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TEMARIO PARA PREPARAR ASIGNATURA DE DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA DE 3º DEL GRADO DE MAGISTERIO DE PRIMARIA...

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Apuntes sobre Figuras Plana s

Didácticaa de la Geometría

APUNTES SOBRE FIGURAS PLANAS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Introducción Estudio de los triángulos Estudio de los cuadriláteros Polígonos Regularidades numéricas en polígonos La circunferencia y el círculo Materiales: el Geopla ano y el Tangram. Geogebra

1. Introducción a como cualquier región del plano delimitada ppor una (o varias) Definiremos una figura plana línea(s) cerrada(s). Así, son ej emplos de figuras planas las siguientes:

Las figuras planas más conociidas, y a las cuales se dedicará más atención en este e curso, son las siguientes:  Polígonos: Región del plano limitada por una línea poligonal cerrada ssimple.

 Círculo: Región del plano limitada por una circunferencia.

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Didáctica de la Geometría Empezaremos nuestro estudiio hablando de los polígonos. De la propia definnición de polígono se deduce la existencia de una serie de elementos comunes a todos ellos: lados, vértices y ángulos, que nos van a perm mitir describirlos. Como veremos, algunos políg onos poseen más elementos que pueden dar lugar a descripciones y clasificaciones más ricaas y precisas. Una primera clasificación de los polígonos es la que atiende al número de lados qque poseen; según esta primera clasificación, los polígonos se pueden agrupar en triánngulos (3 lados), cuadriláteros (4 lados), pentáágonos (5 lados), hexágonos (6 lados), y así sucesivamente. Por su especial interés, y por la impo ortancia que adquieren en el desarrollo del currícculo de Educación Primaria, nos pararemos de un modo especial en los triángulos y cuadrilátero s. 2. ESTUDIO DE LOS TRIÁNGULOS 2.1 Construcción de triángulo os. Criterios de congruencia. Vamos a empezar nuestro es tudio de triángulos proponiendo una actividad m manipulativa: coge varios palillos (o cerillas) de igual longitud y construye con ellos un triánguulo que tenga por dimensiones un lado de 4 ppalillos, un lado de 3 palillos y un lado de 2 pa alillos (no puedes solapar palillos ni puedes dejaar ningún hueco entre ellos). Ahora pídele a un compañero qu e intente hacer lo mismo. ¿Es muy diferente eel triángulo que construyó él del que construistee tú? ¿O es igual que el tuyo salvo un cambio de pposición? Diremos que estos dos triángulos son conggruentes.

Ahora vamos a intentar consttruir otro triángulo: un lado debe de tener 6 palil los, otro 3 palillos y el más pequeño 2 palillos. Es posible que lo intentes durante un buen tiem mpo sin conseguir nada. Esto es porque, en realidad, un triángulo de tales característicaas no puede ser construido. Esto nos lleva al criterio para que tres segmentos formen un triánngulo. Criterio para que tres segmentos formen un triángulo: Para que tres seg gmentos formen un triángulo, la longitud de e cada uno tiene que ser menor que la suma de la as longitudes de los otros dos. Esto puede re esumirse diciendo que la longitud del mayor tienee que ser menor que la suma de las longitud des de los otros dos.

Esta caracterización tiene unaa explicación bastante simple: basta pensar en qque el camino más corto entre dos vértices del trriángulo tiene que ser el segmento (lado) que loss une. Actividades como esta de construcción de triángulos con palillos o cerillas son habittuales en los libros de Primaria empleando incluso elementoos propios del aula como ceras o lápices que colores:

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¿Puedes construir un triángulo c on los tres lápices de la figgura? ¿Por qué?

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Volvamos ahora al triángulo qque tenía dimensiones (4, 3, 2). Todas las forma s que tenemos de construir un triángulo de esass características nos conducen a un triángulo exaactamente “igual” (de la misma forma o tamañño), en el cual lo único que puede cambiar es ssu posición. Tales triángulos, en Geometría, reciben el nombre de congruentes. En realidad, el término congruente se aplica a cualquier par de figuras geométricas que compartan foorma y tam año. El ejemplo del triángulo (4, 3, 2)) nos lleva al primer criterio de congruencia de triángulos: Si dos triángulos tienen tr res lados de la misma longitud, entonces sonn congruentes. Criterio Lado – Lado – Lado o LLL.

Ahora, a nuestro triángulo (4 4, 3, 2) le vamos a quitar el lado de 2 palillos ((podríamos haber quitado otro cualquiera). Si n no movemos los otros dos lados (esto es, sin variar el ángulo que forman entre sí los otros dos lados), ¿de cuántos modos podemos completar la figura para que vuelva a ser un triángulo? (n no hace falta que lo intentes con palillos, pueddes intentarlo con otros objetos o trazando una línea). Seguramente ya te diste cuenta de que solo hay un modo de hacerlo, en el sentido de que todos los triángulos que completes serán congruentes c entre sí. Esto nos conduce al segu undo criterio de congruencia de triángulos.

Si dos triángulos tienen ddos lados iguales y el ángulo que forman entre ellos es igual, entonces son congruentes.. Criterio Lado – Ángulo – Lado o LAL.

El criterio anterior nos lleva a una reflexión importante: con dos lados del triáángulo de longitud fija, el ángulo que formen en ntre ellos determinará la longitud del otro: a unn ángulo mayor le corresponde un lado mayor y a un ángulo menor le corresponde un lado mennor. Otros criterios de congruencia válidos son el criterio Ángulo – Lado – Ángulo (ALA) y el criterio Lado – Lado – Ángulo (LLA) (¿Cuál es la diferencia entre los criterios LAL y LLA ?). 2.2 Clasificación de triángulo os Los triángulos son los polígonos que poseen menos elementos y característica as susceptibles de ser empleadas para hacer una clasificación. En esencia, disponemos de loos lados y de los ángulos para agrupar a loss triángulos en familias (subconjuntos). Podrríamos hablar de convexidad y/o concavidad, pero esto daría lugar a una clasificación triviaal, pues todos los triángulos son convexos. Recoordamos que una figura geométrica es convexa ccuando dados dos 3

Didáctica de la Geometría puntos arbitrarios de la figurra, el segmento que los une queda totalmente contenido c en ella. En el caso de un polígono, eesta propiedad equivale a que todos sus ánguloos interiores sean convexos, es decir, de amplituud inferior al ángulo llano (180º). En el triángulo todos los ángulos interiores tienen una amplit ud inferior a 180º, en virtud de la propiedad dde la suma de los ángulos de un triángulo: La suma de e los ángulos de un triángulo es 180 º (ángulo llan no).

Esta propiedad es fácilmente comprobable manipulativamente y es una activiidad interesante para proponer en el aula de primaria. p Basta con construir un triángulo arbitra rio, colorear sus ángulos, recortarlos y pegarloos de forma adecuada sobre una línea recta:

Cabe destacar que este proccedimiento no constituye una prueba rigurosa de la propiedad, pues lo que hacemos es com mprobarla para triángulos particulares que vammos construyendo. Una prueba más rigurosa consiste en trazar un a paralela a la base del triánguulo y prolongar los lados del triángulo, de modo que los ángulos de éste “reaparecen” ordenadoss sobre la paralela trazada. Será crucial tener presente essta propiedad a la hora de clasificar los triánguloos en función de la amplitud de sus ángulos.

La clasificación tradicional de e los triángulos en función de la longitud de suus lados establece una distinción en tres clases:  Triángulos equilátero os: son aquellos que tienen los tres lados congrueentes, es decir, de igual longitud. Del se gundo criterio de congruencia de triángulos se deduce d que en un

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triángulo equilátero, todos los ángulos deben de tener la misma am plitud y, teniendo en cuenta la propieda ad anterior, cada uno de ellos debe tener una am mplitud de 60º.  Triángulos isósceles: son aquellos que tienen dos lados iguales. O Obsérvese que el hecho de incluir o noo el matiz “y el otro desigual” nos da lugar a dos d clasificaciones diferentes: una clasifficación exclusiva en la cual los equiláteros no so on isósceles y una clasificación inclusivaa en la cual los equiláteros son casos particulares de isósceles.  Triángulos escalenos : son aquellos que no tienen ningún par de ladoos congruentes, o dicho de otro modo, sus tres lados tienen longitudes diferentes. Por su parte, la clasificación tradicional de los triángulos en función de laa amplitud de sus ángulos también distingue tre es clases:  Triángulos rectángulos: son aquellos que tienen un ángulo recto . En tal caso, los ángulos que formann el ángulo recto se denominan catetos, mien ntras que el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa. Un error habituall que cometen los más pequeños es no reconocer un triángulo rectángulo cuando no see le presenta en la “posición habitual” ( con los catetos del ángulo recto paralelos al bo rde de la página). Otra actividad intereesante consiste en pedir que razonen si un triánngulo puede tener más de un ángulo recto (para responder a esto debemos de invoccar de nuevo a la propiedad de la sum a de los ángulos de un triángulo).  Triángulos acutángulos: son aquellos que tienen los tres ángulos agu dos.  Triángulos obtusángulos: son aquellos que tienen un ángulo obtuso ((¿podría existir un triángulo con más de un ángulo obtuso?). Una vez presentada esta cla asificación, una actividad interesante es propo ner una tabla de doble entrada como la qu ue sigue para estudiar las posibles relacionnes entre ambas clasificaciones. ¿Se pueden lle enar todos los huecos de la tabla?

Equilátero

Isósceles

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Aquí tenemos una propuuesta de solución:

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Escaleno

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A la hora de estudiar los áángulos de un triángulo, los pequeños acostumbran relacionar erróneamente la amplitud de un ángulo con la longitud de los segmentos quee lo forman, por lo que llegados a este punto, quizás sea necesario recordar algunas ideas sobre ángulos y experimentar recortando y m manipulando ángulos

Lo que siempre es recomendable es dejar que los niños experimenten y justiffiquen sus p ropias clasificaciones, aunque ésta será una actividad mucho más rica cuandoo se trabaje con polígonos de un mayor nú mero de lados (y que por lo tanto tendrán n más elementos susceptibles de dar lugar a cla asificaciones diferentes). Lo que debe de tenersee en cuenta es que en cualquier clasificación que hagamos, un triángulo debe perteneccer a una clase independientemente de la poosición en la que lo consideremos. Esto es, no podemos considerar una clase de triángulos que sea, s por ejemplo, “triángulos que tienen la base paralela al borde del papel”, pues un mismo triángulo podría dejar de estar en la familia con taal de cambiarlo de posición.

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2.3 Teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras es e l resultado más importante de la trigonometría.. La trigonometría tuvo siempre una gran impo ortancia histórica debida a su inmensa aplicabil idad a la hora de medir magnitudes inaccesibles (alturas de objetos, distancias estelarees,…). Se tienen referencias de que este resuultado (el Teorema de Pitágoras) era conocido por civilizaciones antiguas (babilónicos, egipcio os,…), aunque se considera que fue la escuela ppitagórica quien lo estableció de un modo máss “formal”. El Teorem a de Pitágoras relacionaa los lados de un triángulo rectángulo del siguiente modo: En un triángulo rectánguloo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las lon ngitudes de los catetos.

La interpretación geométricaa de esta propiedad es la siguiente: si construi mos un cuadrado sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, entonces la superfficie del cuadrado construido sobre la hipoten usa coincide con la suma de las superficies de los cuadrados construidos sobre los catetos.

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Didáctica de la Geometría Una actividad interesante paara trabajar esta interpretación geométrica (y qque constituye un primer esbozo de demostra ción del teorema) consiste en realizar la consstrucción anterior sobre papel milimetrado y evaluar la superficie de cada cuadrado meddiante el método unidimensional (contar cuadrraditos).

Otra propuesta de actividad para realizar la demostrac ión del Teorema de Pitágoras P consiste en dibujar en un cuadrado las construcciones que se indican en la figura de la izquierda y después recortar todas las pie ezas y redistribuirlas tal y como se muestra en la derecha:

El área blanca de la izquierda (cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo recctángulo) coincide con la suma de las áreas blancas de la derecha (cuadrados construidos cobre los catetos b y c). Esta demostración es más forrmal que la comprobación anterior sobre papel m milimetrado, pues es independiente del triángulo construido (es más genérica), mientras que een la anterior para cada triángulo particular que construimos debemos volver a evaluar cada unaa de esas áreas. El Tangram chino nos permite hacer otra demostración – comprobación del tteorema: consiste en marcar en un papel el co ontorno de un triángulo mayor (qu e es rectánggulo isósceles) y a continuación dibujar un cuaadrado sobre cada uno de los lados de ese triángulo. Ahora debemos de llenar el cuadraddo sobre la hipotenusa con las 7 piezas del Tangr am (sin que sobre ningún cacho de pieza ni quede ningún espacio sin cubrir). Después de esto, se trata de 8

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repartir las piezas adecuadamente para cubrir a la vez los cuadrados consstruidos sobre los catetos.

T de Pitágoras caracteriza a los triánguloos rectángulos: un Es necesario señalar que el Teorema triángulo rectángulo satisface la igualdad pitagórica, pero también al revéés: si un triángulo cumple la igualdad pitagórica entonces es rectángulo. Si tenemos un triángul o de dimensiones arbitrarias a, b, c, ¿podremoos decir algo sobre sus lados aunque no cump la el Teorema de Pitágoras? La respuesta es que si: Si un triángulo tiene lados de longitud a, b, c (siendo a el lado mayor), eentonces:  Si a2 = b2 + c2 el triángulo es rectángulo; 2 2 2  Si a < b + c el triángulo es acutángulo; 2 2 2  Si a > b + c el triángulo es obtusángulo.

De este modo podemos clasificar un triángulo según sus ángulos a partir de la longitud de sus lados. Ejemplo: Clasifica según sus áángulos el triángulo de lados 4, 5, 6 y el triángulo 6, 8, 10. En el primer caso, 62 < 42 + 52 , por lo que se trata de un triángulo acutángulo. 2

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En el segundo caso, 10 = 6 + 8 , por lo que se trata de un triángulo rectángullo. Otra actividad interesante para trabajar con palitos (del mismo tamaño) consiste en proponer la construcción de todos l os triángulos posibles con un número fijadoo de palitos y a continuación clasificarlos según sus lados y sus ángulos.

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Didáctica de la Geometría Ejemplo: Construye todos loss triángulos que puedas usando 12 palillos y classifícalos según sus lados y sus ángulos. La solución de este ejercicio implica hacer uso de la combinatoria, esto es, hhacer recuento de todos los casos posibles. Debemos de tener en cuenta el criterio para que tre s lados formen un triángulo, el cual ya nos peermite descartar muchas posibilidades, quedanndo como únicas opciones para formar un triángulo las siguientes: triángulo (5, 5, 2), triáángulo (5, 4, 3) y triángulo (4, 4, 4). Cualquier otra combinación, como por ejemplo (8, 2, 2) no forma un triángulo puesto la longitud del lado mayor no es menor que la suma dde los otros dos. Procedemos ahora a su clasificación:  Triángulo (5, 5, 2): triángulo isósceles acutángulo (pues tiene dos laddos congruentes y 52...