Coordenadas Cartesianas Yvectores EN EL Espacio Tridimensional PDF

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COORDENADAS CARTESIANAS YVECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL...

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COORDENADAS CARTESIANAS EN TRES DIMENSIONES SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

A la correspondencia biunívoca entre las ternas ordenadas (x, y, z) de números reales y los puntos P del espacio, se denomina Sistema de Coordenadas Cartesianas. Donde: Los ejes perpendiculares entre si se denominan ejes coordenados Eje coordenado X Eje coordenado Y Eje coordenado Z. Estos ejes se intersectan en el punto cero de c/u, dando lugar al origen de coordenadas O. Los ejes coordenados determinan tres planos coordenados.   

Plano coordenado XY, donde Z = 0 Plano coordenado XZ, donde Y = 0 Plano coordenado YZ, donde X = 0

Estos tres planos coordenados dividen al espacio en ocho zonas, denominadas octantes.

El primer octante se determina por los ejes coordenados positivos. Ahora al conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales se denota por ℝ3 Es decir ℝ𝟑 = ℝ𝒙ℝ𝒙ℝ

ℝ𝟑 = {(x,y,z) / x 𝝐ℝ ,y 𝝐ℝ ,z 𝝐 ℝ }

Constituyendo la representación geométrica de ℝ𝟑 el denominado espacio tridimensional.

DISTANCIA EN TRES DIMENSIONES Sean los puntos P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) ∈ ℝ𝟑 ; la distancia entre P1 y P2 se denota y define.

Como podemos apreciar en la figura siguiente y aplicando el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos P1 B P2 y P1 A B se obtiene:

Ahora al combinar estas ecuaciones se obtiene

Por tanto, se concluye

Ejemplo: La distancia del Punto P (3,-1,5) al punto Q (4,2,-3) es | PQ | = √(4 − 3)2 + (2 + 1)2 + (−3 − 5)2 | PQ | = √1 + 9 + 64 =√74

ECUACION DE UNA ESFERA

Sea C (h, k, l) el centro de la esfera y radio r, entonces su ecuación es: (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐤)𝟐 + (𝐳 − 𝐥)𝟐 = 𝐫 𝟐

En particular si el centro es el origen de coordenadas, entonces se tiene 𝐱 𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 = 𝐫𝟐 Ejemplo: Demuestre que la ecuación x 2 + y2 + z 2 − 4x + 2y − 6z + 5 = 0, es la ecuación de una esfera, y determine su centro y radio. En efecto, completando cuadrados tenemos (x 2 − 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + (z 2 − 6z + 9) = 9 (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 9

Por tanto, la ecuación dada representa una esfera de centro C (2,-1,3) y radio r=3.

Ejemplo: Obtener la ecuación de una esfera que tiene a los puntos (5,-2,3) y (0,4,-3) como extremos de un diámetro. Solución Determinamos el punto medio del diámetro, dado que el centro de la esfera será igual a este punto. 𝟓+𝟎 −𝟐+𝟒 𝟑−𝟑

Es decir, el centro de la esfera es C(

𝟐

,

𝟐

,

𝟐

Ahora aplicando la fórmula de distancia el radio es

𝟓

r = √(𝟎 − )𝟐 + (𝟒 − 𝟏)𝟐 + (−𝟑 − 𝟎)𝟐 = √ 𝟐

luego la ecuación de la esfera es 𝟓

(𝐱 − )𝟐 + (𝐲 − 𝟏)𝟐 + (𝐳 − 𝟎)𝟐 = 𝟐

𝟗𝟕 𝟒

𝟗𝟕 𝟒

=

√𝟗𝟕 𝟐

𝟓

) = 𝑪( 𝟐 , 𝟏, 𝟎)

Ejercicios 1. Suponga que empieza en el origen, se mueve a lo largo del eje X una distancia de 5 unidades en la dirección positiva y luego se mueve hacia abajo una distancia de 2 unidades. ¿Cuáles son las coordenadas de su posición? 2. ¿Cuál de los puntos A(-4,0,-1), B(3,1,-5) y C(2,4,6) está más próximo al plano YZ ? ¿Qué punto yace en el plano XZ? 3. ¿Cuáles son las proyecciones del punto (2,3,5) sobre los planos XY, YZ y XZ? Dibuje una caja rectangular con el origen y (2,3,5) como vértices opuestos y con sus caras paralelas a los planos coordenados. Etiquete todos los vértices de la caja. Determine la diagonal de la caja. 4. Halle las longitudes de los lados del triángulo PQR. ¿Es un triángulo rectángulo? ¿Es un triángulo isósceles? Para cada caso a) P(3,-2,-3) Q(7,0,1) R(1,2,1) b) P(2,-1,0) Q(4,1,1) R(4,-5,4 5. Determine si los puntos yacen sobre una línea recta. a) A (2,4,2), B(3,7,-2) y C(1,3,3) b) D (0,-5,5), E(1,-2,4) y F(3,4,2) 6. Determine la distancia de (4,-2,6) a cada uno de lo siguiente a) El plano XY b) El plano YZ c) El plano XZ d) El eje X 7. Halle la ecuación de la esfera con centro (2,-6,4) y radio 5. Describa su intersección con cada uno de los planos coordenados. 8. Halle la ecuación de la esfera que pasa por el punto (4,3,-2) y tiene como centro (3,8,1). 9. Encuentre las longitudes de las medianas del triángulo con vértices A(1,2,3), B(-2,0,5) y C(4,1,5). 10. Encuentre las ecuaciones de las esferas con centro (2,-3,6) que tocan a los Planos XY, YZ y XZ. 11. Determine la ecuación del conjunto de todos los puntos equidistantes de los puntos A(-1,5,3) y B(6,2,-2). Describa el conjunto.

ESPACIO VECTORIAL Definición. Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, denominado vectores, para el cual se definen dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los siguientes axiomas. Sean 𝐮, 𝐯, 𝐰 elementos de V, 𝜶 𝒚 𝜷 números reales, se cumple

1. 𝐮 + 𝐯 𝛜 V 2. 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮 3. (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰) 4. Existe un vector nulo 0v 𝝐 V tal que 𝐯 + 0v = v 5. Para cada v𝝐V, existe un opuesto (-v) 𝝐 V tal que v+ (-v) = 0v 6. 𝛂𝐯 𝛜 𝐕 7. 𝛂(𝐮 + 𝐯) = 𝛂𝐮 + 𝛂𝐯 8. (𝛂 + 𝛃)𝐯 = 𝛂𝐯 + 𝛃𝐯 9. 𝛂(𝛃𝐯) = (𝛂𝛃)𝐯 10. 1v = v Ejemplos 1. V=ℝ3, es un espacio vectorial. 2. V= ℝn, n≥ 1, son ejemplos de espacios vectorial. 3. V= ℝmxn, para cada m y n, es un espacio vectorial. VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL El conjunto de todas las ternas ordenadas < 𝑥, 𝑦, 𝑧 >, donde 𝑥, 𝑦, 𝑧 son números reales, (se denominan componentes del vector < 𝑥, 𝑦, 𝑧 > ), y se denota por V3. Por lo común un vector de V3 se representa por una flecha o un segmento de de recta dirigido. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector y la flecha apunta en la dirección del vector. Un vector se denota por una letra negrita (v) o escribiendo una flecha sobre la letra ( 󰇍𝒗 ).

󰇍 = < 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 >, entonces el segmento dirigido tiene su punto inicial en Si 𝒗

el origen y su punto terminal en el punto (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) recibe el nombre de

representación de posición de 󰇍𝒗.

Igualdad de vectores Diremos que los vectores < 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 > y < 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 > son iguales si

solo si sus componentes reales son iguales 𝑎1 = 𝑏1 , 𝑎2 = 𝑏2 y 𝑎3 = 𝑏3 . El vector cero o nulo es el vector < 0, 0, 0 > y se denota por 0󰇍 . Módulo de un vector Si el vector

󰇍𝒗 = < 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 >, el módulo de 𝒗󰇍󰇍 se denota y define por

‖𝑣‖ = √𝑣1 2 + 𝑣2 2 + 𝑣3 2

La dirección de un vector diferente de cero en V3 está determinada por tres ángulos denominados ángulos directores del vector. . OPERACIONES CON VECTORES Sean los vectores 𝐴 = < 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 > y 𝐵󰇍 = < 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 > y c un escalar, Entonces se cumple. 1) 𝐴 + 𝐵󰇍 = < 𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3 > 2) − 𝐴 = < − 𝑎1 , − 𝑎2 , − 𝑎3 > + 3) 𝐴 + (- 𝐵󰇍 ) = < 𝑎1 − 𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2 , 𝑎3 − 𝑏3 > 4) c𝐴 = c< 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 > = < 𝑐𝑎1 , 𝑐𝑎2 , 𝑐 𝑎3 > Ejemplo Dados los vectores 𝐴 = < 5, −2 , 6 > y 𝐵󰇍 = < 8, −5, −4 > , calcule 𝐴 + 𝐵󰇍 , 𝐴 − 𝐵󰇍 , 3𝐴 , -4𝐵󰇍

Ilustración gráfica de las operaciones con vectores

PRODUCTO ESCALAR Definición: Si a = < 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 > y b = < 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 >, entonces el producto escalar de a y b es el número a. b dado por a. b = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 Propiedades Si a, b y c son vectores en V3 y 𝛼 es un escalar entonces se cumple 1. 2. 3. 4. 5.

a. a = ‖𝐚‖𝟐 a. b = b. a a. (b + c) = a. b + a. c ( 𝛼a ).b = 𝛼 (a. b) = a. (𝛼b) 0.a = 0

Teorema: Si 𝜃 es el ángulo entre los vectores a y b, entonces a. b = |𝐚||𝑏| cos 𝜃

Demostración

Considerando el grafico y aplicando la ley de los cosenos al triangulo OAB se tiene |𝐴𝐵|2 = |𝑂𝐴|2 + |𝑂𝐵|2 − 2|𝑂𝐴||𝑂𝐵|𝐶𝑂𝑆 𝜃 …………..(1) Pero |𝑂𝐴|=| 𝐚|, |𝑂𝐵|=| 𝐛|, |𝐴𝐵|=|𝐚 − 𝐛 |

……………...(2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene |𝐚 − 𝐛 |2 =| 𝐚|2 + | 𝐛|2 − 2| 𝐚 ||𝐛| cos 𝜃

………………(3)

Ahora empleando las propiedades del producto escalar se tiene |𝐚 − 𝐛 |2 = (𝐚 − 𝐛). (𝐚 − 𝐛) = a.a – a.b – b.a + b.b = | 𝐚|2 −2 a.b + | 𝐛|2

Luego: |𝐚 − 𝐛 |2 = | 𝐚|2 −2 a.b + | 𝐛|2 ………….. (4) Reemplazando (4) en (3) y simplificando se obtiene | 𝐚|2 −2 a.b + | 𝐛|2 = | 𝐚|2 + | 𝐛|2 − 2| 𝐚 ||𝐛| cos 𝜃 a.b = | 𝐚 ||𝐛| cos 𝜃

cos 𝜽 =|

𝐚.𝐛

𝐚 ||𝐛|

Ejemplo Un trineo es jalado por una cuerda a lo largo de un sendero nivelado. Una fuerza de 30 libras que actúa a un ángulo de 40° sobre la horizontal mueve el trineo 80 pies. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza. Solución W: trabajo W= (30) (80) cos 40° W = 2400 cos 40° W = 18.39 pies-libras

Ángulos y cosenos directores

En la figura podemos apreciar que los ángulos directores del vector a diferente de cero, son los ángulos ∝, β y γ en el intervalo [ 0,𝜋] que forma el vector a con los ejes positivos X, Y y Z.

Los cosenos de estos ángulos directores, cos ∝, cos β, cos γ, se denominan cosenos directores. Dónde: a = 󰇍󰇍󰇍 𝒂

cos ∝ = cos ∝ =

𝑎1 󰇍‖ ‖𝑎

𝐚.𝐢 , |𝒂 󰇍󰇍󰇍 |

𝑎

, cos β = ‖𝑎󰇍2‖ , cos γ = 𝐚.𝐣

cos β = |𝒂󰇍 󰇍 |,

cos γ =

𝑎3 ‖𝑎 󰇍‖

𝐚.𝐤 |𝒂 󰇍󰇍󰇍 |

i = ; j = < 0, 1, 0 >; k = < 0, 0, 1 > elevando al cuadrado los cosenos directores y sumándolos se obtiene: 𝑐𝑜𝑠2 ∝ + 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1 También se puede escribir a = < 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 > = ‖𝑎‖ < cos ∝ , cos 𝛽 , cos 𝛾 > Ejemplo Determine el modulo y los cosenos directores del vector 𝐴 = a = < 2, 4 , −3 > En efecto: Modulo del vector ‖𝐴 ‖ = √4 + 16 + 9 =√29 Cosenos directores cos ∝ =

2

√29

, cos 𝛽 =

4

√29

Proyecciones de vectores

, cos 𝛾 =

−3

√29

Como podemos observar de los gráficos anteriores se obtiene Proyección escalar de b sobre a: compa b =

𝐚.𝐛

|𝐚|

𝐚.𝐛

Proyección vectorial de b sobre a: proja b =(| |) 𝐚

𝐚 |𝐚|

Ejemplo Halle la proyección escalar y la proyección vectorial de b = < 2, 1, 2 > sobre a = < 1, 3, −2 > Solución | 𝐚 | = √1 + 9 + 4 = √14

| 𝐛| = √4 + 1 + 4 = 3

a.b = < 1, 3, −2 > . < 2, 1, 2 > = 2+3-4 = 1 𝐚.𝐛 𝐚|



compa b = |



proja b =(| |) |

𝐚.𝐛 𝐚

1

=

√14

𝐚

= 14 < 1, 3, −2 >

𝐚|

1

PRODUCTO VECTORIAL Definición: Si a = < 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 > y b = < 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 >, entonces el producto vectorial de los vectores a y b es el vector a x b = < 𝒂𝟐 𝒃𝟑 − 𝒂𝟑 𝒃𝟐 , 𝒂𝟑𝒃𝟏 − 𝒂𝟏𝒃𝟑 , 𝒂𝟏𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 𝒃𝟏 > también se puede escribir como sigue

Ejemplo Si a = < 3, 1, 4 > y b = < 2, 5 ,7 >

a x b = - 13 < 1, 1 , −1 > Teorema: Si 𝜃 es el ángulo entre los vectores a y b de manera que 0 ≤ 𝜽 ≤ 𝝅, | a x b| = | 𝐚 ||𝐛| sen 𝜃

Interpretación geométrica

El área del paralelogramo de lados a y b está dado por: A= ( base)x(altura) = (| 𝐚 |)( |𝐛| sen 𝜃) = | 𝐚 ||𝐛| sen 𝜃 = | a x b| A= | a x b|

Propiedades del producto vectorial Si a , b y c son vectores y ∝ un escalar, entonces se cumple 1. 2. 3. 4. 5.

axb=-bxa (∝ a ) x b = ∝ ( a x b ) = a x ( ∝ b ) ax(b+c)=axb+axc (a+b)xc=axc+bxc a . (b x c) = ( a x b ) . c

Ejemplo Encuentre un vector no nulo ortogonal al plano que pasa por los puntos P, Q y R asimismo, determine el área del triángulo PQR, para cada caso. a) P (1,0,1), Q (-2,1,3), R (4,2,5) b) P (0,-2,0), Q (4,1,-2), R (5,3,1)...