Clase 11 Más Sobre Conjuntos Linealmente Independientes PDF

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1.2. BASES DE ESPACIOS VECTORIALES Clase 11: Más sobre conjuntos linealmente independientes. La siguiente proposición afirma que todo conjunto S2 que contenga a un conjunto linealmente dependiente S1 será linealmente dependiente.

Proposición 1.2.23. Sea V un espacio vectorial y sea S1 ✓ S2 ✓ V . Si S1 es linealmente dependiente entonces S2 también es linealmente dependiente.

Demostración. Sean S1 y S2 subconjuntos de V tales que S1 ✓ S2 . Como S1 es linealmente dependiente, existen vectores x1 , x2 , ..., xn en S1 y escalares a1 , a2 , ..., an en F con algún ai 6= 0 tales que a1 x1 +a2 x2 +· · ·+an xn = ~0. Como S1 ✓ S2 tenemos que x1 , x2 , ..., xn en S2 y como tenemos la combinación lineal a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = ~0 con algún ai 6= 0. Por lo tanto, S2 es linealmente dependiente. ⌅ En el siguiente corolario debemos tener cuidado con el hecho de que en este caso estamos suponiendo que el subconjunto S2 es linealmente independiente. Es decir, el corolario 1.2.23 afirma que todo subconjunto S1 de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente. No confundir con el caso de la proposición anterior.

Corolario 1.2.24. Sea V un espacio vectorial y S1 ✓ S2 ✓ V . Si S2 es linealmente independiente entonces S1 también es linealmente independiente.

Demostración. Supongamos que S1 no es linealmente independiente. Entonces S1 es linealmente dependiente y por la proposición anterior tenemos que S2 es linealmente dependiente. Lo cual es una contradicción. Por lo tanto, S1 es linealmente independiente. ⌅

CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES Ejemplo 1.2.25. El conjunto S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es linealmente independiente en R3 . En efecto si consideramos una combinación lineal (0, 0, 0) = a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) + a3 (0, 0, 1) = (a1 , a 2 , a3 ) de donde a1 = a2 = a3 = 0. Usando el corolario 1.2.24 tenemos que también el conjunto S1 = {(0, 1, 0), (0, 0, 1)} es linealmente independiente. Además, el conjunto S genera al espacio vectorial R3 . En efecto, si (a, b, c) 2 R3 tenemos que (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) 2 hSi. Ejemplo 1.2.26. Tenemos que el conjunto S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)} es linealmente dependiente. En efecto tenemos la combinación lineal: (0, 0, 0) = 1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1)  1(1, 1, 1) donde a1 = a2 = a3 = 1 6= 0. Usando la proposición 1.2.23 tenemos que también el conjunto S2 = {(0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)} es linealmente dependiente.

Ejemplo 1.2.27. El espacio vectorial M2×2 (R) está generado por el conjunto ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ 1 0 0 1 0 0 0 0 S={ , , , } 0 0 0 0 1 0 0 1 Además el conjunto S es linealmente independiente....