Características de las funciones lineales PDF

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taller de funciones lineales ...

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Función lineal Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma:

La m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación con respecto al eje X (eje de abscisas). Si m es positiva (m > 0), entonces la función es creciente. En cambio, si la m es negativa (m < 0), entonces la función es decreciente. La pendiente m significa que si aumentamos la x en una unidad, la y aumenta en m unidades. Si la m es positiva, según aumente la x la y también irá aumentando (función creciente). En cambio, si m es negativa, cuando aumenta la x la y disminuirá (función decreciente).

Función cuadrática Una función

cuadrática (o

función

de

segundo

grado)

es

una función

polinómica de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x2). Su forma estándar es:

Son a, b y c escalares, valores constantes o denominados, que también se denominan los coeficientes de la función. Su representación gráfica es una parábola vertical.

Existen dos elementos fundamentales en la parábola que definen como es esta: El eje de simetría, que es una recta vertical que parte la parábola en dos ramas iguales. 2. El vértice: es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría.

1.

Si el escalar a > 0, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es el mínimo de la función. En cambio, si a < 0, la parábola se abre hacia abajo y el vértice es el máximo de la función. Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, |a|, más juntas estarán las ramas de la parábola.

Una función cuadrática puede tener dos raíces reales, una o ninguna raíz real (en este caso serán dos raíces imaginarias). Las raíces de una función son los elementos del dominio tal que su imagen es nula (f(x) = 0). Dicho de otra manera, las raíces son los puntos donde la gráfica de la función corta el eje x. Una ecuación cuadrática o de segundo orden es cuando la función cuadrática se iguala a cero: f(x) = y = 0. Tiene la forma:

La fórmula para el cálculo de las raíces de una ecuación cuadrática es:

Al contenido comprendido dentro del radical de esta fórmula se le llama determinante y se representa así:

Se puede también expresar la ecuación cuadrática, en función de sus raíces y del escalar a, de esta manera, por factorización:

Función cubica Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio tal como:

El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales. Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio. Tipos de funciones polinómicas

Las funciones polinómicas pueden clasificarse en diferentes tipos según el grado del polinomio: Funciones constantes: son funciones polinómicas de grado 0 (pues 0 es el  coeficiente de x). No dependen de la variable independiente x:

Su representación gráfica es una recta paralela al eje de abscisas. 

Funciones polinómicas de primer grado o de grado 1: son funciones que están compuestas por un escalar que multiplica a la variable independiente más una constante. Su mayor exponente es x elevado a 1.

Su representación gráfica es una recta de pendiente m. La m es la pendiente y la n la ordenada, o punto en donde corta la recta f al eje de ordenadas. Según los valores de m y n existen tres tipos:  Funciones afines: son funciones de primer grado que no pasan por el origen, es decir, la ordenada no es nula (n ≠ 0):





Funciones lineales: son funciones polinómicas de grado 1 tales que la ordenada es nula (n = 0), de manera que:



Funciones identidad: es un caso particular de funciones lineales, tal que a cada elemento x le hace corresponder éste mismo valor en f(x). Es decir, m = 1 y n = 0.

Funciones cuadráticas: son funciones polinómicas de grado 2, es decir, su mayor exponente es x elevado a 2 (x2):



Su representación gráfica es una parábola vertical. Funciones cúbicas: son funciones polinómicas de grado 3. Por lo tanto, su mayor exponente es x elevado a 3 (x3):

La ecuación de la recta del eje de simetría, por el mismo concepto de la simetría, se puede hallar con la media aritmética de los puntos de corte con el eje x, es decir, la media aritmética de sus raíces:

Función racional

Una función racional f(x) es el cociente de dos polinomios. La palabra racional hace referencia a que esta función es una razón.

P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador. El dominio de una función racional son todos los números reales los valores de la variable x que anulan el denominador (Q(x)) = 0), es decir, excepto las raíces del polinomio correspondiente.

La gráfica de estas funciones, si el polinomio del denominador Q(x) es de grado 1, es una hipérbola:

Función logarítmica

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1. Cuando 0 < a < 1, entonces la función logarítmica es una función decreciente y cuando a > 1, entonces es una función creciente.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Y, cuando 0 < a < 1:

Función cubica Las funciones

cúbicas (o

funciones

de

tercer

grado)

son funciones

polinómicas de grado 3, es decir, las que el mayor exponente del polinomio es x elevado a 3 (x3):

La representación gráfica de la función cúbica es:

Función exponencial Una función

exponencial es

aquella

que

la variable

el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

independiente x aparece

en

También se suele denotar la función como exp (x)....