Cours 2 courbes paramétrées PDF

Preview

Summary

cours...

Description

PT 2020-21 semaine 3 du 14 au 19 sept 2020 Programme d'interrogations de Mathématiques Cours de la semaine dernière (Algèbre linéaire) auquel s'ajoute : Courbes paramétrées du plan, étude et tracé. I Généralités A Points et Vecteurs - Elements de géométrie affine euclidienne du plan Espace euclidien de dim 2 : espace muni d'un repère orthonormé a) Points, Vecteurs, opérations (point + vecteur = point ) b) Distance, Norme d'un vecteur. Produit scalaire, expression algébrique à l'aide des coordonnées dans une base orthornormée :

( y)

( y ' ) alors u⋅v =xx ' + yy ' . Orthogonalité (produit scalaire de 2 vecteurs = 0).

Si  u= x et  v= x '

AB‖ Norme, distance de deux points: Notation AB=‖ c) Paramétrage et équations d'une droite.

M (t )=P +t u Paramètrage de la droite passant par P de vecteur directeur  u B Fonctions vectorielles, limites, continuité et développements limités Pour la limite, la continuité et les développements limités d'un fonction de ℝ dans ℝ n , on définit ces notions « coordonnées par coordonnées » ou bien, de façon équivalente, à l'aide de la norme des vecteurs : Un point M(t) de ℝn tend vers un point M₀ quand t→ t0 ⇔ chacune des coordonnées xi(t) de M(t) tend vers la coordonnée xi de M0 quand t→ t0 ⇔ la norme ‖ M 0 M (t)‖ du vecteur  M 0 M (t) tend vers 0 quand t→ t0

Forme d'un développement limité sur une fonction de ℝ dans ℝ2 2

p p M (t)= M 0 +(t−t 0)u ₁+(t−t0 ) u2 +…+(t−t0 ) up + o ((t−t 0) )

On pose en général t = t ₀ + h et le développement se fait en puissances croissantes de h = t-t ₀ avec des coefficients vectoriels à partir de l'ordre 1. p o (h ) désigne un vecteur dont chacune des coordonnées sont de la forme h p θ (h) où θ (h) tend vers 0 en 0

II Etude et tracé d'une Courbe paramétrée

{

On suppose M(t) paramétré par une fonction de classe C1 à valeurs dans ℝ2 t → M (t) x=x (t )

y =y (t )

A) Interprétation géométrique du DL à l'ordre 1: Droite tangente en un point où la fonction admet un développement limité à l'ordre 1 Si M (t)= M 0 +(t−t0 )u ₁+o((t−t 0 )) est le DL à l'ordre 1 et que u1 ≠ 0

u ₁ décrit la droite passant par M₀ et dirigée par u1 qui sera la droite tangente à la courbe en alors P (t)=M 0 +(t−t 0 ) M₀ : en effet il s'agit de la limite de la sécante joignant M₀ = M(t₀) à un point M(t) infiniment voisin On remarque que u 1 est le vecteur dérivé de M(t) en t₀ que l'on peut écrire

 dM (t )= x ' ( t 0) dt 0 y ' ( t0)

(

)

Définition :

 dM (t )= x ' ( t 0) =  0 définit le point M(t₀) comme point stationnaire dt 0 y ' ( t0)

(

)

B) Interprétation géométrique du DL à l'ordre n en t₀ (notamment si u1 = 0 c'est à dire M₀ point stationnaire): 2 n n On suppose M (t)= M 0 +(t − t 0)u ₁+(t−t0 ) u2 +…+(t−t0 ) un +o((t −t 0 ) ) et que up est le premier vecteur ≠ 0 , puis que uq

est le premier vecteur tel que ( up , uq ) forme une famille libre. p et q sont les « entiers caractéristiques du point M₀ » up dirige la droite tangente en M ₀ à la courbe, et uq dirige la « déviation » de la courbe par rapport à sa tangente selon la parité de p et q on peut faire des schémas de forme géométrique de la courbe p impair et q pair : (forme la plus courante si p=1 et q =2), dite birégulière ou « méplat » p pair et q impair : point de rebroussement de première espèce. NB : La tangente est une demi droite tangente p impair et q impair : point d'inflexion p pair et q pair : point de rebroussement de seconde espèce . NB : La tangente est une demi droite tangente

{

x=x (t ) C) Plan d'étude d'une courbe paramétrée et tracé t → M (t)

y =y (t )

C1) Recherche du domaine de définition C2) Recherche des répétitions (périodicité) et des symétries, réduction des intervalles à étudier On prendra soin de bien définir le domaine de définition D f le domaine où la courbe entière est obtenu : Domaine de tracé D T après élimination des répétitions DT ⊂D

f

le domaine d'étude D E qui donne une partie de la courbe permettant de déduire le reste de la courbe par symétries. DE ⊂D T

Il faudra s'assurer qu'un intervalle I de D E s'envoie par une fonction φ (involutive c'est à dire φo φ = Id ) sur un intervalle J de D T permettant de créer une symétrie entre M (t)t∈ I et M (φ (t))t ∈I et que la réunion de D E avec les images des intervalles de D E par toutes les involutions générant des symétries, reconstitue le domaine D T en entier En écrivant t '=φ (t ) les symétries entre M(t) et M(t') sont mises en évidence parmi les plus simples : Symétries par rapport aux axes de coordonnées ou par rapport à une bissectrice des axes (faire un schéma)

(− y(t) )

symétrie / Ox : M(t) a pour symétrique M (t ' ) x (t)

( y (t) )

symétrie / Oy : M(t) a pour symétrique M (t ' ) −x (t)

( x (t))

symétrie / (y=x) : M(t) a pour symétrique M (t ' ) y (t )

(−x (t ) )

symétrie / (y=-x ) : M(t) a pour symétrique M (t ' ) − y(t)

Symétrie par rapport à un point Ω: le milieu de M(t) et M(t') est ce point Ω (fixe!) : x(t )+ x(t ' )=2 x Ω et y (t)+ y (t ' )=2 y Ω C3) tableau de variations, et recherche des limites aux bornes des intervalles. On trace des tableaux superposés de variations de t, x'(t), x(t), y't) et y(t) qu'on remplit pour t dans D E On peut si le calcul est pratique, ajouter une dernière ligne pour

y ' (t) dx qui donne la pente de la tangente à la (t )= dy x ' (t)

courbe en tout point. Identification des Branches infinies (une des coordonnées tend vers ∞) et des points stationnaires (x' et y' s'annulent). C4) étude des branche infinies Une branche infinie se produit quand l'une au moins des coordonnées de M(t), x(t) ou y(t) est non bornée quand t → a (a est une borne ouverte du domaine de définition) NB on verra aussi l'utilité des développements asymptotiques pour les branches infinies. Direction asymptotique : si lim t →a

y (t ) =m existe, alors la branche infinie a une direction asymptotique de pente m x (t)

(ou une direction asymptotique verticale si lim t →a

y (t ) =∞ ) x (t)

Branche parabolique ou droite asymptote Si l'une des deux coordonnées x(t) ou y(t) a une limite finie x₀ ou y₀ et l'autre coordonnée a une limite infinie quand t → a, on obtient une droite asymptote verticale (x = x₀) ou une droite asymptote horizontale (y = y₀) . Si la direction asymptotique est verticale ou horizontale et que x et y ont des limites infinies alors la branche infinie est une branche parabolique de direction verticale ou horizontale. Si lim t →a

y (t ) =m (réel ≠ 0 ) alors la direction asymptotique est « oblique ». x (t)

On recherche si la droite passant par M(t) de pente m a une limite quand t → a : Si elle existe, ce sera la Droite asymptote de la courbe pour cette branche infinie. On étudie la limite de l'ordonnée à l'origine b(t) = y(t) – m x(t) de la droite passant par M(t) de pente m Dans ce cas, si lim y(t)−m x (t )=b la courbe a une droite asymptote d'équation y=m x + b t →a

Dans ce cas, si lim y(t )−m x ( t )=± ∞ la courbe a une branche infinie parabolique de direction la droite de pente m t →a

C5) étude des points stationnaires - Point régulier lorsque

 dM ≠ 0 dt

Point singulier ou stationnaire lorsque

 dM = 0. dt

Arc de courbe régulier (tout point est régulier) . La tangente en un point régulier est dirigée par le vecteur

 dM . dt

Dtude locale en un point régulier ou stationnaire, tangente et position relative. 3 méthodes a) , b) ou c) a) Construction à partir de tableaux de variations (méthode des quadrants). Encadrement des variations dans le plan du point M donnés par extrema de x ou y: Méthode des quadrants(voir ci dessous*) Définition géométrique des points d’inflexion et de rebroussement. Obtention directe de la forme à l'aide du tableau de variations et la présence ou non d'un extremum sur x(t) et/ou y(t) b) Etude de la forme d'un point stationnaire selon les « entiers caractéristiques » obtenus par dérivation (cette méthode n'a en général qu'un intérêt théorique et limité dans la pratique, car elle demande souvent des calculs trop longs pour pouvoir être appliquée). On considère le développement limité de Taylor Young en un point stationnaire (t→ t₀) lorsque M(t) est dérivable plusieurs fois. k

d M (t 0) ≠ 0 dt k et q = le plus petit entier k >p tel que le k ième vecteur dérivé forme une famille libre avec le précédent

Les entiers caractéristiques sont p = le plus petit entier k tel que le k ième vecteur dérivé

(

p

k

)

d M d M (t 0 ) est libre ,(t 0) dt k dt p

La distinction entre rebroussement de 1ère ou 2ème espèce est en général inutile, il faut surtout identifier parmi les points stationnaires ceux qui sont des rebroussement et ceux qui ne le sont pas. c) Utilisation des développements limités non obtenus par dérivation, pour les études locales notamment des points stationnaires, et l'obtention des entiers caractéristiques. C6) Tracé

( ) ( )

dx dt dy = Construction à partir de tableaux de variations. Utilisation de la pente de la tangente dx dy dt de la pente de la droite tangente lorsqu'on peut l'évaluer (ou en faire la limite)

qui détermine la valeur

(*) « Méthode des quadrants » : dans le tableau de variations, en un point qui est souvent un point stationnaire (x0 = x(t0), y0= y(t0)), la présence ou non d'un extremum de x(t) et de y(t) place la courbe (en séparant si nécessaire t< t0 et t>t0 ) dans un des quatre quadrants limités par les droites x = x0, et y = y0 Si de plus on connaît la pente m0 = lim(dy/dx) en t0, le tracé de la courbe et la forme du point stationnaire se déduit automatiquement. en triant 4 cas possibles pour x : max en x0, min en x0 , croissant en x0 , décroissant en x0, et 4 cas pour y de même, et pour chacun de 16 cas, 2 ou 3 cas possibles de pente dy/dx = réel non nul, 0 ou infini selon les cas, cela fait en tout 40 cas de figure. D) Retour sur les notions de tangentes et asymptotes La droite Tangente est la droite obtenue en joignant deux points qui se rapprochent l'un de l'autre. C'est pourquoi on

( ) ( )

dy dt dy obtient la pente de la tangente via un calcul de dérivée. m= = dx dx dt

Une asymptote est une droite dont s'approche le point M(t) lorsqu'il s'éloigne vers l'infini. On l'obtient en cherchant si la droite (O M(t)) a une limite (la direction asymptotique de la branche infinie) - en fait cela donne le même résultat si on prend n'importe quel point A au lieu de O Il s'agit de la droite passant par O et de pente m=lim t → t0

y(t ) x(t )

Puis on cherche si la droite parallèle à cette direction asymptotique et passant par M(t) a une limite, en observant l'intersection avec l'un des axes (en général, l'ordonnée à l'origine b(t )= y (t)−m x ( t ) ) et cette droite limite est alors la droite asymptote. Généralisation Deux objets géométriques sont tangents en un point M si ce point est la position limite de plusieurs points d'intersection se rapprochant tous du point M : on parle de contact d'ordre k si c'est une racine d'ordre k de l' équation définissant l'intersection des deux objets. Un point de tangence est au moins d'ordre 2 (position limite de deux points d'intersection au moins). Deux objets géométriques sont asymptotes si la distance entre ces deux objets tend vers 0 lorsqu'un point sur l'un des objets parcourt une branche infinie. On peut donc avoir des paraboles asymptotes, des cercles asymptotes, etc Développements asymptotiques d'une fonction y = f(x) et application à l'obtention de courbes asymptotes Un développement asymptotique quand x→ x₀ (x₀ pouvant être fini ou infini) de f(x) est une égalité k =n

f ( x)= ∑ f k ( x)+o( f n ( x)) où les termes f k ( x) sont des fonctions non nulles et satisfont f k +1 ( x)=o( f k ( x)) k =0

quand x → x₀ f 0 ( x) est un équivalent de f(x ) quand x→ x₀

Exemples Semaine suivante : Enevloppes d'une famille de droites, Longueur d'un arc, courbure, théorème de relèvement, repère et formules de Frénet, développée....