Chap I : Stratégies dominants, dominées et prudentes PDF

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Concurrence imparfaite et stratégies des acteurs

Chapitre 1: Stratégies dominants, dominées et prudentes I. La représentation des jeux • Description d’un jeu: 3 données nécessaires a la mise en forme du jeu (situation d’interaction stratégiques): 1) L’ensemble des joueurs, I={1,..,i,…n} avec n>=2 (sinon on joue tout seul) 2) Xi l’ensemble des stratégies disponibles pour i. On note xi la stratégie retenue par i. Si cet ensemble est fini, dénombrable, on parle de jeu fini, sinon jeu non-fini. On appelle x= (x1, x2,…, xn)=(xi; x-i) une issue du jeu, le résultat final associe aux actions entreprises par les agents 3) Ui(x): gains ou pertes associes a l’issue x pour i, en général définis en termes de paiements ou d’utilité. Ces trois données constituent les règles du jeu. Description d’un jeu: 𝛤 (I,X,U) • Structure informationnelle du jeu: Deux possibilités sur la connaissance de ces règles: 1) Tous les joueurs connaissent l’ensemble des règles du jeu; l’information est complète. Mais un agent ne connait pas forcement, au moment ou il joue que le l’autre joue; l’information est imparfaite. 2) Certains joueurs connaissent des règles du jeu que les autres ne connaissent pas; l’information est incomplète. (il y a au moins un joueur qui ne connait pas toutes les règles du jeu On n’autorise pas les joueurs a former avant le jeu des pactes, aucun accord formel obliger a respecter, on est dans des jeux non coopératifs. Aucune parole ex ante est maintenue. • La rationalité: Hypothèse de base H1: les agents son rationnels, au sens de la théorie économique Neo-classique= rationalité instrumentale > 2 conditions: 1) Ses préférences sont rationnelles, elles sont complètes (on peut toujours exprimer une préférence), transitives (si je préfère A a B et B a C, alors je préfère A a C) et réflexives 2) Le choix est rationnel, l’individu choisit ce qui peser le plus parmi ce qui lui est disponible. On choisi le choix qu’on préfère, celui qui maximise la fonction d’U étant donnée la contrainte (si on préfère B a C alors U(B)>U(C)). Mais les agents savent-ils que les autres sont rationnels? Important, sinon l’agent peut penser jouer contre un agent irrationnel (fou enfant,..) et cela peut impacter sa manière de jouer. H2: les agents savent que les autres agents sont rationnels, les agents savent H1. (A1 est rationnel et A1 sait que A2 est rationnel) Mais les agents savent-ils que les autres savent que chacun est rationnel? Les agents savent que les agents savent que les agents sont rationnels, les agents savent H2. H4…. On continue a l’infini

Concurrence imparfaite et stratégies des acteurs • Le CK (Common Knowledge): On dit qu’une info F est CK si chacun sait F, si chacun sait que chacun sait F, si chacun sait que chacun sait que chacun sait F, et ce jusqu’a l’infini… Si l’itération ne va pas jusqu’a l’infini, F est un savoir commun (shared knowledge). La seule manière de rendre F CK est de l’annoncer publiquement devant tous les joueurs. Dans ce cas les joueurs n’auront plus aucun doute, et pourront se mettre a la place des autres… Exemple entre savoir partagé et savoir commun: les cocus de Bagdad A Bagdad, il y a N>=2 hommes dont n>= 2 cocus Chacun connait l’état des autres mais ignore le sien (l’information n>=2 n’est pas connue) Si un homme apprend dans la journée qu’il est cocu, il se suicide le soir même Un messager arrive, réunit tous les hommes sur la place du marche et annonce: il y a parmi vous au moins un cocu Tout le monde connait déjà cette information, elle est savoir partagé, pourtant le n-ieme soir tous les cocus se suicident L’information est devenue CK, chacun peut se mettre a la place de l’autres pour apprendre sa propre situation Avec N=2, n=2 (A1, A2) Le premier soir, après le départ du messager, chacun voit un cocu et espère qu’il n’est pas cocu luimême. Personne ne se suicide. Le lendemain matin A1 voit que A2 ne s’est pas suicidé, il comprend que A2 a vu un cocu, lui-même, sinon il se serait suicidé. A1 comprend qu’il est cocu, il se suicide le soir du 2eme jour. Idem pour A2 On étudiera des situations: 1. L’information est imparfaite mais complète car chacun connait les règles du jeu (qui sont les joueurs, les stratégies possibles et les résultats) 2. Les agents sont rationnels au sens instrumental 3. La rationalité et les règles du jeu sont CK • Représentation d’un jeu: Un jeu sous forme extensive peut être représenté par un arbre: - A chaque noeud est associé un joueur qui doit jouer - Les arcs représentent les stratégies possibles a un point du jeu - A chaque noeud terminal correspond un vecteur des paiements (liste des gains pour chaque joueur) L’arbre du jeu (arbre de décision) est constitué d’un ensemble fini ou dénombrable de noeuds noté T={t1,t2,…,tk}, muni d’une relation de succession: - Le noeud initial n’est pas le successeur d’aucun autre noeud - Chaque noeud non initial est le successeur d’un seul noeud - Les noeuds terminaux n’ont pas de successeur Un joueur n’a pas toujours les moyens d’observer les actions d’un autre joueur. Un ensemble d’information est un ensemble de noeuds indiscernables par le joueur a qui c’est le tour de jouer. Les actions possibles a partir de deux noeuds appartenant au même ensemble d’information doivent être les mêmes. (on ne sait pas sur quelle branche on est, on n’a pas d’information sur la stratégie de l’autre joueur (jeu simultané))

Concurrence imparfaite et stratégies des acteurs Un jeu a deux joueurs sous forme normale (ou stratégique) peut se présenter par un tableau a double entrée. > plus commode pour les jeux simultanés. Par convention dans le tableau, les choix du joueur 1 est écrit en ligne et le joueur 2 en colonne. Un joueur n’a pas toujours les moyens d’observer les actions d’un autre joueur. Ensemble d’information : un ensemble de noeuds indiscernables pour le joueur à qui c’est le tour de jouer Les actions possibles à partir de deux noeuds appartenant au même ensemble d’information doivent être les mêmes. Le dilemme du prisonnier 2 prisonniers : > si chacun se tait, ils ne prennent qu’un an ! ! > si les 2 se dénoncent, 7ans chacun ! ! > si l’un dénonce et l’autre se tait, le premier prend 3 mois et l’autre 10ans se tait se tait dénonce

dénonce (3,3)

(-1,5)

(5,-1)

0,0

La bataille des sexes GoT/WD GoT/ WD Pretty little liars / elite

Pretty little liars / elite (3,2)

(1,1)

0,0

(2,3)

Sous forme extensive:

Si le jeux est simultané: on peut représenter en forme extensive ( avec un noeud) ou normal Si le jeux est séquentielle : la forme extensive est la mieux

La poule mouillée (chicken game)

Concurrence imparfaite et stratégies des acteurs Des ados qui veulent marquer leur territoire avec leurs voitures => la voiture va en direction de la falaise , celui qui gagne est celui qui reste le plus longtemps dans sa voiture Fonce

Saute

Fonce

(-15,-15)

(4,0)

Saute

(0,4)

(1,1)

II. Les stratégies possibles On essaye de comprendre ce que peut jouer un joueur rationnel. A premiere vue, les strategies dominantes et prudentes sont les plus évidentes, mais elles ne permettent pas toujours de résoudre le jeu. • Stratégies strictement dominantes: Existe-t-il des stratégies qui vont être jouées quel que soit ce que fait l’autre? On dit que la stratégie xi0 est strictement douante pour le joueur i si et seulement si : ! ! ! ∀x-i, ui(x-i,xi0) > ui(x-i,xi-0) On a une stratégie quelque soit ce que joue l’autre quand cette stratégie rapporte toujours plus que ses autres stratégies quelque soit ce que joue les autres joueurs Le vecteur x-i représente l’ensemble des stratégies jouées par les autres joueurs. Le vecteur xi-0 représente l’ensemble des stratégies possible pour i autre que x0 Une stratégie strictement dominante est forcement unique Si un joueur a une SSD alors il la jouera Gauche

Droite

Haut

(10,12)

(7,7)

Bas

(5,12)

(4,10)

Pour le joueur 1 : haut est toujours mieux que bas => stratégie strictement dominante Pour le joueur 2 : gauche est toujours mieux que que droite => stratégie strictement dominante (Haut, Gauche) est un équilibre en stratégie strictement dominante

Gauche

Droite

Haut

(10,12)

(4,7)

Bas

(5,12)

(4,10)

Pour le joueur 1: on est plus en SSD

Concurrence imparfaite et stratégies des acteurs

• Stratégie faiblement dominante:

- On dit que la stratégie xi0 domine faiblement xi1 pour le joueur i si et seulement si : ! ∀x-i, ui(x-i,xi0) ≥ ui(x-i,xi1) Une stratégie 0 domine 1 si elle permet de faire mieux ou pareil => elle domine toutes les autres on dit que c’est LA stratégie faiblement dominante

- Une stratégie est faiblement dominante (SFD) si elle domine faiblement toutes les autres stratégies - Une stratégie strictement dominante est nécessairement une stratégie faiblement dominante

- les enchères ( à plis fermés) au second prix ou à la Vickrey, jeu non fini : le lot est accordé au plus offrant mais au prix annoncé par le deuxième plus offrant problème d’une enchère au premier prix: chacun essaye de deviner la disposition à payer de l’autre, de manière à annoncer un prix à peine supérieur mais chacun fait de même

!

utilisation enchère à la Vickrey => vente de timbres dans les clubs de philatélie ! ! ! => Systeme eBay D1 (joueurs) : I joueurs, I = {1,..,N} D2 ( stratégies) : Si = [0; ∞[ jeu non fini vi la valeur du bien pour i et p le prix payé Ui( vi ; p) = vi - p si acquisition ; 0 sinon ŝ l’annonce la plus haute et s~ la seconde plus haute D3 ( paiements) : Ui (vi) = vi - s~ si si = ŝ ; 0 si si < ŝ

! !

- 3 grandes stratégies possibles : a) si > vi => pour être sûr de l’avoir ! ! ! b) si < vi => pour “économiser“ un peu ! ! ! c) si = vi => pile ma valeur privative - On va montrer que c) est une SFD , ie on fait toujours aussi bien en annonçant sa vrai valeur qu’en annonçant au dessus ou au dessous - enchère à plis fermés : quand i = 1 annonce son prix, ile ne connait pas l’annonce la ! ! plus haute faite par les autre disons s2 > Cas 1 : v1 < s2 :

! !

- a) s1> v1 : 1 dit au dessus de sa valeur : ! ! - si s1 > s2, alors 1 emporte la mise et obtient U1 = v1 - s2 < 0 ! ! - si s2 > s1, alors U1 = 0 - b) s1 < v1 : 1 dit en dessous de sa valeur => il n’obtient pas le bien et U1 =0 - c) s1 = v1 : il énonce sa propre évaluation => il n’obtient pas le bien et U1 = 0

!

Concurrence imparfaite et stratégies des acteurs => on voit que si l’évaluation de 1 est plus petite que l’annonce la plus forte en dehors de la ! ! sienne, jouer son évaluation permet de gagner 0, soit autant ou mieux que les deux autres ! stratégies

> Cas 2 : v1 > s2 :

- a) s1 > v1 : 1 dit au dessus de sa valeur. Il emporte la mise et obtient U1 = v1 - s2 > 0 - b) s1 < v1 : 1 dit en dessous de sa valeur: - si s1 > s2 , alors 1 emporte la mise et obtient U1 =v1 - s2 > 0 - si s2 < s1 , alors il n’obtient pas le bien et U1 = 0 - c) s1 = v1 : il énonce sa propre évaluation, il acquiert le bien et U1 = v1 - s2 > 0 => on voit que si l’évaluation de 1 est supérieure à l’annonce la plus forte en dehors de la ! ! sienne, jouer son évaluation permet de faire au moins aussi bien que les deux autres ! ! stratégies

! !

CL: annoncer son évaluation est une SFD

- Les stratégies faiblement dominantes ne sont pas forcement unique, elles ne permettent donc pas toujours de résoudre le jeu envoie pas envoie pas envoie

!

envoie 0,0

(1,0)

(0,1)

(1,1)

==> toutes les stratégies sont faiblement dominantes

• Elimination des stratégies strictement dominées: On dit que la stratégie x0 est strictement dominée par la stratégie x1 pour le joueur i si et seulement si, quelque soit ce que joue les adversaires, le paiement associé a 0 est toujours strictement moins bien que celui associé a 1. Le joueur ne jouera jamais une stratégie strictement dominée par une autre. On peut donc effacer du tableau les lignes et les colonnes correspondantes aux stratégies strictement dominées. Mais une fois ceci réalisé, il se peut que des stratégies non strictement dominées initialement le deviennent. On peut dont ensuite les éliminer,… On obtient un équilibre par élimination itérative (successive) des stratégies strictement dominées. EESSSD Comportement un peu plus sophistique que précédemment; un joueur anticipe les actions de l’autre [jeu A’, comme le joueur A n’a pas de stratégie pour laquelle il est toujours gagnant, et comme il est un joueur rationnel, il voit que d’après le jeu le joueur B va choisir la meilleur stratégie pour lui,

Concurrence imparfaite et stratégies des acteurs j’anticipe alors en prenant en compte qu’il est rationnel c’est le joueur A qui va effacer la colonne du tableau en anticipant les action de B]

Concurrence imparfaite et stratégies des acteurs On dit que la stratégie x0 est faiblement dominée par la stratégie x1 pour le joueur i si et seulement si, quelque soit ce que joue les adversaires, le paiement associé a 0 est toujours strictement moins bien que celui associé a 1.

L’ordre d’élimination n’a aucune importance si on considère les stratégies strictement dominées. Mais ce n’est plus le cas si l’on considère les stratégies faiblement dominées. On ne sait pas quel ordre est le bon, on n’a aucune théorie dessus. C’est un équilibre instable qui ne fait pas sens

On se demande ce qui se passerait si la rationalité n’est pas CK ==> doute, les joueurs pourront préférer ne pas prendre le risque que les autres jouent bizarrement. L’objectif n’est plus de maximiser les gains mais de minimiser les pertes: équilibré prudent. Il peut paraitre prudent pour un joueur de choisir une stratégie qui minimise son risque; on pense que l’autre peut se tromper ou alors cherche a vous faire le plus de mal possible. Pour chaque stratégie, il imagine le pire en regardant e u’il touche dans le cas le plus défavorable. Puis ils choisit la stratégie pour laquelle le pire est moins grave, la stratégie qui lui rapporte le minimum garanti, le niveau de sécurité. 𝛼i= max(min (ui(x-i, xi))) = maximin Dans un jeu fini, un joueur a toujours au moins une stratégie prudente, mais celle-ci n’est pas forcement unique.

Conclusion Définition d’un jeu: règles du jeu+ représentations extensive et normale+ hypothèse de CK sur la rationnante et les règles. Cette rationalité s’incarne dans différentes stratégies possibles, qui peuvent permettre de trouver une solution au jeu.

Concurrence imparfaite et stratégies des acteurs

- Equilibre en stratégie strictement dominante: bon concept, mais existe rarement - Equilibre en stratégie faiblement dominante: idem + possibilité d’indétermination (multiplicité des stratégie faiblement dominant)

- Equilibre par élimination successive des stratégies strict dominées: n’existe pas toujours - Equilibre par élimination successive des strategies faiblement dominées: dangereux ! - Strat prudentes: peuvent notamment s’appliquer en cas d’absence de CK sur la rationalité… Problème de multiplicité…...