CD Trabajo Colaborativo 2 355 PDF

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Momento 2 - Actividad Colaborativa 2-Análisis de Limites y Continuidad

PRESENTADO POR:

FRANKY STEVEN ANTURI 1147300636

GRUPO:

355

TUTOR Wilson de Jesús Arrubia

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD CURSO: CALCULO DIFERENCIAL SANTIAGO DE CALI ABRIL 2017

Introducción En la siguiente e actividad se dará análisis y desarrollo a una serie de ejercicios de límites matemáticos y continuidad, vistos en calculo diferencial de la unidad 2, a través de un aprendizaje basado en problemas y desarrolla por fases y así poder definir los conceptos de cada uno de ellos para luego aplicar el conocimiento matemático en ejercicios de la vida cotidiana y profesional.

Fase No. 1 ESTUDIANTE 1 1.

limites por principio de sustitución. 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔 𝒙→𝟐 𝟓𝒙 − 𝟏 𝐥𝐢𝐦

𝑥 2 − 3𝑥 + 6 (2)2 − 3(2) + 6 4 − 6 + 6 4 = = = 𝑥→2 9 10 − 1 5(2) − 1 5𝑥 − 1 lim

𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔 𝟒 = 𝟗 𝒙→𝟐 𝟓𝒙 − 𝟏 𝐥𝐢𝐦

2.

límites de forma indeterminada. 𝐥𝐢𝐦 𝒗→𝟑

√𝒗 + 𝟏 − 𝟐 𝒗−𝟑 𝟐

√𝑣 + 1 − 2 √(3) + 1 − 2 0 = = 𝑣→3 0 (3) − 3 𝑣−3 lim

2

2

Aplicamos multiplicación inversa lim 𝑣→3 2

(√𝑣 + 1) − 2 2 2

(𝑣 − 3)( √𝑣 + 1 + 2) 2

=

√𝑣 + 1 − 2 √𝑣 + 1 + 2 = ∗2 𝑣−3 √𝑣 + 1 + 2

(√𝑣 + 1) − 22 2

2

2

2

(𝑣 − 3)(2√𝑣 + 1 + 2)

=

𝑣 +1−4

2 (𝑣 − 3)( √𝑣 + 1 + 2)

=

𝑣−3

(𝑣 − 3)(2√𝑣 + 1 + 2)

=

1

√𝑣 + 1 + 2 2

Replanteamos límite

lim 𝑣→3

1

√𝑣 + 1 + 2 2

𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝟐 +𝟐 𝒗→𝟑 √𝒗 + 𝟏

1 1 1 1 = = 2 =2 = √4 + 2 2 + 2 4 √3 + 1 + 2 𝐥𝐢𝐦

𝟏

√𝒗 + 𝟏 + 𝟐

𝒗→𝟑 𝟐

3. límites al infimito

𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞

=

𝟏 𝟒

𝒙𝟐 𝒙𝟑 + 𝒙

Dividir cada término de la expresión por la variable con el máximo exponente, para luego simplificar 𝑥2 1 1 0 0 𝑥2 ∞ 𝑥3 𝑥 = =0 = lim = 3 = = 1 1 1+0 1 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 3 + 𝑥 𝑥 1+ 2 1+∞ + 𝑥 𝑥3 𝑥3 𝒙𝟐 =𝟎 𝒙→∞ 𝒙𝟑 + 𝒙 𝐥𝐢𝐦

4

límites de funciones trigonométricas

𝐥𝐢𝐦

𝜽→𝟎

Usaremos el siguiente límite especial:

𝐥𝐢𝐦

𝒙⟶𝟎

𝐬𝐞𝐧 𝟐𝜽 𝜽

𝒔𝒆𝒏𝒙 =𝟏 𝒙

lim sen 2𝜃 = 2 ∗ lim 2𝜃 sen 2𝜃 = 2 ∗ 1 = 2 𝜃 2𝜃

𝜃→0

𝜃→0

𝐥𝐢𝐦 𝜽→𝟎

𝐬𝐞𝐧 𝟐𝜽 =𝟐 𝜽

ESTUDIANTE 2 1.

limites por principio de sustitución

lim𝜋 = 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝐱 + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 x→2

lim𝜋 sen 2x + cos2x = sen 2(π) + cos2(π) = 0 + 1 = 1 x→2

= 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝐱 + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐗 = 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝝅 𝐱→𝟐

2.

Límites de forma indeterminada 𝐥𝐢𝐦

𝒕→𝟑 𝒕𝟐

lim 𝑡→3

𝒕𝟐 − 𝟗 − 𝟓𝒕 + 𝟔

0 9−9 𝑡2 − 9 = = 𝑡 2 − 5𝑡 + 6 9 − 15 + 6 0

Aplicamos diferencia de cuadrados en numerador 𝑡 2 − 9 = 𝑡 2 − 32 = (𝑡 + 3)(𝑡 − 3) Factorizamos denominador 𝒕𝟐 − 𝟓𝒕 + 𝟔 = (𝒕 − 𝟑)(𝒕 − 𝟐) Reconstruimos límite y cancelamos términos semejantes

lim (𝑡 + 3)(𝑡 − 3) − 2) 𝑡→3

lim (𝑡 + 3) 𝑡→3 (𝑡 − 2)

Sustituimos x lim 𝑡→3

(3 + 3)

(3 − 2)

=

6 =6 1

𝒕𝟐 − 𝟗 =𝟔 𝒕𝟐 − 𝟓𝒕 + 𝟔

𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟑

𝒙𝟒 + 𝟑𝒙 𝒙→∞ 𝟑𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐

3. límites al infimito

𝐥𝐢𝐦

Dividir cada término de la expresión por la variable con el máximo exponente, para luego simplificar

3 𝑥 4 3𝑥 3 1+ 3 1+ 1+0 1 4 + 𝑥4 𝑥 ∞ 𝑥 = = lim = = = 4 0+0 0 3𝑥 3 4𝑥 2 3 4 3 𝑥→∞ 3𝑥 3 − 4𝑥 2 − 2 ∞−∞ − 4 4 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 4 + 3𝑥

𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞

𝒙𝟒 + 𝟑𝒙

𝟑𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐

3. límites de funciones trigonométricas 𝐥𝐢𝐦 𝜽→𝟎

=

𝟒𝐬𝐞𝐧 𝟗𝜽 𝟑𝜽

𝟏 𝟎

lim 4sen 9𝜃 𝜃→0

3𝜃

9𝜃 ) 27(1) 27 = 9 𝑠𝑒𝑛9𝜃 4 ∗ 9( = = 3 3𝜃 3 = 𝟒𝐬𝐞𝐧 𝟗𝜽 =𝟗 𝟑𝜽

𝐥𝐢𝐦 𝜽→𝟎

ESTUDIANTE 3 1. limites por principio de sustitución

𝐥𝐢𝐦 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱

𝐱→𝛑

limcos 3x = cos 3π = − 1

x→π

𝐥𝐢𝐦 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱 = −𝟏 𝐱→𝛑

2. Límites de forma indeterminada 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟑

√𝟐𝒉 + 𝟑 − 𝒉 𝒉−𝟑 𝟐

2 0 √2ℎ + 3 − ℎ √6 + 3 − 3 = = ℎ→3 (3) − 3 ℎ−3 0

lim

2

Aplicamos multiplicación inversa 2 2ℎ − 6 2ℎ + 3 − 9 √2ℎ + 3 − 3 √2ℎ + 3 + 3 (√2ℎ + 3) − 32 = = ∗2 = 2 2 2 ℎ→3 ℎ−3 √2ℎ + 3 + 3 (ℎ − 3)( √2ℎ + 3 + 3) (ℎ − 3)( √2ℎ + 3 + 3) (ℎ − 3)( √2ℎ + 3 + 3)

lim

2

2

2

=

Replanteamos límite

(ℎ + 3)(ℎ − 3 )

(ℎ − 3)( 2√2ℎ + 3 + 3)

=

ℎ+3

√2ℎ + 3 + 3 2

lim

ℎ→3

+ 33 √2ℎℎ+ 2

+3

3+3 = 2√2(3) + 3 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟑

√𝟐𝒉 + 𝟑 − 𝒉 =𝟏 𝒉−𝟑

𝟐

𝐥𝐢𝐦

3. límites al infimito

6 6 = =1 = 2√9 +3 6 +3

𝟐𝒙 + 𝟑 𝟏

𝒙→∞ 𝟑𝒙 +

Dividir cada término de la expresión por la variable con el máximo exponente, para luego simplificar 1 2𝑥 3 3 2+ 2+ + 2+0 2 2𝑥 + 3 𝑥 𝑥 𝑥 ∞ = = lim = = = 1 1 3+0 3 3𝑥 1 𝑥→∞ 3𝑥 + 1 3+ + 3 + 𝑥 ∞ 𝑥 𝑥 𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞

𝟐𝒙 + 𝟑 𝟐 = 𝟑𝒙 + 𝟏 𝟑

Dividir cada término de la expresión por la variable con el máximo exponente, para luego simplificar

4. límites de funciones trigonométricas

𝐥𝐢𝐦 𝟔 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝟏) 𝒙→𝟏

ESTUDIANTE 4 1.

limites por principio de sustitución. 𝐥𝐢𝐦 √𝟓𝒙 + 𝟕 𝒙→𝟒

𝟑

3 lim √5𝑥 + 7 = √5(4) + 7 = √20 + 7 = √27 = 3

𝑥→4

2.

3

3

𝐥𝐢𝐦 √𝟓𝒙 + 𝟕 = 𝟑 𝒙→𝟒

3

𝟑

límites de forma indeterminada.

Evaluamos

lim

𝑥→2

𝑥 4 − 16 𝑥3 − 8

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 𝒙→𝟐 𝒙𝟑 − 𝟖

𝐥𝐢𝐦 =

24 − 16 16 − 16 0 = = 8−8 23 − 8 0

Obtenemos cero en el numerador y cero en el denominador por ende si es una forma indeterminada Factorizamos: Aplicamos diferencia de cuadrados en el numerador 𝑥 4 − 16 = (𝑥 2 + 4) ∗ (𝑥 2 − 4)

Sacamos factor común pero tenemos en cuenta que la suma de cuadrados no se puede factorizar quedando de la siguiente manera: (𝑥 2 + 4) ∗ (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)

Tenemos diferencia de cubos perfectos en el denominador por lo tanto:

Reconstruimos límite:

𝑥 3 − 8 = (𝑥 − 2) ∗ (𝑥 2 + 2𝑥 + 4)

Cancelamos términos semejantes:

(𝑥 2 + 4) ∗ (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 𝑥→2 (𝑥 − 2) ∗ (𝑥 2 + 2𝑥 + 4)

lim

(𝑥 2 + 4) ∗ (𝑥 + 2) 𝑥→2 (𝑥 2 + 2𝑥 + 4)

lim

Sustituimos x: lim (2 + 4) ∗ (2 + 2) = 8 ∗ 4 = 32 = 8 12 12 3 𝑥→2 (22 + 2(2) + 4) 2

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐

3.

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 𝒙𝟑 − 𝟖

límites al infimito

𝐥𝐢𝐦 √

𝒙→∞

.

=

𝟖 𝟑

𝟏+𝒙 𝒙𝟐

Usando la propiedad del límite de la raíz; 𝒏 𝐥𝐢𝐦 √𝒇(𝒙) = 𝒏√𝐥𝐢𝐦[𝒇(𝒙)] 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝐥𝐢𝐦[𝒇(𝒙)] ≥ 𝟎 𝒔𝒊 𝒏 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

lim √

𝑥→∞

1+𝑥 1+ 𝑥 = = √ lim 𝑥→∞ 𝑥 2 𝑥2

Dividir cada término de la expresión por la variable con el máximo exponente, para luego simplificar

Evaluamos límite.

𝑥 1 1⁄ 2 2+ 2 √ lim 𝑥 2 𝑥 = √ lim 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 𝑥→∞ 𝑥→∞ 1 𝑥2 1⁄ √ ∞2 + ∞ = √0 + 0 = √0 = 0 1 1 1 𝟏+𝒙 𝐥𝐢𝐦 √ 𝟐 = 𝟎 𝒙

𝒙→∞

5

límites de funciones trigonométricas 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒆𝒏𝟒𝒙 𝟑𝒙 𝒙⟶𝟎

Usaremos el siguiente límite especial;: 𝐥𝐢𝐦

𝒙⟶𝟎

Aplicando límite especial

𝒔𝒆𝒏𝒙 =𝟏 𝒙

𝑠𝑒𝑛 4𝑥 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 4𝑥 ( 4𝑥 ) 4 ( 4𝑥 ) 𝑠𝑒𝑛4𝑥 = = lim 𝑥⟶0 3𝑥 3 3𝑥 sen 4x 4 ( 4x ) 4(1) = 3 3 𝐥𝐢𝐦

𝒙⟶𝟎

𝒔𝒆𝒏𝟒𝒙 𝟒 = 𝟑 𝟑𝒙

Fase No. 2 Haciendo uso de la Aplicación Geogebra y siguiendo las indicaciones del video “Fase 2 – Trabajo Colaborativo 2”, cada estudiante deberá escoger un (1) ejercicio y encontrar los valores de (a) que hace que la función a trozos sea continua. Se debe especificar en el foro de la actividad el ejercicio escogido por cada estudiante, este, no se podrá cambiar en el transcurso de la actividad y debe ser desarrollado única y exclusivamente por el estudiante que lo ha escogido. 1.

, 𝑠𝑖 𝑥 > 3 ] −𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

𝑎𝑥 2−4

𝑓(𝑋) = [

𝑥−2

La función no tiene continuidad 2.

3𝑎𝑥 2 −4 , 𝑠𝑖 4𝑥−7

𝑓(𝑋) = [

𝑥>2

4𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 2

]

El valor que hace que la función a trozos sea continua es a=1

3.

4𝑎𝑥 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 > −3 𝑓(𝑋) = [ −3𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < −3 ]

El valor que hace que la función a trozos sea continua es a=-1

4.

𝑎𝑥 2 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 > −2] 𝑓(𝑋) = [ 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < −2

El valor que hace que la función a trozos sea continua es a=-0.5.

5.

𝑎𝑥 2 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > −1 ] 𝑓(𝑋) = [ 3𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < −1

El valor que hace que la función a trozos sea continua es a=-5.

Fase No. 3 (Fase de desarrollo Individual) Cada estudiante deberá analizar y redactar un escrito de no más de (1) párrafo de extensión en donde argumente como aplicaría el uso de los límites en su profesión, recuerde argumentar un contexto posible y real en el que usted en su profesión, pueda aplicar los conceptos de la unidad 2. Haga uso de una buena redacción y ortografía, sea breve y vaya al punto. Por favor, realizar el escrito con sus propias palabras, abstenerse de copiar y pegar información de la Web o de otras fuentes que no sean de su autoría sin realizar un uso correcto de citas bibliográficas según lo que se establece en la normatividad APA.

De acuerdo a mi profesión que realizo día a día como técnico en mantenimiento y como futuro ingeniero electrónico los limites los podría aplicar en el cálculo de voltajes y corrientes mínimos y máximos dentro de un circuito y su comportamiento en el tiempo y así calcular los voltajes permisibles dentro de la empresa, para garantizar el funcionamiento ideal de los equipos.

Conclusión 

El anterior trabajo nos permitió obtener conocimiento acerca de los límites sus propiedades y la importancia que estos tienen dentro de nuestra profesión como futuros ingenieros electrónicos.

BIBLIOGRAFIA



Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 2 – Análisis de Límites y Continuidad.

Pág. 39-85. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado

de: http://hdl.handle.net/10596/4806 

Cabrera, J. (2015). Continuidad en Geogebra. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a



Galván, D., Cienfuegos, D., & Romero, J. (2011). Cálculo Diferencial. Un enfoque constructivista

Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/4808 para el desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción. Unidad II Límites y Continuidad. México, Distrito Federal, México: Cengage Learning Editores S.A. de C.V. Retrieved from. http://hdl.handle.net/10596/6993...