Cálculo I - EP (2019-I) Tarde-PARCIAL -CALCULO 1 PDF

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TURNO TARDEInstrucciones al estudiante:  Está prohibido el uso de calculadora y celular durante el examen  No se permite el uso de ningún material ajeno al que se entrega o permite en el examen  Usar lapicero de preferencia tinta azul1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones...

Description

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICA VICERRECTORADO ACADÉMICO DE PREGRADO ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES TURNO TARDE EVALUACIÓN

EXAMEN PARCIAL

AÑO ACADÉMICO

2019

CURSO

Cálculo I

SECCIÓN

Todos

COORDINADORA

Jenny Carbajal Licas

DURACIÓN

120 minutos

ÁREA ACADÉMICA

INGENIERÍA

SEMESTRE

2019-I

Instrucciones al estudiante:  Está prohibido el uso de calculadora y celular durante el examen  No se permite el uso de ningún material ajeno al que se entrega o permite en el examen  Usar lapicero de preferencia tinta azul

1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justifique en cada caso: definida por ( )

a) Sean las funciones, entonces

(

)

definida por ( )

y

}.

{

(1 punto) (1 punto)

b) No existe función que sea par e impar, al mismo tiempo. c) La función f :

definida por ( )

( )

es una función periódica.

(2 puntos)

2. Determine el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación , donde {( )

√

(4 puntos)

}

 x2  1 , 0  x  11 3.. Sean las funciones reales f y g definidas por f ( x)    x  1 , 11  x , con su respectivo dominio. y g( x)  19  x ,  7  x  11. Determine ( f

(4 puntos)

4. Calcule los siguientes límites

x  5x 4x

2 x2 

2

a)

lim

x 

(2 puntos)

b)

lim x 3

x 2 x  15

(2 puntos)

5. En una población de 5 mil personas se está transmitiendo una infección estomacal por bacterias. Sea

p (t ) 

5000 t el número de personas infectadas en t semanas. t  100

a) ¿En cuántas semanas la mitad de la población estará infectada?

(2 puntos)

b) ¿Cuántos infectados se tendrá cuando el número de semanas crece indefinidamente? Interprete este resultado. (2 puntos)

1

UN SOLUCIONARIO-TURNO TARDE 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justifique en cada caso: definida por ( )

a) Sean las funciones, entonces

(

)

definida por ( )

y

}.

{

(1 punto) (1 punto)

b) No existe función que sea par e impar, al mismo tiempo. c) La función f :

definida por

f ( x )  2   1

x

es una función periódica.

(2 puntos)

Solución a) Verdadero: ) () (

( ) ⁄* ( ) +

{

}.

b) Falso:

( ) , es par e impar al mismo tiempo, así, existe una definida por ( ) función que es par e impar al mismo tiempo.

c) Verdadero

f ( x)  f  x  T  x  En particular

( )

x 

( )

x0 ( )



La igualdad se cumple para

luego periodo de la función:

( )



( )

par

entonces para

T

mínimo:

 2  2 T 3

T  2.

2. Determine el dominio, rango y esbozar la gráfica de la siguiente relación: {( )

√

(4 puntos)

}

Solución Se debe cumplir: y0 y0 y0 y0 De y2 = 3 - 4x - x2

   

se tiene

3 - 4x - x2  0 x2 + 4x - 3  0 (x + 2 + √ )(x + 2 - √ )  0 x  [-2 - √ ; -2 + √ ] x2 + 4x + 4 + y2 = 3 + 4



(x + 2)2 + y2 = 7

Es una circunferencia de centro en (-2; 0) y radio √ restringido a y  0. () [

√

√]

() [√ ]

2

Y

√

√

(-2;0)

X

√

 x 2  1 , 0  x  11  x  1 , 11  x

3. Sean las funciones f y g definidas por f ( x)  

g( x)  19  x ,  7  x  11. y Determine el Dom ( f y la regla de correspondencia de ( f Solución

f 

  f1   f2

f1 (x) 

f1  g(x) 

,

f2 g(x) 

, x Df 2

x Df 1

x 2  1 , Df 1  0 ,11 ;

(3 puntos)

(I)

g(x)  19  x , Dg 7,11

x D f 1  x  D g  g x  D f1  7  x  11  0  19  x  11

 7  x  11  19   x  8  7  x  11  8  x  19  x  7,11  8,19  x  8,11 

f 2 (x)  x  1, Df2  11 ,   ; g(x)  19  x , D g  7,11

x D f 2  x  D g  g x  D f2  x  7,11  19  x  11 , 

 x  7,11    x  8 ,    x  7 ,11  x  ,8  x  7,11  ,8  x   7,8 Luego, en (I)

  (19  x) 2  1  18  x  

f

, x  8 , 11 , x   7 , 8

4. Calcule los siguientes límites

x  5x 4x

2 2x 

2

a)

lim

x 

(2 puntos)

b)

lim

x 3

x 2x  15

(2 puntos)

Solución:

3

a)

x2  5 x  lim x  4x

lim

x 

b)

5 x 1 5 x 1 x  lim x  lim 1 1  5  1  x x  4 4x 4x 4 x

De

x  3

x  1 3

x  3  2x  6  2x  5 2 x2  lim x 3

x 2x  15

x 3

2 x2 2 x2 18  lim    5x  15 x3 5  x  3 5  0 

5. En una población de 5 mil personas se está transmitiendo una infección estomacal por bacterias. Sea

p (t ) 

5000t el número de personas infectadas en t semanas. t  100

a) ¿En cuántas semanas la mitad de la población estará infectada?

(2 puntos)

b) ¿Cuántos infectados se tendrá cuando el número de semanas crece indefinidamente? Interprete este resultado. (2 puntos) Solución: a) Por datoII

2500  p( t)  b)

lim

x

5000t  t  100

t  100 , en 100 semanas la mitad de la población estará infectada.

5000 t 5000  lim  5000 significa que el número de infectados se estabilizará en x  t  100 1  100 t

5000 personas, es decir toda la población estará infectada.

4...