CALCULO I APUNTES TEMA 1 Y 2 PDF

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Apuntes del tema 1- números reales y 2- números complejos...

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Irene García Bolaños

domingo, 3 de octubre de 2021

CALCULO I 1. TEMA- ECUACIONES Y INECUACIONES: - TODAS LAS RELACIONES, ECUACIONES… ESTAN EN LAS HOJITAS - Razones trigonométricas:

- Varios ejemplos de ecuaciones y inecuaciones en las hojas.

2.

TEMA- NUMEROS COMPLEJOS:

- Esquema de tipos de numeros:

NUMERO COMPLEJO: • Un numero complejo es un numero cartesiano, donde C= RxR= R^2, donde reales. • Un numero complejo es un numero que cuenta con dos partes: 1. La parte real: El numero real, ya puede ser entero, fraccionario… 1. La parte imaginaria: Esta es la parte que viene con él “i”.

(a, b) son números

Irene García Bolaños

domingo, 3 de octubre de 2021

- Representación de un numero complejo: • Forma Cartesiana: - Un numero complejo se representa como un vector. Donde a= numero real, y b= numero imaginario. El eje “x” es dónde ira el valor a, y la conocemos como eje real. Y el eje “y” que se conoce como eje imaginario. • Forma Binomica: - Es la forma mas común para representar un numero complejo, básicamente ( a + bi ) . - Ejemplo: (4,2) —> 4 + 2i , (0,2) —> 2i • Formas Polares: Dentro de esta tenemos 3 formas polares diferentes. Forma trigonometrica Forma exponencial

- Paso de forma Binomica a Polar: • Para pasar de Binomica - Polar hay que tener en cuenta que z (en nuestro caso Ro), va a ser la hipotenusa del vector creado entre la parte real y la imaginara de un numero complejo. z= a^2 + b^2 • Y que para calcular alfa ( en nuestro caso Tita ), tendremos que usar el coseno y el seno. cos(tita)= a/z(Ro) sen(tita)= a/z(Ro) • Ejemplos: Hoja 1 de tema 2 de Calculo II.

- Pasar de forma Polar- Binomica: • La mejor forma es pasarlo de Forma Polar TRIGONOMETRICA a binomica. Por lo que el 1. Paso seria pasar la forma polar a forma trigonométrica en caso de que no este. Y luego: z·(cos(o) · i sen(o))= z· cos(o) + z· sen(o) i Ejemplo: Hoja 1 de tema 2 de Calculo II, parte trasera. •

- Operaciones con números complejos: • Suma y Resta: - Solo se puede hacer en forma BINOMICA, por lo que sí tenemos un numero en forma polar habra que pasarlo. (Parte real + parte real) + (parte imaginaria + parte imaginaria) - La suma y la resta se hacen igual y mantienen las mismas propiedades. - Ejemplo: (3 +i) + (2 + 5i) = (2+5) + (i+5i)= 5 + 6i • Multiplicación: - Se puede hacer tanto en forma BINOMICA, como en POLAR. 1. Binomica: Se hace como una multiplicación normal, y luego se opera. - Ejemplo: (3 +i) x ( 2+ 5i) = 6 + 15i + 2i+ 5i^2= (i^2=-1) —> 6 +17i -5 = 1 + 17i 2. Polar: Multiplicamos los módulos y sumamos los argumentos. z1·z2 · ( cos(o1+o2) + sen(o1+o2)) • Division: - Se puede hacer tanto en forma BINOMICA, como en POLAR. 1. Binomica: Multiplicamos al nominador y al denominador por el conjugado del denominador y operamos. 2. Polar: Dividimos los módulos y restamos los argumentos. z1/z2 · ( cos(o1-o2) + sen(o1-o2))

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Irene García Bolaños

domingo, 3 de octubre de 2021

- Potencias de exponente entero: • No podemos dejar un numero “i” elevado a un numero, por lo que desaparece ya que i= -1 i^0=1 i^1=i i^2= -1 i^3= -i i^4= 1 i^5= i • Esto quiere decir que cada 4 números se repite, ósea que sí numero + grande hacer división. • Se puede hacer en forma binomica y polar:

- Forma binomica: Se hace igual que con los números reales. 2 opciones: 1. Si (a +bi)^2 se tendría que hacer de la forma típica que sería (a+bi)= (a^2 +2ab +b^2) y luego hacer que i^2 desaparezca con lo que hemos mirado arriba. 2. Sí (a+bi)^-2 entonces teníamos que hacer una división y ya luego operar.

- Forma polar: Hay que elevar él modulo a la potencia y multiplicar el ángulo con la potencia. z^n · ( cos(o· n) + sen( o ·n))

- Raiz cuadrada: • La raíz cuadrada de un numero complejo solo se puede hacer en forma POLAR. • Habría que obtener la raíz enésima del módulo y dividimos el ángulo entre el indice de la raíz pero antes sumamos el ángulo 2kπ, que son las vueltas enteras. n√p(cos(o)· sen(o) = n√p · ((cos (o·2kπ)/n) + (sen(o·2kπ)/n)) • Ejemplo: En la hoja de Calculo I, hoja 3, parte trasera. • Hay una excepción: cuando la raíz es de n=2 da si se puede hacer en forma binomica(en las hojas)

- Potencias de exponente racional: • Al ser una raíz el numero complejo tiene que estar en forma polar. Hay que hacer 1. el exponencial y seguido la raíz . z^(p/q) = q√z^p

- Logaritmos: • Solo se pueden hacer si esta en ln(x) y el numero complejo tiene que estar en forma exponencial. • Por ejemplo si tenemos un log(x) tendremos que hacer un cambio de base para poder tener como base a “e” • Ejemplo: Calculo I hoja 4, parte delantera

- Potencias de exponente complejo: • Aquí hay que estudiar una formula que no sale en las hojitas que se pueden llevar al examen. z1^z2 = e^(z2· ln(z1)) • Ejemplo: Calculo I hoja 5, parte delantera !!!!

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