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Calculo integral 5 5 de cada una convergentes, divergentes, conx graficando entre otros, Calculo integral 5 5 de cada una convergentes, divergentes, conx graficando entre otros...

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calculo integral eje 4 Cálculo Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira 14 pag.

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Calculo Integral

Actividad evaluativa eje 4

Grupo # 42 Meyer Mora Grupo # 42 Omar Daniel Duque Ortiz Grupo # 43 Gustavo Novoa Grupo # 41 Daniel Ordoñez

Bogotá DC. Septiembre de 2019

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Introducción El propósito principal de este trabajo es mostrar un estudio de series, mediante el planteamiento de situaciones problemáticas, y se busca construir significados personales acerca de los objetos matemáticos, como las series convergentes y divergentes, así como la series de Maclaurin y diferentes tipos de integrales dobles y triples.

1. Proponga cinco ejemplos de series matemáticas convergentes y cinco ejemplos de series divergentes

Series matemáticas convergentes Ejemplo 1 Estudiar el carácter de la serie ∑ an de termino general a

2 n−1 n n= 3 n−1

(

Solución Por el criterio de la raíz de Caunchy: lim

√

( 3 −1 n

2 n−1

=lim

(3

2 n−1

n 1

n

2

1 =( ) 1/ 9 3

Como el limite es menor que uno, la serie es convergente.

Ejemplo 2

∞

1

∑

Determine si la serie

es convergente o divergente, si es

n(n+1) convergente, encuentre su suma. n

Solución: La serie converge si su sucesión de sumas parciales converge: Como S1=a1 ; S2 =a1 ; S3=a1 + a2 + a3…. Se tiene que 1 S=

1

, 1

2

1

S

, S= 1

= 2

2 2.3

3

1

2 2.

3

Determinemos una fórmula para Sn : 1 1 , luego = Observe que 1 k (k +1) k

k +1

+

+

1

3.4

….

Ejemplo 3 ∞ n

(

Determine si la sere ∑ (−1) 2 n

+1

n

2

)

n

es convergente o divergente.

Solcuión:

lim n→ ∞

√∣

n

n2+1

n

(−1 )

)∣

= lim

1

2

2n n +

= lim

n+ 1 2

1 2 n

2 n→ ∞ 2 n +n n→ ∞

2

1

1

= 20 (a la función x si se le puede aplicar la regla).

3 lim lim 3 3 ln n x lim =¿ x →∞ = x→∞ =0¿ x x→ ∞ ex xex e

Como f ( n ) =a se tiene que el lim n

x→ ∞

3 ln n

=¿ 0 ¿ y la sucesión es convergente y

x

e

converge a 0.

Series matemáticas divergentes Ejemplo 1 Estudiar el carácter de la serie ∑ an de termino general a

n! = n (a+1 ) (a +2) …(a+ n) ¿

¿

Solución: Aplicamos el criterio del cociente: n! ¿ lim ( a+2) … ( a+ n)¿ . n! (a+1 )¿ (a+ 2) … (a + n ) n ¿ (a+ 1 ) ¿

( n−1 ) ¡

=1.

a+n

El criterio no permite decidir sobre la convergencia de la serie por lo que aplicamos el criterioande Raabe: =lim =a lim n n 1

❑

]

[

a+1

❑

a+n

Resulta que si a 1, la serie es convergente Cuando a=1, sustituimos ese valor en la serie y obtenemos

∑

n! 1 2∗3 …… .. ( n+1=) ∑ n+1

La cual es divergente

Ejemplo 2 ∞

∑ n =1

Determine si la serie

n3+2 √ n

√ n7 +3

es convergente o divergente.

Solución:

n3 2√ n

1 n3 7 = √ n √n

y Observe 0< 7 0< √ n +3 n3 1 n 3+2 √n b = y = Sean n √ n7 √ n √n7+3 an= ∞

La serie ∑

n =1

1

√n

Se evalúa lim n→ ∞

es divergente ¿Por qué? an bn

lim n3 +2 √n lim a n n→ ∞ √ n7 + 3= n→ ∞ bn 1 √n

¿ lim n→∞

√ n ¿¿¿ =1

∞

1 n =1 √n

Dado que el limite es finito y positivo y la serie ∑ ∞

∑ n =1

comparación en el limite

n3+2 √ n

√ n7+

diverge, por el criterio por

diverge

3

Ejemplo 3

Determine si la sucesión cuyo término es a

n=

n5+ 4 ln

(n2+2)

converge o diverge.

Observe que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando n tiende a infinito. n5+ 4 Sea f ( x ) =

lim 5 x ⁴

5

lim x→+∞

, x> 0

2

ln ( n + 2)

x+

=x

4 2 ln ( x

lim 5 x6 +10 x lim 30 x5+ 40 x 3 ⁴ 5 x( ⁴ x¿¿ 2 +2 ) x →∞ = lim = = x→ ∞ =+∞ ¿

→∞

2x x 2+2

+2)

2x

x →∞

2x

2

lim n 5+ 4 a f ( ) = n n ≥ 0, Como n para se tiene que n→∞ =+∞ por lo tanto la sucesión es ln (n2 +2) divergente.

Ejemplo 4

∞

Determine si la serie

2+5n

∑

n =1

2

n

es convergente o divergente

2+ 5 n Observamos que 0< 2 2+ 5n 5n 2

n

> 2

n

5

n

(2 )

=

n

5 y 0<

n

( 2)

La serie ∞

∑ (5

n

Es una serie geométrica de razón

n +1

por el

5 2 >1

criterio de comparación resulta que la serie

por lo tanto, diverge. ∞

∑

2+ 5n diverge

n =1

2n

∞

Ejemplo 5

∑

Determine si la serie

❑

1 es convergente o divergente.

n+ln ( x

)

Acotando inferiormente, se tiene que ln ( x )∈ x ∀ x >0 ln (n )∈ n n +ln ( n )>2 n 1 1 2n ∈ n+ln(n ) 1 ∞ 1 ∈∞ ∑ n ∑ n+1ln (x ) 2 ❑

❑

Luego como ∞

1 2

∞

∑

∑

1 diverge, entonces por el criterio de comparación, la serie

❑

)

n también diverge.

2. Encuentre la serie de Maclaurin de la función cosx

Demostrar que cosx =1− +

❑

x2

+∞

k 2

(−1) x n k −… (− 1) (∀ x ∈ R) 4 +…=∑ x 2n + 2! 4 (2n ) (2 k ) ! k =0 ! ! x

La fórmula de maclaurin de orden 2n aplicada a la función cos x proporciona la acotación.

1 n+ln ( x

cosx − 1− 2 4 2n +x n x x + …+(−1 ) 4 n! 2! !

∣

)

4 cosx − 1− 2 + x + …+ x 4 (−1)n

∣

2n

x n! ≤

2! !

Ahora bien

∣x∣

2

)

∣x∣

∣

2 n+ 1

( 2 n+ 1 ) !

⤏ 0 cuando n→+∞ pues sabemos que la exponencial

n+1

(2n+ 1)!

tiene un grado de infinitud menor que el factorial. En consecuencia 2

x x 1− + 2 ! 4 −… + 4!

(−1) n x2n (2 n)!

→cos x

Para todo x ∈ R x cos x=1− 2 x n −… ( −1) 2n + x +4 2! 4 !

+∞ k

k 2 (−1) x (∀ x ∈ R ).

+ …=∑

(2 n) !

k =0

(2 k )!

3. Ejemplos de integrales dobles y triples en diferentes coordenadas.

Hallar: ❑

∬( 4−x 2− y 2 ) dxdy s

Donde (S) es el dominio encerrado entre las líneas ( s)

x= 0 x=1 y=0 y= 3 2

{

La recta x=0 representa al eje vertical OY, la recta x=1 es la vertical (línea verde en la gráfica). La recta y=0 es el eje horizontal OX, mientras que la recta y=3 / 2 es la de color violeta. El recinto cerrado (S) sobre el que se realiza la integral, es el cuadrilátero rectangular en azul celeste. Al momento de realizar la integración debemos fijarnos que la variable (primera) x varía entre los puntos 0 y 1, mientras que la variable (segunda) y varía entre las líneas: y=0, y =3/ 2 La integración es: 3 2

1

❑

( 4− x2 − y 2) dxdy = ∫ dx ∫ ( 4 −x 2− y 2) dy ∬ s 0 0 En primer lugar se realiza la integral interior, en este caso la que es respecto a y (considerando las x como constantes), aplicando a la primitiva la regla de Barrow. Tras esto nos quedara una función dependiente de x que se integra y se aplica Barrow: y3 39 3 1

3 2

1

1

[

] ( =∫

( 4−x − y ) dy =∫ dx 4 y x y∫− − ∫ dx 2

2

0

0

39

[

8

1

1 3

x− x 2

] 0

2

0

35 =

8

Hallar: ❑

∬s (1+ x+ y )dxdy y=−x Limitado por las líneas: (s) y =x 2 y=2

{

1

3

0

0

)

− x 2 dx 8 2

El dominio (S) está representado en la gráfica, para realizar la integral sobre este dominio, le dividimos en dos partes S1 y S2. Podemos ver:

❑

❑

∬ (1+ x+ y )dxdy +∬(1+ x+ y ) dxdy S1

S2

Siendo S1 el triángulo (naranja) y S2 el lóbulo verdoso. Los límites de integración para estos dos dominios son: Dominio S1: x Varía entre los puntos: x=−2, x=0. (Puntos extremo izquierdo – extremo derecho) y Varía entre las líneas: y=−x, y=2. (Líneas inferior – superior) Dominio S2: x Varía entre los puntos: x=0, y= √ 2. (Puntos extremo izquierdo – derecho) y Varía entre las líneas: y=x 2 , y=2. (Líneas inferior – superior) Por lo tanto: Para la integral sobre S1 : 0

2

0

∫ dx ∫ (1 + x + y ) dy= ∫ −2 0

∫ −

−x 2

x

2

[

y 2 dx y+ yx +

−2

2

−x

]

10

( 2 +3 x +4 ) dx= 3

Para la integral sobre S2 : √2

2

√2

∫ dx ∫ ( 1+ x+ y ) dy=∫ dx x2

0

0

[

2 2

y y + xy+ 2

]

x2

44 √2 3 2 − − x − x +2 x+ 4 dx = 1 + ∫ 15 −2 2 La suma de los dos resultados será la integral pedida. ❑ 13 44 √3 ∬S (1+ x+ y )dxdy =3 + 15 0

4

(

Hallar: Donde (V) es el recinto limitado por las siguientes superficies:

x=0, y=0, x + y + z=1

En la gráfica a continuación, podemos observar que: las superficies x=0, y=0, z=0, son las tres paredes del tiedro principal, mientras que la superficie x + y + z=1 es el plano que corta OX en x=1, al eje OY en y=1, al eje OZ en z=1. En este plano también se puede expresar en su forma segmentaria como: x

z + =1 1

y + 1 1

Entonces los límites de integración quedan delimitados así: Para la coordenada x(puntos): x=0, x=1 Para la coordenada y (líneas): y=0, y =1−x (recta x + y=1) Para la coordenada z (superficies): z=0 (suelo), z= 1 − x− y (plano inclinado) Por lo tanto, la integral será:

❑

1− x

1

∭ ∫(V )

xyz dxdydz=∫ x dx 0

0

1−x− y

z dz

y dy

∫

0

En primer lugar hacemos la integral de z: 1

1

1−

[ z2 ]

x− y

2

0

=

2

1−x− y)2 (

Sustituimos ese resultado en la integral de y e integramos: 1−x

∫0

k

(1−x− y )2 dy =∫ ( k − y )2 dy 0

En esta última integral hemos llamado k a la expresión constante: 1−x

Finalmente, el resultado obtenido en esta integral, (1− x ) 3/ 3, se juntan a la integral de x: ❑

∭

1 xyz

dxdydz= ( V)

1

x (1−x ) 3

dx= ∫ 6 0

1 120

Conclusiones

En este trabajo se llega a la conclusión de que las series, son parte importante del cálculo, ya que con ellas se pueden llegar a resultados precisos que con operaciones aritméticas no se pueden llegar. Hemos aprendido como podemos resolver ciertos problemas matemáticos con el uso de las sucesiones y series, ya que en áreas como física, química, biología, computación y otras ramas de ciencias es necesario realizar operaciones con sucesiones y series. Las aplicaciones de las integrales dobles están estrechamente relacionadas con estas dos ciencias exactas que son la física y la geometría ya que se pueden analizar figuras y cuerpos simultáneamente en los ejes “x” y “y”

Bibliografía.

• [Integrales Dobles y Triples]. (s.f). Fundamentos de Matemáticas. Recuperado de http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateII15/T_integrales23v/ integrales23v.htm

• Profe, J. [julioprofe]. (2012, Junio 14). Integrales Dobles – Ejercicio 1. [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch? v=eu3CNA47KX4...