Concepto de trayectoria y ecuación de posición PDF

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Apunte Laboratorio de fisica...

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Concepto de trayectoria y ecuación de posición Cuando un cuerpo se desplaza desde un punto a otro, lo hace describiendo una línea geométrica en el espacio. A esa línea geométrica se le denomina trayectoria, y está formada por las sucesivas posiciones del extremo del vector posición a lo largo del tiempo. Es, por tanto, frecuente encontrar las coordenadas x, y y z del vector de posición escritas en función del tiempo como x(t),y(t) y z(t) para representar la evolución de la posición los cuerpos a lo largo del tiempo. La trayectoria de un cuerpo es la línea geométrica que un cuerpo describe en su movimiento. La ecuación de posición o ecuación de trayectoria representa el vector de posición en función del tiempo. Su expresión, en coordenadas cartesianas y en tres dimensiones viene dada por:

r→(t)=x(t)i→+y(t)j→+z(t)k→ Donde: •

r→(t) : es la ecuación de posición o ecuación de trayectoria

•

x(t), y(t), z(t): Son las coordenadas en función del tiempo.

•

i→,j→,k→ :Son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes OX, OY y OZ respectivamente

En el caso de aquellos problemas en los que sólo estés trabajando en dos dimensiones, puedes simplificar las fórmulas anteriores eliminando la componente z. De esta manera, la ecuación de posición en dos dimensiones queda r→(t)=x(t)i→+y(t)j→+z(t)k→ =x(t)i→ +y(t)j→ . En la siguiente animación se ilustra el concepto de la ecuación de posición o ecuación de trayectoria.

Experimenta y Aprende 0 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t(sg) = 0.00 cuerpo r trayectoria Datos

r→(t) =(t+1)⋅i→+(0.05⋅t2+0.1⋅t+0.05)⋅j→ r→=1.01· i + 0.70 · j m ∣∣r→∣∣=1.23 m Trayectoria En la gráfica se muestra la trayectoria (línea gris) que sigue un cuerpo representado por un punto rojo a lo largo del tiempo. En nuestro ejemplo, esta trayectoria viene dada por la ecuación de trayectoria r(t) = (t+1)· i + (0.05 · t2 + 0.1 · t + 0.05)· j m, la cual define en cada instante de tiempo t cual es el vector de posición del cuerpo.

Arrastra el deslizador que corresponde con el tiempo y comprueba como el cuerpo y su vector de posición van cambiando a medida que lo mueves. El vector de posición en cada instante de tiempo se obtiene al sustituir el valor de t que has elegido en la ecuación de trayectoria.

Tipos de ecuación de trayectoria Además de la expresión anterior, existen otras formas de expresar la trayectoria del movimiento de un cuerpo. A continuación señalamos otros tipos de ecuaciones de posición o ecuaciones de trayectoria:

•

Ecuaciones de la trayectoria paramétricas: Se establece cada una de las coordenadas en función del tiempo en la forma x=x(t), y=y(t), z=z(t). Por ejemplo, las coordenadas paramétricas de un cuerpo que se desplaza en el plano x-y pueden ser:

•

o

x=t+2

o

y=t2

Ecuación de la trayectoria explícita: Se obtiene eliminando el parámetro t de las expresiones anteriores y despejando una variable en función de la otra. En el caso de nuestro ejemplo nos quedaría: o o

•

x=t+2 ⇒t=x−2 y=t2⇒y=(x−2)2

Ecuación de trayectoria implícita: Se obtiene haciendo f(x,y)=0. o

(x−2)2−y=0

Tomemos el siguiente ejemplo, imagina que un tren se desplaza en dirección este a razón de 50 metros cada segundo. En el primer segundo el cuerpo se encuentra a 50 metros del origen. En el segundo 2, el tren se encuentra a 100 m del origen y así sucesivamente. Por tanto podríamos escribir: •

La coordenada x del movimiento en función del tiempo: x=50t m

•

Su ecuación de posición: r→=50ti→ m

•

La distancia al origen, dada por el módulo del vector de posición: ∣∣r→∣∣=50t

Ejemplo El A.V.E. Madrid-Barcelona se desplaza durante el primer tramo de su recorrido a razón de 50 m cada segundo en dirección Este y 30 m cada segundo en dirección Norte. Calcula: 1. La coordenada x del movimiento en función del tiempo 2. La coordenada y del movimiento en función del tiempo 3. La ecuación de posición del tren en el tramo estudiado 4. La distancia al origen del tramo en función del tiempo...