Características das figuras geométricas planas e espaciais PDF

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Material suporte pra aula...

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Plano de Aula - ENEM Geometria Características das figuras geométricas planas e espaciais Habilidades do ENEM:

H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais. H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma. H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano Pré-requisitos conceituais: Existem alguns seguimentos especiais que podem auxiliar a realização de cálculos com os polígonos, são eles: o o o

Altura: É um seguimento de reta que parte de um vértice e corta o lado oposto formando com ele um ângulo reto. Mediatriz: É o segmento de reta que parte de um vértice e segmenta o lado oposto em seu ponto médio. Bissetriz: É um seguimento de reta que parte de um vértice, dividindo o seu ângulo adjacente ao meio, até o lado oposto.

Figuras Geométricas Planas Polígonos: Toda região que pode ser delimitada – uma região fechada – em um plano por três ou mais seguimentos de retas, ou seja, que possuem uma bordinha construída pela união de vários pedacinhos de retas.

 Região está contida no plano da Folha  Região é Fechada  A borda é formada por seguimentos de retas

Os principais elementos de um polígono são:   

Vértices: são as quinas da figura, os pontos onde ocorrem a uniões entre seguimentos de reta consecutivos. (A, B, C, D, E) Lados: Seguimentos de retas que delimitam o polígono Ângulos internos: Abertura interna existente entre dois seguimentos de retas consecutivos (î1).

 

Ângulos externos: Ângulos complementares a seus respectivos ângulos internos. (ê1) Diagonais: Seguimentos de reta que unem vértices não consecutivos A congruência entre determinados elementos do triângulo indica que ambas as entidades possuem a mesma dimensão e forma, ou seja, são elementos que possuem o mesmo valor. Se todos os ângulos de um polígono são congruentes, então a magnitude de suas aberturas (o valor do ângulo) é o mesmo e por isso esse polígono é dito equiângulo (ângulos iguais). Caso todos os lados de um polígono sejam congruentes, então a magnitude de suas extensões é equivalente (os lados possuem o mesmo tamanho) e esse polígono é dito equilátero (lados iguais). Nos casos onde o polígono satisfaz as condições de congruência entre todos seus ângulos e seus lados, dizemos que este polígono é regular.

“Polígono Regular = Todos os Lados Iguais + Todos os Ângulos Iguais” Exercício: 1- Para reforçarmos os conceitos apresentados anteriormente, utilize uma régua para desenhar polígonos com: a) b) c) d)

Três lados Quatro lados Cinco lados Seis lados

2- Represente por meio de um desenho polígonos que possuam: a) b) c) d) e) f)

Três lados e cujo dois de seus lados sejam congruentes Três lados e que nenhum de seus lados sejam congruentes Três lados e que todos os sejam congruentes Quatro lados e cujo dois de seus lados sejam congruentes Quatro lados e cujo dois de seus ângulos sejam congruentes Indique quais das figuras desenhadas nos itens anteriores são regulares.

3- Com o auxílio de uma régua e um transferidor, desenhe e nomeie figuras geométricas que satisfaçam as seguintes condições: a) Polígono regular de três lados. b) Polígono regular de quatro lados. c) Polígono com quatro lados que seja equilátero, mas não seja equiângulo. d) Polígono com quatro lados que seja equiângulo, mas não seja equilátero.

4- É possível desenhar um polígono que possua seus três lados congruentes, mas não seja equiângulo? 5- É possível desenhar um polígono de quatro lados dos quais apenas três são congruentes? Se sim, pesquise qual é o nome desta figura? 6- Um polígono de três lados possui diagonais? Se não, por quê? Dica: Não espere que os conceitos surjam como imediatos na resolução dos exercícios, a aprendizagem é um processo de que nem sempre é linear, ou seja, caso seja necessário retorne as definições. A aprendizagem não é um ato imediato, mas um processo e o conhecimento nunca possui um fim em si mesmo, o que sempre nos leva ao aprendizado de outras coisas. Principais polígonos e suas propriedades: 

Triângulo: Polígonos com três lados que se classificam em função de seus lados e ângulos.

Classificação segundo a congruência: o o o

Nenhum lado/ângulo congruente: Escaleno Dois lados/ângulos congruentes: Isósceles Três lados/ângulos congruentes: Equilátero

Observação: todo triângulo possui o mesmo numero de lados e ângulos congruentes. Exemplo: Todo triângulo isósceles possui também dois ângulos congruentes. Classificação segundo os ângulos: o o o

Retângulo – Possui um ângulo que vale exatamente 90º Acutângulo – Possui todos os ângulos menores do que 90º Obtusângulo – Possui um ângulo maior do que 90º

Por ser um polígono, ou seja, uma região geométrica fechada delimitada por seguimentos de retas, os triângulos possuem o perímetro correspondente a soma dos comprimentos de seus lados.

P=L1 + L2+ L3 Pelo fato de delimitar uma região do plano, os lados do triangulo permitem definir uma superfície que possui uma área dada por:

A=

Bxh 2

IMPORTANTE: Por meio desta relação encontrar-se-á a área de qualquer triângulo independente de sua classificação, forma ou

posição.



Quadriláteros São polígonos formados por quatro classificações segundo a sua forma, lados

lados

e

que

possuem

Demais figuras planas: Algumas figuras geométricas podem ser construídas sem a utilização de segmentos de retas, ou seja, utilizando linhas que façam curvaturas no plano como, por exemplo, as circunferências, os círculos e as elipses. Circunferência: Figura formada por um conjunto de pontos que estão localizados a uma mesma distância de um ponto fixo no plano, que é o centro geométrico do qual a circunferência é construída.



Todo ponto da borda está localizado à mesma distância do centro.

Os principais elementos das circunferências são:   



Centro: Ponto fixo que se localiza a uma mesma distância de qualquer ponto que compõe a circunferência. Raio (r): Distância entre o centro e qualquer ponto da borda da figura. Diâmetro (d): Distância dada pelo tamanho do segmento de reta que passa pelo centro de uma circunferência e conecta dois pontos de sua borda. Comprimento da circunferência (C): É o comprimento da borda, ou seja, a magnitude de sua extensão.

A construção das circunferências pode demonstrar que existe uma relação de proporcionalidade entre o raio e o comprimento de sua borda e que essa proporção fixa é linear. Quanto maior for a distância entre o centro e qualquer ponto da borda tão quanto será a maior comprimento da mesma. A razão entre esses dois elementos por consequência desta relação de proporcionalidade é fixa tal que:

C =2 π → C=2 π r r

A letra grega π representa um número irracional, ou seja, que contém infinitas casas decimais das quais não se pode extrair um período, ou tão pouco representa-lo na forma de fração.

π ≈ 3,141592 … .

O diâmetro, se dividido em dois seguimentos iguais, pode ser relacionado com o raio, observando que a metade o diâmetro corresponde a um seguimento que atende à definição raio. Assim

D=2 r

Exercícios: 1- Construa uma circunferência e indique represente graficamente: a) O centro b) O raio c) O diâmetro. 2- Se o raio de uma circunferência é reduzido à metade, o que o comprimento de sua borda? 3- Quaisquer dois pontos da circunferência (borda) são capazes definir um seguimento cujo comprimento equivale ao seu diâmetro? 4 – Como você utilizaria os elementos raio e centro para desenhar uma circunferência? E quais materiais você usaria? 5- Como você faria para determinar o comprimento da circunferência de forma prática – sem a realização de cálculos – utilizando uma régua? Quais materiais você usaria? Círculo: O círculo é a figura geométrica que compreende, além da circunferência, sua região interna. A circunferência é análoga a borda uma pizza, e o circulo é a pizza por completa. Sendo assim, todos os elementos principais de circunferência são comuns ao círculo. A única novidade no estudo do círculo é que por definir uma superfície, seu dimensionamento é dado em função de sua área, e não de um comprimento como a circunferência. A área (A) do círculo é dada por:

A=π r

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