(r(t))” 5. APLICACIONES Longitud de Arco: Se tiene al dueño de un nuevo conjunto habitacional en la ciudad de Lima, esta Cálculo III - Avance N°2 11

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

estructura se encuentra ubicada en una esquina, por lo que el señor desea que esté rodeada por un muro. El dueño desea que el muro esté delimitado por una parábola cuya ecuación es y = x2, sin embargo, necesita saber la medida del arco que este muro va a formar para así comprar los materiales necesarios. El dueño ha pedido que la distancia entre la esquina y el inicio de la curva sea de 1 metro en la distancia horizontal del pequeño plano de ubicación.

Figura N°2 :”Croquis de ubicación” Sabemos que: y = x2 ; 0 ≤ x≤ 4 Parametrizamos la curva y hallamos su derivada:

Formulamos la integral de línea hallar la longitud del arco:

Y tenemos que la respuesta a la integral es 16.82 metros. Aplicación Centro de masa: En los procesos de construcción de puentes, como en otros de construcción, existen cargas pesadas que deben transportarse. Para realizar este trabajo se necesita de grúas que realicen un trabajo controlado y seguro. Cálculo III - Avance N°2 12

La Integral de Línea

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

Así mismo, para el manejo de estos se necesita ciertos conceptos básicos, donde el centro de gravedad juega un papel importante. Al levantarse la carga, aquella está sometida a torsión, por ello para su transporte es necesario conocer su centro de masa y garantizar que la carga este lo más nivelada posible, logrando que el balanceo sea mínimo. Se tiene una pieza de acero de densidad constante ρ = 7850 kg/m^3

Figura N°3 :”Pieza de acero” Además, el diseño de la pieza tiene la forma que describe la curva: C : [ 0 , 3π ] → R^2 t → (t , arcsen(cos(t)) C(t) = (t, arcsen(cos(t)) → C´(t) = ( 1, con

−sen(t ) ) √(sen (t))2

||C´(t)|| = √2 , se tiene que : ❑

Su masa es M =

∫ ρ ds

, ds = ||C´(t)|| dt

C

❑

M=

∫❑

ρ ||C´(t)|| dt

C

3π

M=

∫❑

7850(√2) dt

0

M = 7850 (√2)(3π) M ≈ 104 629.893 Su centro de gravedad: ❑

●

x CM =

1 ∫ x ρ ds M C ❑

x CM=

Cálculo III - Avance N°2 13

1 ∫t (7850)(√2) dt 104 629.893 C

La Integral de Línea

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

t2 2 1 x CM = ¿ 104 629.893

(7850)(√2)] , t=3π

3π ≈ 4.712 2

x CM =

❑

y CM=¿

●

1 ∫ y ρ ds MC

3π

1 y CM = ∫ ❑ arcsen(cos(t))(7850)(√2) dt 104 629.893 0 3π

y CM = y CM =

7850(√ 2) ∫ ❑ arcsen(cos(t)) 104 629.893 0

7850(√ 2) t3 [ t arcsen(cos(t ))+ ] , t=3π 104 629.893 2

y CM = 0

Aplicación Trabajo Mecánico: Un tornado es una columna de aire con alta velocidad angular cuyo inferior está en contacto con la superficie de la tierra. A pesar de que existe tecnología para captar estos fenómenos naturales, en este caso, un hombre decide acercarse al tornado para fotografiarlo y hacer una grabación del imponente tornado con su vehículo. Para esta peligrosa acción se debe tener en cuenta las fuerzas de acción que inciden en su automóvil para evitar el riesgo de empezar a ser arrastrado por el tornado. El investigador desea conocer el trabajo que genera el campo de fuerzas del tornado en una trayectoria circular cuyo centro se encuentra a 2 kilómetros al este del ojo del tornado. Consideramos al tornado como un campo vectorial descrito por la siguiente función: F(x,y) = (-y,x) N; (Circunferencias color negro) Y consideramos a la circunferencia que será la trayectoria con su ecuación: C: (x+2)^2+y^2=1 ; (circunferencia roja) Cálculo III - Avance N°2 14

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

Gráfico N°5: “Campo vectorial” Pasamos a parametrizar la trayectoria: r(t) = (cos(t) + 2 ; sent(t)) km; t ϵ [0;2π] Planteamos la definición de trabajo, la cual es una integral de línea:

Extendemos la ecuación, utilizando la fórmula de integral de línea de segunda especie:

Formulamos las expresiones que van en la integral: F(r(t)) = F(cos(t) + 2 ; sen(t)) = (-sen(t) ; cos(t) + 2) r´(t) = (-sen(t) ; cos(t)) Reemplazamos y resolvemos la integral:

Cálculo III - Avance N°2 15

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

Tendremos como resultado que el trabajo ejercido en el campo vectorial al recorrer la trayectoria r(t) es 2π kJ. Aplicación Área de superficie: Un hombre desea construir una muralla alrededor de su casa, cuya esquina debe tener forma de parábola, pero cuya altura debe variar. Un ingeniero le dijo que una forma estilizada de hacer este muro es si la altura varía de acuerdo a la función: f (x,y)=x+y+2. El hombre ha pedido al ingeniero que la distancia entre la esquina y el inicio de la curva sea de 1 metro en la distancia horizontal.

Gráfico N°6: “Funciones que delimitan el muro”

Cálculo III - Avance N°2 16

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

Gráfico N°7: “Muro” Tenemos:

Utilizamos la fórmula para hallar el área: y reemplazamos nuestros datos:

Y finalmente obtendremos que el área del muro que se pidió es de 4.41 m2 aproximadamente. 6. DISEÑO Longitud de Arco Materiales: ● Hoja milimetrada. ● Un pequeño cable, alambre, cuerda o hilo. ● Regla. Procedimiento: ● En una hoja milimetrada asignar un eje coordenado para ubicar los puntos de nuestra función. ● Ubicados los puntos, procedemos a unirlos para así obtener un bosquejo de lo que en esta aplicación es un muro parabólico. Cálculo III - Avance N°2 17

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

● Con la mayor precisión posible, ubicar el cable por encima de la curva que trazamos, tratar de aplicar la mayor tensión posible para que así la medición sea la mejor posible. ●

Estirar el cable y medirlo cuidadosamente.

Figura N°4 :”Ubicación de los puntos.”

Figura N°5 :”Creación de la curva.”

Cálculo III - Avance N°2 18

UNMSM - FIGMMG - EPIC - CICLO 2020 II

La Integral de Línea

Figu ra N°6 :”Superposición del cable sobre la curva.” Además para explicar el centro de masa de un objeto, se hará un pequeño experimento, usando un destorn...