Cálculo I - EP (2018-I) Tarde-PARCIAL-CALCULO 1-2019 PDF

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Nolan Jara J. pg. 1Instrucciones al estudiante: Está prohibido el uso de celular durante el examen No se permite el uso de ningún material ajeno al que se entrega o permite en el examen Los exámenes que utilizan lápiz y/o liquid paper no tienen derecho a reclamo. Determine el valor de verdad de l...

Description

VERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICA VICERRECTORADO ACADÉMICO DE PREGRADO ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES

EVALUACIÓN

EXAMEN PARCIAL

CURSO

CALCULO I

COORDINADOR AREA ACADÉMICA

Mg. NOLAN JARA JARA INGENIERÍA

AÑO ACADÉMICO SECCIÓN

2018 90 minutos 2018-I

DURACIÓN SEMESTRE

Instrucciones al estudiante:  Está prohibido el uso de celular durante el examen  No se permite el uso de ningún material ajeno al que se entrega o permite en el examen  Los exámenes que utilizan lápiz y/o liquid paper no tienen derecho a reclamo.

1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones (V; F). Justifique su respuesta. a) La función 𝑓1 (𝑥) , 𝑥𝜖𝐼1 𝑓(𝑥) = {𝑓2 (𝑥) , 𝑥𝜖𝐼2 es inyectiva ⟺ [𝑅𝑎𝑛(𝑓1 ) ∩ 𝑅𝑎𝑛(𝑓2 ) = 𝛷 ⋀ 𝑓1, 𝑓2 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠] b) Dada la función en ℝ: 𝑓 = {(3; 2), (6; 0), (9; 2), (−2; 3)} , 𝑠𝑢 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑒𝑠 𝑔 = {(2; 3), (0; 6), (2; 9), (3; −2)} c) lim+ 𝑓(𝑥) = 𝐿, lim− 𝑓(𝑥) = 𝑀, ; 𝐿 ≠ 𝑀 (𝐿, 𝑀 ∈ ℝ ) ⟺ ∄ lim𝑓(𝑥) 𝑥→𝑥0

𝑥→𝑥0

d) Si 𝑓: 〈−1; 1〉 → ℝ es una función definida por 𝑓(𝑥 )

1 = ⟦𝑥⟧

𝑥→𝑥0

, f es continua ∀𝑥𝜖〈−1; 1〉 −

{0} Solución a. (Verdadero) , pues se debe cumplir que 𝑹𝒂𝒏(𝒇𝟏)⋂𝑹𝒂𝒏(𝒇𝟐) = 𝝓 y 𝒇𝟏, 𝒇𝟐 𝒔𝒆𝒓 𝒊𝒏𝒚𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 b. (Falso), pues ∄ 𝒈, 𝒑𝒖𝒆𝒔 𝒇 no es inyectiva. c. (Verdadero) pues es equivalente a la definición de limite. d. (Falso) pues f ∄ en 〈𝟎; 𝟏〉

2. Determine el dominio, rango y grafique la siguiente función: √𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑔𝑛 ( ) ⟦𝑥⟧ Solución Dominio(f)=x∈ [ 1;0  U[1; 

𝒇(𝒙) =

√𝒙+𝟏 𝒔𝒈𝒏 ( ⟦𝒙⟧ )

−𝟏; −𝟏 < 𝒙 < 𝟎 = { 𝟎; 𝒙 = −𝟏 𝟏; 𝒙 ≥ 𝟏

Calificar procesos

Nolan Jara J.

pg. 1

3. Tenemos que hacer dos cuadrados metálicos de dos materiales distintos. Los dos materiales tienen precios respectivamente de 2 y 3 soles por centímetro cuadrado. a) ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el gasto total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro? b) ¿Cuál es el gasto mínimo? Solución

a) x

y

El perímetro es de 4x+4y=100 centímetros x+y=25 …..(*) 2 y y2 El área de cada cuadrado es: x Siendo el gasto total:

G  2x2  3y2 , de (*)

G  2x2  3  25  x 

2

De donde

1 2  G  750    x  15  5

Los lados que debemos elegir es: El que cuesta 2 soles debe medir 15 cm y el que cuesta 3 soles debe ser de 10cm b) Del gráfico tenemos que el costo mínimo es de 750 soles

Nolan Jara J.

pg. 2

4. Calcular el valor del siguiente limite, si existe: lim (𝑐𝑜𝑠 (1 𝑡→∞

Solución

𝑡

𝑡2

))

𝒕𝟐

𝑳=

𝟏 𝟏 𝑺𝒆𝒂 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 (𝒄𝒐𝒔 ( )) ; 𝒔𝒊 𝒙 = ; 𝒕 → ∞ ⇒ 𝒙 → 𝟎 𝒕→∞ 𝒕 𝒕

𝟏 𝒙 𝐥𝐢𝐦(𝒄𝒐𝒔(𝒙)) 𝟐 𝒙→𝟎

= 𝐥𝐢𝐦 ((𝟏 + (𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝒙→𝟎

𝐜𝐨𝐬(𝒙)−𝟏 𝟏 𝒙𝟐 (𝒙) 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 ) − 𝟏 ))

−𝟏

=𝒆𝟐

 2  x   x    2  1 1   1  2  ; si existe. 5. Calcular: lim   x 0  x  3x  x x        Solución 𝒙² √𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟏 =𝟎 𝐥𝐢𝐦− = 𝐥𝐢𝐦− 𝒙→𝟎 𝒙(√𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝟏) 𝒙→𝟎 𝒙

FECHA

Nolan Jara J.

Ciudad Universitaria, 28 de mayo del 2018

pg. 3...