Cálculo Numérico - Neide Bertoldi Franco - Respostas PDF

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respostas...

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ERRATA

Exerc´ıcio

onde se lˆe

leia-se

2.34

... sem o fato de que Jn (1) → 0...

... com o fato que Jn (1) → 0...

3.38

1o¯ grau

2o¯ grau

3.47

x2 − 0.0001x − 3.999

t2 − 0.0001t − 3.999

4.20

a)...dois d´ıgitos... b)Refine a solu¸c˜ao obtida em a).

a)...trˆes d´ıgitos... b) Refine uma vez a solu¸c˜ao obtida em a).

4.36

...matriz sim´etrica A ´e...

...matriz sim´etrica A, positiva definida, ´e...

8.25

9.18

0 -1 Z

2

1

1 α

2 5

3 β

4 7

dx √ 2(x − 1) −x2 + 3x − 2

5 γ

6 13

x f(x) Z

2

1

0 -1

0.45970

0.9460830704

9.45

Z

Z

−2

dx dx x+3

0

−2

h = 0.1

2 5

3 β

dx √ 2(x + 1) −x2 + 3x − 2

9.29

0

1 α

dx x+3

10.16

x ∈ [0, 0.4] ,

x ∈ [0, 0.1] ,

h = 0.05

10.28

y(1) = 0

y(1) = 1

10.29

xy′′′ − x2 y′′ + (y′ )2 y = 0

y′′′ − x2 y′′ + (y′ )2 y = 0

4 7

5 γ

6 13

Cap´ıtulo 1

1.1) a) E´ espa¸co vetorial. b) N˜ao ´e espa¸co vetorial, pois n˜ao vale (α + β)u = αu + βu. ´ combina¸c˜ao linear. 1.2) E ´ combina¸c˜ao linear. 1.3) E 1.4) a) Os vetores s˜ao LI. b) Os vetores s˜ao LI. 1.5) v = (4, − 1, − 1)t . 1.6) v = 2f1 − 10f2 + 7f3 . 1.7) P3 (x) =

19 {5} + 20{x − 1} + 4{x2 − 5x + 3} + 2{x3 − 4}. 5

1.8) a) (x, y) = 1. b) (x, y) = 8. 1 1.9) a) (f, g) = . 4 b) (x, y) = −

1 . 12

1.11) a) Os vetores s˜ao ortogonais. b) Os vetores s˜ao ortogonais. c) Os vetores n˜ao s˜ao ortogonais. 1.12) m = 7. 1.13) m =

−3 ± 5

√ 14

.

1.14) f (x) = P2 (x) = k (−

2 + x2 ). 3

1.15) m = 2. 1.16) k x k1 = 16, k x k∞ = 10 e

√ 110. √ = 6 5.

k x kE =

k y k1 = 24, k y k∞ = 12 e k y kE √ √ √ 1.17) (x, y) = 7, k x k = 6, k y k = 30, d (x, y) = 22 e √ 2 x+y (4, 3, 4, 3)t . = 10 kx+y k 1.19) (u, v) = −1.

√ k x kE = 3 2. √ k B k1 = 8, k B k∞ = 8 e k B kE = 43. √ k C k1 = 21, k C k∞ = 24 e k C kE = 305. √ √ √ µ ¶t 4 2 2 3 6 2 t t , − , , e∗3 = (−1, 0, 1) . (1, 1, 1) , e∗2 = e1∗ = 3 3 3 4 2 3 √ √ µ √ µ ¶t ¶t 1 2 5 30 10 1 1 t 1, − , , 0 , e3∗ = , , −1, −1 , (0, 2, 1, 0) , e∗2 = e1∗ = 5 5 2 2 6 5 5 √ µ ¶t 4 4 8 4 15 , − , , e4∗ = . 15 5 15 15 4 √ √ √ µ ¶ 1 3 10 2 3 P0∗(x) = , P1∗(x) = x, P2∗(x) = x2 − , .... 2 2 4 3 ¶ ¶ µ µ √ √ 13 3 ∗ 2 ∗ ∗ Q0 (x) = 1, Q 1 (x) = 2 3 x − , .... , Q 2 (x) = 180 x − 3x + 6 2 ¶t µ 1 25 26 , x0 = − , . 3 3 3

1.20) k A k1 = 5, k A k∞ = 5 e

1.21)

1.22)

1.23) 1.24)

1.25)

1.26) P2 (x) =

29 4 12 2 {x − x}. {3} + {x − 3} + 7 35 5

1.29) Para a matriz A: P (λ) = λ2 − 5λ − 2; λ1 ≃ − 0.3723 e λ2 ≃ 5.3723. Para λ1 ⇒ v ≃ (1, − 0.6862)t e para λ2 ⇒ v ≃ (1, 2.1862)t . Para a matriz B: P (λ) = −λ3 − 2λ + 2; λ1 ≃ 0.7709, λ2 ≃ − 0.3855 + 1.5639i e λ3 ≃ − 0.3855 − 1.5639i . Para λ1 ⇒ v ≃ (0.6740, 0.4228, 1)t , para λ2 ⇒ v ≃ (− 3.6827 + 0.3581i, 1.3855 − 1.5639i, −1.7710 + 3.1278i)t e para λ3 ⇒ v ≃ (1.2089 − 1.5639i, 1.3855 + 1.5639i, −1.7710 − 3.1278i)t . 1.30) Os autovalores de A s˜ao: 4 e 1, de A2 s˜ao: 16 e 1 e de A3 s˜ao: 64 e 1. ¶ µ 14 − 6 e Q(A) = Θ. 1.31) P (A) = − 6 20 1.32) P3 (x) = 4Q0 (x) − 2Q1 (x) + 5Q2 (x) − 3Q3 (x). 1.33) P2 (x) =

16 3 143 {8} − {3x + 2} + {5x2 − 3x}. 30 15 5

1.34) a) (x, y) = 4. √ √ b) k x k = 30, k y k = 14. √ 1.36) b) k x k = 13.

1.38) e1∗ =

√ µ √ √ µ ¶t ¶t 1 1 2 2 3 2 2 6 t . − , , 1 , e∗3 = , − , (1, 1, 0) , e2∗ = 3 3 3 2 2 2 3 2

1.39) L0 (x) = 1, L1 (x) =

√ √ 1 1 12(x − ), L2 (x) = 180(x2 − x + ), . . . . 6 2

1.40) P0 (x) = 3, P1 (x) = x −

1 1 , P2 (x) = x2 − x + . 6 2

1.41) v0 = (1, 1, 0)t . 1.42) P1 (x) = −2.2214 + 4.5948x. 1.43) P2 (x) =

1 1 12 1 4 {3} + {x − } + {x2 − x + }. 2 15 15 7 6

1.44) Para a matriz A: P (λ) = λ2 − λ + 1, e para a matriz B: P (λ) = − λ3 + 3λ2 + 2λ − 5. 1.45) λ1 − q, λ2 − q, . . . , λn − q. 1.48) Para as matrizes A e C os autovalores s˜ao reais e est˜ao nos intervalos [0, 4] e [−1, 5], respectivamente. Para a matriz B os autovalores est˜ao na reuni˜ao dos c´ırculos C1 e C2 de centro em 1 e raio 2 e, centro em 4 e raio 1, respectivamente. Para a matriz D os autovalores est˜ao na reuni˜ao dos c´ırculos C1 , C2 e C3 de centro em 3 e raio 1, centro em 2 e raio 2 e centro em 0 e raio 1, respectivamente.

Cap´ıtulo 2

2.1) x1 = 0.4321 × 104 , x2 = − 0.1352 × 10−2 , x3 = 0.1256 × 103 , x4 (overflow) e x5 = 0.3400 × 10−3 . 2.2) x1 (overflow), x2 (underflow), x3 = 0.125 × 103 , x4 (overflow), x5 (underflow). 2.3) x1 = (100010)2 , x2 = (0.0010)2 , x3 = (100001.00111 . . .)2 . 2.4) x1 = (55)10 , x2 = (0.34375)10 , x3 = (3.3125)10 . 2.5) x1 = (30)5 , x2 = (0.2132 . . .)5 , x3 = (24.02331 . . .)5 . 2.6) a) 145 n´ umeros. As formas da mantissa s˜ ao: 0.100, 0.101, 0.102, 0.110, 0.111, 0.112, 0.120, 0.121, 0.122, 0.200, 0.201, 0.202, 0.210, 0.211, 0.212, 0.220, 0.221, 0.222. As formas de β e s˜ao: 3−2 , 3−1 , 30 , 31 . b) x1 = 0.101 × 30 , x2 = 0.221 × 31 . 2.7) a) 161 n´ umeros. b) (1.9375)10 . 2.8) a) 0.099995 ≤ s < 0.99995. b) x1 = 0.1239 × 104 , x2 = − 0.5501 × 10−3 , x3 = 0.1004 × 101 , x4 (overflow), x5 (underflow). 2.9) a) 8.05 e 8.05. b) − 0.153 e − 0.152. 2.10) a) 18.546449. b) 18.5. 2.11) a) 8.7412863. b) 8.7. 2.12) a) y0 = 0.0953102. b) Fa¸ca integra¸c˜ao por partes. c) Usando a f´ormula (2.8) com y0 = 0.0953102, obtemos: yn y0 = 0.0953102 y1 = 0.0468982 y2 = 0.031018

yn y3 = 0.0231535 y4 = 0.018465 y5 = 0.01535

yn y6 = 0.0131667 y7 = 0.0111901 y8 = 0.0130986

N˜ao, pois o algoritmo ´e extremamente inst´avel.

yn y9 = − 0.0198449 y10 = 0.2987489

2.13) Considerando y20 = 0 e usando a f´ormula (2.9), obtemos:

y19 y18 y17 y16 y15

yn = 0.005 = 0.0047632 = 0.0050792 = 0.0053744 = 0.0057126

y14 y13 y12 y11 y10

yn = 0.0060954 = 0.0065333 = 0.007039 = 0.0076294 = 0.008328

y9 y8 y7 y6 y5

yn = 0.0091672 = 0.0101944 = 0.0114806 = 0.0131371 = 0.015353

y4 y3 y2 y1 y0

yn = 0.0184646 = 0.0231535 = 0.031018 = 0.0468982 = 0.0953102 (m)

com todos os d´ıgitos corretos. Considere yn a solu¸c˜ao exata e y n a solu¸ca˜o (m) aproximada. Mostre que: |y n − yn | ≤ a−11 . Como a = 10 ent˜ao o erro ´e menor que uma unidade no d´ecimo primeiro d´ıgito. 2.14) x1 = (11011)2 , x2 = (0.0010001 . . .)2 , x3 = (101101.001000 . . .)2 . 2.15) x1 = (59)10 , x2 = (0.28125)10 , x3 = (2.4375)10 . 2.16) x1 = (1000)2 , x2 = (0.01100 . . .)2 , x3 = (1001.1010 . . .)2 . 2.17) Sim, o n´ umero (31.202)4 . 2.18) O n´ umero x1 . 2.19) a) Os n´ umeros represent´ aveis no sistema dado s˜ao:   2−2 = (0.125)10 2−2       −1   2 = (0. 25) 2−1   10    0  0 2 = (0.5)10 2 ±0.10 × ± 0.11 × 1 2 = (1. 0) 21   10     2   2 = (2.0)10 22      3  3 2 = (4.0)10 , 2

= (0.1875)10 = (0.375)10 = (0.75)10 = (1.5)10 = (3.0)10 = (6.0)10 ,

Para coloc´a-los no eixo ordenado, basta considerar os n´ umeros na base 10. b) (6.0)10 . c) (0.125)10 . 2.20) x1 = 0.10110101 × 22 , x2 = 0.11101100 × 23 e x3 = 0.11100100 × 22 . Nenhum possui representa¸ca˜o exata. 2.23) a) 7.9 e 7.9, b) 34.6, c) − 0.177, d) 369 e 368 , e) 10.9. 2.24) a) 3.10, b) 3.10. Sim.

2.25) a) 0.5975 × 103 , b) 0.5375 × 10−1 , c) 0.1399 × 105 , d) 0.2548 × 103 . 2.26) Trabalhando com arredondamento para cinco d´ıgitos em todas as opera¸c˜oes, obtemos: a) 6 × 101 . b) 10 × 101 . N˜ao. 2.27) Os itens a), e) e f ) est˜ ao corretos. b) 0.100 × 30 . c) (overflow). d) 0.222 × 32 . 2.28) a) e−0.15 = 0.8607079764. b) e−0.15 = 0.8607080154 O resultado usando

1 = 0.8607079962. e0.15

e

1 ´e mais preciso. e0.15

2.29) a) 50076 × 101 , b) 49900 × 101 .   x1 = 2.30) a) (I)  x2 =   x1 ≃ b) (I)  x2 ≃   x1 = c) (I)  x2 ≃

105 , (II )

  x1

= 105 ,

  x1

= 105 ,

(II I)  x2 = 10−5 . x2 = 10−5 .   2.0003 ,  x1 ≃ 2.0003 ,  x1 ≃ 2.0003 , (II ) (III)   1.9997 . x2 ≃ 1.9997 . x2 ≃ 1.9997 .   0.5 ,  x1 ≃ − 1.3333 ,  x1 = 0.5 , (II ) (II I)   x2 = 0.5 . − 1.3333 . x2 ≃ 1.3333 . √ √ √ √ 2.31) 0.0189. N˜ao. Observe que: ( x + 1 − x)( x + 1 − x) = 1 ⇒ 0.0188915, com todos os algarismos corretos. 0.



2.32) x1 = 59.99 e x2 = 0.005. N˜ao. Observe que: x1 × x2 = 1 ⇒ x2 = 0.0166694, com todos os algarismos corretos. 2.33) Com a express˜ao dada, obtemos: − 0.06 . Observe que: − 0.0637755, com todos os algarismos corretos.

√1

1 x− 2 =− √ 1 ⇒ 4 x + 2x x−4

2.34) Considerando: J0 (1) = 0.7652, J1 (1) = 0.4401 e J0 (1) = 0.76519769, J1 (1) = 0.44005059, e usando a rela¸c˜ao de recorrˆencia: Jn+1 (x) − 2 xn Jn (x) + Jn−1 (x) = 0, obtemos: Jn (1) J0 (1) = 0.7652 J1 (1) = 0.4401 J2 (1) = 0.115 J3 (1) = 0.0199 J4 (1) = 0.0044 J5 (1) = 0.0153 J6 (1) = 0.1486 J7 (1) = 1.7679 J8 (1) = 24.602 J9 (1) = 391.8641 J10 (1) = 7028.9518

Jn (1) J0 (1) = 0.76519769 J1 (1) = 0.44005059 J2 (1) = 0.11490349 J3 (1) = 0.01956337 J4 (1) = 0.00247673 J5 (1) = 0.00025047 J6 (1) = 0.00002797 J7 (1) = 0.00008517 Jn (8) = 0.00116441 Jn (9) = 0.01854539 Jn (10) = 0.33265261

Os resultados obtidos mostram que a f´ormula de recorrˆencia ´e extremamente inst´avel. 2.35) Considerando J10 (1) = 0, J9 (1) = µ e usando a rela¸c˜ao de recorrˆencia: Jn−1 (1) = 2 nJn (1) − Jn+1 (1) , n = 9, . . . , 1, obtemos: J8 (1) = 18µ J7 (1) = 287µ J6 (1) = 4000µ

J5 (1) = 47713µ J4 (1) = 473130µ J3 (1) = 3737327µ

J2 (1) = 21950832µ J1 (1) = 84066001µ J0 (1) = 146181170µ

De J0 (x) + 2 J2 (x) + 2 J4 (x) + 2 J6 (x) + . . . = 1 ⇒ µ = 5.234584502 × 10−9 . Assim: J9 (1) = 5.234584502 × 10−9 J8 (1) = 9.422252104 × 10−8 J7 (1) = 1.502325752 × 10−6 J6 (1) = 2.093833801 × 10−5 J5 (1) = 2.4975773031 × 10−4 J4 (1) = 2.476638966 × 10−3 J3 (1) = 0.01956335399 J2 (1) = 0.114903485 J1 (1) = 0.4400505856 J0 (1) = 0.7651976862 Os resultados possuem agora todos os d´ıgitos corretos.

Cap´ıtulo 3

3.1) a) Existe apenas uma raiz real e est´a localizada no intervalo (0, 0.5). b) Existem duas ra´ızes reais. Uma raiz ´e x ¯ = 0 e a outra raiz x ¯ ∈ (0.5, 1). 3.2) Temos: f (−1) ≃ − 0.0546, f (0) ≃ 0.0177, f (1) ≃ − 0.0005. Pelo Teorema 3.1, existe uma raiz em (−1, 0) e outra em (0, 1). 3.3) Temos: f (0) = − 1, f (1) ≃ 1.2817 , f (2) ≃ 0.6109, f (3) ≃ − 8.0855. Pelo Teorema 3.1, existe uma raiz em (0, 1) e outra em (2, 3). 3.4) a) |ψ′ (x)| < 1 para − 1.25 < x < 1.25, b) |ψ′ (x)| < 1 para x > 1.025. Assim, utilizaria o processo definido em a), pois |ψ′ (x)| < 1 num intervalo que cont´em a raiz. 3.5) a) |ψ′ (x)| = |2| que nunca ser´a menor do que 1, b) |ψ′ (x)| < 1 para

3 1 1 . b) |ψ′ (x)| < 1 para x > 0 . Portanto, apenas o processo definido em b) ´e convergente. 3.32) a) |ψ′ (x)| < 1 para − 2.5 < x < 2.5, b) |ψ′ (x)| < 1 para |x| > 1, c) |ψ′ (x)| < 1 para x < − 1.05. Portanto, apenas o processo definido em a) ´e convergente. 3 1 0 e 3.33) Os limites para a f´ormula convergir s˜ ao dados por: 2a 2a 1 3 0 e f (3) > 0. b) Uma raiz ´e x ¯ = −1 e a outra raiz encontra-se no intervalo (−1, − 0.5), desde que: f (0) < 0, f (− 0.5) < 0, f (−1) = 0 , f (−1.5) < 0 e f (−2.0) < 0. c) x ¯ ≃ − 0.613, com ǫ < 10−2 .

3.37) Temos: det(A) = − t3 + 0.4t − 0.141 = 0. Fazendo o gr´ afico vemos que as curvas se interceptam apenas uma vez. Assim, ¯t ≃ − 0.7646. 3.38) x ¯ ≃ − 0.6691. As demais ra´ızes de P 2 (x) s˜ao: ambas com ǫ < 10−3 .

x ¯ ≃ 2.5240 e x ¯ ≃ 4.1451,

3.39) Basta considerar f (x) = sen x = 0. Assim, x ¯ ≃ 3.1425. Observe que a fun¸c˜ao f (x) = cos x + 1 = 0 tamb´em poderia fornecer o valor de π. Entretanto, neste caso o processo de Newton n˜ao converge pois f ′ (x) = − sen x que tende a zero quando x → π . 3.40) b) Tomando x0 = 1 ⇒ x ¯ ≃ 1.2093 . 3.41) x ¯ ≃ 4.4934. 3.42) a) Reescrevendo o sistema dado na forma:  x3 + 1   x=   y3  3    y= y 3x2

observamos que o processo n˜ao converge. A n˜ao convergˆencia se deve ao fato das desigualdades: |Fx | + |Fy | ≃ 1.5895 < 6 1, |Gx | + |Gy | ≃ 6.1185 6< 1 , n˜ao serem satisfeitas para o ponto (0.51, 0.85) que pertence `a uma vizinhan¸ca V de (¯ x, y¯). b) (¯ x, y¯) ≃ (0.49996, 0.86603). 3.43) Para mostrar que existem exatamente quatro solu¸co˜es, observe que ambas as equa¸co˜es do sistema dado s˜ao equa¸c˜oes de elipses. Assim, fa¸ca o gr´afico. As quatro solu¸c˜oes s˜ao: (¯ x, y¯) ≃ (1.0009, 0.9896); (¯ x, y¯) ≃ (0.8651, − 0.9960); (¯ x, y¯) ≃ (− 4.0127, 0.7435) e (¯ x, y¯) ≃ (− 3.9094, − 0.7859). 3.44) (¯ x, y¯) ≃ (1.9365, 0.5). 3.45) Aplicando o processo descrito, obtemos o seguinte sistema linear: ½ 2 x − y 2 − 2x + 3 = 0 2xy − 2y = 0 cuja solu¸c˜ao ´e: (¯ x, y¯) = (1.0141, 1.4134) com ǫ < 10−2 . Logo, as ra´ızes de P (z ) s˜ao: 1.0141 ± 1.4134i. 3.46) P (x) = (x2 − 4x + 5)(x2 − 1) cujas ra´ızes s˜ao: 1, − 1, 2 + i, 2 − i. 3.47) P (t) = (t2 − 4)(2t2 + 8) cujas ra´ızes s˜ao: 2, − 2, 2i, − 2i. √ √ 3.48) As ra´ızes de P (x) s˜ao: 1, 2 i, − 2 i.

Cap´ıtulo 4



2  4  4.1) A =  6 0

−1 −1 −3 −2

  1 3 5  10 8  , L =  2  3 12 11  0 − 5 10

0 1 0 −2

4.2) a) x = (− 4, 3, 2)t . b) det(A) = 5(

0 0 1 1

  0 2  0  , U =  0  0 0  0 1

−1 1 0 0

 3 5 4 −2   . 3 −4  0 10

22 253 )( ) = 253. 22 5

4.4)       ℓij

     uij

= aij − Ã

=

j−1 X

ℓik ukj ,

k=1 i−1 X

aij −

k=1

ℓik ukj

i ≤ j, !

/ ℓii , i > j.

4.5) x = (1, 1, 1)t . 4.9) a) x = (1, 2, − 1)t . 7 b) det(A) = (2)( )(− 3) = − 21. Observe que se calcularmos na matriz dada, 2 obtemos: det(A) = 21. A troca de sinal ocorreu pois para resolver por Elimina¸ca˜o de Gauss trocamos duas linhas de posi¸c˜ao e neste caso: det(A) = − det(B) (propriedade de determinante). 4.10) Aplicando o m´etodo de Elimina¸ca˜o de Gauss, obtemos: 0 x3 = − 7 e assim o sistema linear n˜ao tem solu¸c˜ao. 4.11)

Aplicando o m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss ao sistema dado, obtemos: (1 − α2 ) x3 = 2 − 2α. Assim: a) quando α = 0 ⇒ x3 = 2 e portanto a solu¸ca˜o ´e u ´nica, b) quando α = 1 ⇒ 0 x3 = 0 e portanto existem infinitas solu¸c˜oes,

c) quando α = − 1 ⇒ 0  3 2 1 −1 |  6 1 0 3 |  4.12) a)  3 −3 −5 7 | 9 0 −2 −1 | b) x3 = x4 = 1.

x3 = 4 e portanto o sistema n˜ao admite solu¸ca˜o.   3 2 1 −1 | 5 5  −2 5 | 0 10   ∼ 2 1  1 5/3 − 8/3 − 1/3 | −3 2  3 2 3/8 − 63/8 | − 63/8 6

4.13) Para o sistema (I): x = (1, 1, 1)t e para o sistema (II): x = (1, 2, − 1)t . 4.14) x = (− 1, − 1, − 1)t , y =

1 (70, 42, 4)t e z = (0, 2, 2)t . 55



  . 

1  2  4.15) A =  3 0

  2 3 0 1  8 10 − 8   , G =  2  3 10 14 − 5  0 − 8 − 5 29

4.17) Aplicando-se  3 0  0 2 1 0

a t´ecnica   1 0   1



4.16) det(B) < 0. Para Ax = b, x = (1, 1, 2)t .

2 2 1 −4 3

° 2



  . 

descrita no exerc´ıcio, obtemos:    x1 4 x2  =  2  ⇒ x = (1, 1, 1)t . x3 2

4.18) Para resolver o problema utilize um programa de computador, em qualquer linguagem, com precis˜ ao dupla, para obter: a) x1 = 0.99995780, x2 = 0.98997176, x3 = 1.25858438, x4 = − 0.85509437, x5 = 6.27343702, x6 = − 4.55956507, x7 = 0.69713902, x8 = 3.62047052, x9 = − 0.69895703, x10 = 10.33367443, x11 = − 12.57125568 e x12 = 6.51285839. b) x1 = 1.00000001, x2 = 0.99999831, x3 = 1.00005376, x4 = 0.99926099, x5 = 1.00544809, x6 = 0.97597823, x7 = 1.06707059, x8 = 0.87845898, x9 = 1.14255225, x10 = 0.89560306, x11 = 1.04338830 e x12 = 0.99218741. Observe que se o sistema anterior for de ordem 17, usando os mesmos m´etodos do exerc´ıcio 4.18, obtemos: a) x1 = 1.00254011, x2 = 0.88968432, x3 = 2.11744547, x4 = − 3.13239670, x5 = 6.15067577, x6 = 3.23791933, x7 = − 5.87475491, x8 = − 1.93051946, x9 = 9.19924164, x10 = − 0.34137794, x11 = − 2.15992117, x12 = 5.38079834, x13 = − 2.22254539, x14 = 4.54888916, x15 = − 1.96166575, x16 = − 1.72872913 e x17 = 3.82594728. b) x1 = 0.99999989, x2 = 1.00001530, x3 = 0.99945210, x4 = 1.00839289, x5 = 0.93287758, x6 = 1.30018679, x7 = 0.29468658, x8 = 1.37441894, x9 = 3.58161473, x10 = − 6.81390162, x11 = − 10.54950901, x12 = − 1.52609124, x13 = − 7.19003006, x14 = 13.15834910, x15 = − 6.93618076, x16 = 3.62033728 e x17 = 0.64636351. 4.19) Trabalhando com arredondamento para dois d´ıgitos significativos, obtemos: a) x ¯ = (2.1, 2.7, − 3.8)t . b) x = (2, 3, − 4)t . 4.20) Trabalhando com arredondamento para trˆes d´ıgitos significativos, obtemos: a) x ¯ ≃ (1.53, − 0.665, − 0.763)t . b) x ¯ = (1.52, − 0.667, − 0.761)t . 4.22) Usando norma linha, obtemos: cond(A) = 3.9601 × 104 e assim o sistema linear ´e muito mal condicionado.

4.23) Usando norma linha, obtemos: cond(A) = 1.9413229879045816 × 1018 e assim o sistema linear ´e extremamente mal condicionado.   1 −1 1 1 4.24) A−1 =  0 2 − 2 . 2 −1 1 1   36 − 6 12 1  −6 7 − 5 . 4.25) A−1 = 54 12 − 5 19   208 94 − 70 1  4.26) A−1 = 26 − 2 − 40 . 130 − 65 − 30 50   2 −2 2 1  4.27) A−1 = 5 10 − 5 . 10 −1 6 −1     3 2 1 1 °   2/3 1/3  = LU. 4.28) B =  2/3 1 1 3/2 1 ° 1/2     2 1 3 1 °   1 2  = LU. C=  2 1 ° 0 3 4 1 4.30) a) Sim, para α 6= ±1, desde que det(A1 ) = 1 6= 0 e det(A2 ) = 1 − α2 6= 0. b) N˜ao, pois a matriz dos coeficientes n˜ao ´e sim´etrica. c) x = (1, 0, − 1)t .   2 x1 + x2 − x3 = 3 4.31) x1 + 10 x2 + 2 x3 = 6 ⇒ x = (0, 1, − 2)t .  − x1 + 2 x2 + 4 x3 = − 6 4.32) − 2 < α = β < 4.

4.33) I) Cholesky, pois a matriz ´e sim´etrica positiva definida. A solu¸c˜ao de (I) ´e: x = (− 2, 3, 0)t . II) Gauss-Compacto, pois a matriz n˜ao ´e sim´etrica. A solu¸c˜ao de (II) ´e: x = (0, − 8, 22)t . 4.34) (x, y)t = (1 + i, 2 − i)t . 4.35) (xr , xi , yr , yi )t = (1, 1, 2, − 1)t . 4.36) Observe que LU = A = GGt . 4.37) x = (− 3, 5, 7)t e y = (− 7, 5, 9)t 4.38) u ≃ (0, 0.2006, 0.1975, 0.2190, 0.1738, 1)t .



1 2 −1 1 4.39) a) A =  2 13 −1 1 4  17 − 3 1 b) A−1 =  − 3 1 6 5 −1  7 − 11 4.40) a) A−1 =  − 11 18 1 −2



 = GGt

onde

 5 − 1 . 3  1 −2 . 1/2

 1 0 0 G =  2 3 √0  . −1 1 2 

b) Fazendo x = A−1 b, obtemos: x = (− 3, 1, 5/2)t .

c) x = (− 3, 1, 5/2)t . 4.41) A) com (I), B) com (III), C) com (II ). 4.42) Aplicando o m´etodo de Elimina¸ca˜o de Gauss, vemos que matriz dos coeficientes continua esparsa. De fato:        

2

−1 3/2

−1 4/3

°

| 2 ° | 0 −1 | 7 5/4 − 1 | 41/4 6/5 − 1 | 61/5 7/6 | 161/14

       

A solu¸ca˜o do sistema linear ´e: x ≃ (8.7143, 15.4286, 23.1429, 23.8571, 19.5714, 11.2857)t . 4.43) a) x ¯ ≃ (0.98, 0.024, 2.1)t . b) x = (1.0, 0.0, 2.0)t , ´e a solu¸ca˜o exata do sistema linear dado. 4.45) a) Se ǫ...