Cuestionario Nº 3 - C2- Corregido MJY PDF

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

CUESTIONARIO Nº3-TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 y 6 LABORATORIO DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE (6217) DIQ – UNS Primer Cuatrimestre – 2021

COMISIÓN 2: ALMADA, SOFÍA DUMRAUF, JULIÁN GARCÍA, ROCÍO HEFFNER, FELIPE PÉREZ SALVAREZZA, NICOLÁS AGUSTÍN

Fecha de entrega: 03/06/2021

Problema 1 El equipo experimental consiste en una placa de aluminio calefaccionada a temperatura constante, a la cual se le inserta en uno de sus extremos una barra cilíndrica de aluminio de aproximadamente1 m de longitud y

3 8plg

de diámetro.

Figura 1. Esquema representativo del equipo experimental [1].

El trabajo práctico consiste en medir el perfil de temperatura ( T a distintas posiciones x ) y la temperatura ambiente (T ), para dos temperaturas de base (T = 182.1 °C y T = 128.5 °C) , una vez alcanzado el estado estacionario. Para ello, se consta de varias termocuplas tipo K insertadas a lo largo de la barra a diferentes espaciados y conectadas a un escáner de temperaturas. Luego se deben tabular dichos datos y determinar gráficamente el perfil de temperatura experimental de la aleta (T (ºC) vs. x (cm)). Suponiendo que la aleta de aluminio se comporta como una aleta de longitud infinita y utilizando la definición de exceso de temperatura, se deduce la ecuación de distribución de temperatura y se realiza un gráfico de ln

( ) vs θ

θ0

x (para cada temperatura de la base)

con el fin de poder determinar experimentalmente los coeficientes de transferencia de calor (hexp ( W )), la transferencia de calor total ( q(W )) y las eficiencias de la aleta ( η). m 2K Con las consideraciones necesarias, se elige un modelo de correlación adecuado para determinar teóricamente los coeficientes de transferencia de calor ( ht ( mW2 K)) para ambas temperaturas de la base y con ellos, el calor disipado q t(W ) y las eficiencias de la aleta ( η t ) teórica. Finalmente, en un único gráfico se determinan los perfiles teóricos de temperatura (T vs. x) y se los compara con los experimentales (para cada temperatura de la base) y se discuten los resultados.

1

Problema 2 A partir de termocuplas tipo K, se mide la temperatura axial T en diferentes puntos de la barra cilíndrica y la temperatura ambiente T ∞ , para dos temperaturas de base diferentes (T 0,1 y T 0,2 ). En la Tabla 1, se detallan los valores obtenidos. Tabla 1. Datos experimentales de temperatura para diferentes puntos

T 0,1 = 182.1 ºC T ∞ = 20.2 ºC T (ºC) x (cm)

T 0,2 = 128.5 ºC T ∞ = 20.4 ºC T (ºC) x (cm)

182.1

0

128.5

0

162.6

1

114.0

1

119.4

6

84.5

6

99.3

11

72.5

11

64.0

16

55.2

16

54.4

21

48.8

21

49.1

26

33.7

26

45.1

31

32.6

31

38.0

36

31.0

36

34.6

41

28.2

41

30.5

46

25.6

46

29.9

51

24.0

51

26.7

56

23.1

56

25.1

61

22.5

61

23.1

76

21.9

76

22.0

91

20.8

91

A partir de estos datos experimentales, se realizó un gráfico de T (ºC) vs x (cm) , para cada temperatura de base (Figura 2)

2

Figura 2. Gráfico de temperatura en función de la posición, a partir de los datos experimentales.

En este trabajo, se utiliza una superficie extendida de sección transversal Ac uniforme. Suponiendo conducción unidimensional en dirección x y en condiciones de estado estacionario, conductividad térmica k constante y coeficiente de transferencia de calor por convección h constante y uniforme y que no hay generación de calor ni radiación en la superficie, la ecuación de energía [1] queda determinada como:

d2T m2 · (T − T ∞) = 0 dx2 −

(Ecuación 1)

definiendo m como m=

h· P 1/ 2 ( k·A ) c

(Ecuación 2)

donde P es el perímetro de la sección transversal. Para simplificar la forma de la Ecuación 1, se modifica la variable independiente a partir de la definición de exceso de temperatura θ(x) θ(x) = T (x) − T ∞

(Ecuación 3)

Reemplazando esta definición en la ecuación de energía se obtiene

d2 θ m2 · θ = 0 dx2 −

(Ecuación 4)

La solución general para la Ecuación 4 puede escribirse como θ = C 1 · em·x + C 2 · e− m·x

(Ecuación 5)

donde C 1 y C 2 , son las constantes de integración.

3

Suponiendo que la aleta es infinitamente larga, las condiciones de borde para la Ecuación 5 son T (0) = T 0

(Ecuación 6.1 )

T (L) = T ∞

(Ecuación 6.2 )

A partir de la definición de exceso de temperatura, las condiciones de borde se traducen a θ(0) = θ0

(Ecuación 7.1 )

θ(L) = 0

(Ecuación 7.2 )

Con estas condiciones, se obtiene a partir de la Ecuación 5, que θ0 = C 1 + C 2

(Ecuación 8.1 )

0 = C 1 · em·L + C 2 · e−m·L

(Ecuación 8.2 )

Despejando C 2 de la Ecuación 8.1 y reemplazando en la Ecuación 8.2, quedan definidas las constantes como C1 = C 2 = θ0 ·

−θ 0·e −m·L em·L −e− m·L

( 1+

(Ecuación 9.1 )

e− m·L ) em·L −e−m·L

(Ecuación 9.1 )

Con estas definiciones, el perfil térmico queda definido como

θ e −m·L·e m·x+ e− m·L·e −m·x = − + e− m·x θ0 em·L − e−m·L

(Ecuación 10 )

Como se dijo anteriormente, la aleta es infinitamente larga, por lo que L → ∞ , y los exponenciales negativos del numerador se anulan. Finalmente, el perfil de temperatura queda definido como

θ − m·x θ0 = e

(Ecuación 11 )

Para obtener la expresión de la transferencia de calor total, se parte de que

dT q =− k·A c· dx ∣x=0

(Ecuación 12)

Reemplazando con la definición de exceso de temperatura, el calor queda definido como

dθ q =− k·A c· dx ∣x=0

(Ecuación 13)

4

Si se calcula la derivada de la Ecuación 11 y se utiliza la definición de m , la expresión final para la transferencia de calor es 12 q = (k·A c·h·P ) / ·θ 0

(Ecuación 14)

La eficiencia de la aleta η es la relación entre la transferencia de calor real a través de la aleta q y la transferencia de calor ideal q max si toda la superficie de la aleta estuviese a la temperatura de la base (Ecuación 15). η=

η=

q q max

(k ·Ac ·h·P )1/2 ·θ0 h·Ac ·θ0

(Ecuación 15)

(Ecuación 16)

Reacomodando la Ecuación 16, se tiene que la eficiencia de la aleta es

1 η = m·L

(Ecuación 17)

Para obtener el coeficiente de transferencia de calor experimental hexp se debe linealizar la Ecuación 11, resultando ln

( θθ ) = 0

−m·x

(Ecuación 18) de ln

( ) θ

θ0

vs x para cada temperatura de base (Figura 3).

Figura 3. Gráfico de ln (θ/θ0 ) en función de x a partir de los datos experimentales.

5

Sabiendo que la conductividad del aluminio para este caso es k = 237 W /m K [1] y que para la aleta, P = 2.99·10 −2 m y Ac = 7.13·10 −5 m 2 , con los valores obtenidos de pendiente, se reemplaza en la Ecuación 2 y se tienen los coeficientes de transferencia de calor experimentales. Para el caso de T 0,1 , el coeficiente es 2

hexp =

(5.55 1/ m) · 7.13·10−5 m2 · 237 W/ m K = 17.38 W /m2 K 2.99·10−2 m

Una vez calculados estos valores, se reemplaza en las Ecuaciones 14 y 17, para obtener la transferencia de calor total y la eficiencia de la aleta, para cada temperatura de base. Continuando con el ejemplo, se tiene que 1/ 2

2 q = (17.38 W /m2 K · 7.13·10− 5 m2 · 237 W /m K·2.99·10− m)

· 161.9ºC ·

1K

= 15.17 W

1 η = 5.55 1 m·1 m ·100% = 18.02 % / Los resultados se detallan en la Tabla 2. Tabla 2. Resultados obtenidos para cada temperatura de base

m (1/m)

hexp (W /m 2K )

q (W )

η (%)

T 0,1

5.55

17.38

15.17

18.02

T 0,2

6.32

22.54

11.54

15.82

A partir de los datos medidos de temperatura, se puede notar que, si bien las temperaturas de base son diferentes, en el final de la aleta son muy similares. Esto se traduce en un aumento en la transferencia de calor total y la eficiencia de la aleta, si se aumenta la temperatura de base ya que el cambio en la temperatura de la aleta es mayor. En cuanto a los coeficientes de transferencia de calor, resultan del mismo orden pero es mayor el resultado para una temperatura de base menor. Para determinar teóricamente el coeficiente de transferencia de calor ( ht ) por convección a ambas temperaturas de base, se considera un cilindro horizontal isotérmico para cada sección en que es dividida la aleta, por lo que se emplea la correlación de Churchill y Chu (Ecuación 19). NuD =

{0.60 +

2

0.387 · RaD1 /6 [1+(0.559 · P r −1)

9/ 16 8 /27

]

}

(Ecuación 19)

Donde NuD es el Nusselt medio (Ecuación 20), RaD el número de Rayleigh y P r el número de Prandtl. N uD =

hi · D k

(Ecuación 20)

6

hi es el coeficiente de transferencia de calor medio para cada sección. El RaD se calcula con la siguiente ecuación:

RaD =

g · β · (T m − T ∞) · D 3 ν·α

(Ecuación 21)

Donde g es la aceleración de la gravedad, β coeficiente de expansión térmica, D diámetro, ν viscosidad cinemática, α difusividad térmica, T m temperatura superficial media, T ∞ temperatura ambiente. Para realizar el cálculo, se debe asumir que la temperatura superficial media es uniforme en cada sección de la aleta y luego, con la Ecuación 22, se calcula la temperatura de film ( T film )

T film =

(T m + T ∞ ) 2

(Ecuación 22)

Con laT film se obtienen las propiedades del aire en cada sección de la aleta [1]. Si se considera gas ideal, β se calcula con la Ecuación 23.

1 β = T film

(Ecuación 23)

Con las Ecuaciones 19 y 20, se calcula un valor de hi en cada sección, para luego obtener el ht de la aleta mediante la siguiente ecuación: ht = Donde n

Σh i n

(Ecuación 24)

es el número de secciones en que está dividida la aleta.

En la Tabla 3 se encuentran los coeficientes de transferencia de calor calculados para cada temperatura de base.

7

Tabla 3. Coeficientes de transferencia de calor medio para ambas temperaturas de base.

T 0,1 Sección

T 0,2

hi (W /m2 K) hi (W /m2 K )

0

-

-

1

12.01

10.93

2

11.49

10.20

3

10.81

9.69

4

10.01

8.90

5

9.11

8.54

6

8.72

7.28

7

8.43

7.15

8

8.03

6.94

9

7.57

6.54

10

7.17

6.01

11

6.86

5.61

12

6.57

5.30

13

6.12

5.06

14

5.68

4.76

15

5.15

3.78

Una vez calculado el ht , se determina el valor de m (Ecuación 2), el valor teórico de la transferencia de calor de la aleta q t (Ecuación 14), y la eficiencia teórica de la aleta η t (Ecuación 17) para ambas temperaturas de base. Los resultados se presentan en la Tabla 4. Tabla 4. Resultados teóricos obtenidos para cada temperatura de base.

m (1/m)

ht (W /m2 K )

q t (W )

ηt (%)

T 0,1

3.82

8.25

10.45

26.16

T 0,2

3.55

7.11

6.48

28.17

En base a los resultados obtenidos para ambas temperaturas de base, el coeficiente de transferencia de calor teórico disminuye con respecto al experimental, al igual que el calor disipado. Sin embargo, la eficiencia de la aleta aumenta con respecto al experimental para ambas temperaturas de base. A pesar de esto, los resultados de eficiencia para todos los casos, son bajos. Si se observa nuevamente la Figura 2, se ve que para una longitud de aproximadamente 40 cm, los cambios en la temperatura comienzan a ser mínimos y por lo tanto, la transferencia de calor, también lo es. Esto resulta en eficiencias bajas. De todas

8

formas, esto no es un problema ya que no se busca maximizar la eficiencia, sino que la temperatura final de la aleta sea la del ambiente. Por último, se grafica el perfil teórico de temperatura ( T t vs. x ) para ambas temperaturas de base, los cuales se presentan en la Figura 4.

Figura 4. Perfiles de temperatura experimental y teórico para ambos casos.

En la Figura 4, se observa que los valores experimentales de temperatura para cada posición son inferiores a los valores obtenidos teóricamente. En la Tabla 5 se presentan las ecuaciones que caracterizan a cada perfil de temperatura tanto experimental como teórico, expresadas a partir de la ecuación de temperatura (Ecuación 11), donde x se encuentra en (cm) . Tabla 5. Ecuaciones de los perfiles experimentales y teóricos de temperatura.

T 0,1 (°C )

T 0,2 (°C) −2

x+

T ∞,1

T (x) = (T 0,2 − T ∞,2) e− 6.32·10

−2

x+

T ∞,1

T (x) = (T 0,2 − T ∞,2) e− 3.55·10

P erfil experimental

T (x) = (T 0,1 − T ∞,1) e− 5.55·10

P erfil teórico

T (x) = (T 0,1 − T ∞,1) e− 3.82·10

−2

x+

T ∞,2

−2

x+

T ∞,2

A continuación, se detalla un ejemplo de cálculo completo para la temperatura de base T 0,1 , siguiendo los pasos detallados anteriormente. A partir de los datos de la Tabla 1 y la Ecuación 22, se encuentra la T f ilm con la que se buscan las propiedades del aire las cuales se observan en la Tabla 6.

9

Tm =

(182.1 +162.6) °C = 172.35 °C 2

(172.35 + 20.2) °C = 96.28 °C = 369.43 K 2

T film =

Tabla 6. Propiedades del aire a T f ilm .

T film (K)

ν (m2 /s)

k (W /m · K )

α (m2 /s)

Pr

369.43

2.31 · 10-0.5

0.031

3.32 · 10 -0.5

0.696

Luego con la Ecuación 23 se calcula el valor de β y con la Ecuación 21 RaD

1 = 3.00·10 −3 K − 1 β= T film

Ra D =

9.8

· 0.003 K − 1 · (172.35 − 20.2) K · (0.01 m)3

m s2

2

2

2.31 10− 0.5 ms · 3.32 10−0.5 ms

= 4562.3

Una vez hallado el valor de Rayleigh se utiliza la ecuación de Churchill y Chu (Ecuación 19) para hallar el Nusselt y por último de la Ecuación 20 se despeja el coeficiente de transferencia de calor.

{

NuD =

0.60 +

− 1 9 /16 8/ 27

[1+(0.559 · (0.696) )

}

2

0.387 · (4562.3)1 /6

]

= 3.6

3.6 · 0.031 mW· K = = 12.01 m 2W· K 0.01 m

Problema 3 El trabajo práctico consiste en medir experimentalmente las presiones de descarga de cada bomba centrífuga (con la ayuda de manómetros de Bourdon conectados en la salida de cada bomba) para, posteriormente, ser transformadas en términos de altura de descarga H y calcular los caudales volumétricos Q (regulables mediante válvulas esféricas) con la ayuda de un medidor de volumen y un cronómetro. Luego se tabulan estos datos experimentales, para cada bomba y arreglo de bombas presentados en las Figuras 5 y 6, y se grafican las curvas características de las tres 3 bombas individuales (H (cm) vs. Q ( scm )) en un mismo gráfico con las ecuaciones de ajuste correspondientes para cada bomba individual y los valores de R2 .

10

Finalmente, se obtienen las curvas características teóricas de los arreglos de bombas, se las compara con las obtenidas experimentalmente y luego se discuten los resultados.

Figura 5. Representación esquemática del arreglo 1.

Figura 6. Representación esquemática del arreglo 2.

Problema 4 A partir de los datos experimentales, se graficó H (cm) vs. Q (cm 3 /s) (Figura 7) para las tres bombas y se obtuvieron las curvas características de cada bomba ajustando los datos por una función polinómica de segundo grado.

11

Figura 7. Datos experimentales de altura (H ) vs caudal (Q ) de cada una de las bombas.

Respecto a las curvas obtenidas, se puede concluir que este ajuste es adecuado puesto que el coeficiente de determinación R 2 para cada ecuación tiende a 1. Para el arreglo 1 (Figura 5), donde las tres bombas se colocan en serie, es posible calcular la alturaH de cada bomba en función del caudal Q , en base a las ecuaciones de ajuste calculadas anteriormente. H

1

= − 0.0024 · Q 2 − 0.8822 · Q + 1546

(Ecuación 25)

H

2

= − 0.0013 · Q 2 − 0.9447 · Q + 1828

(Ecuación 26)

= − 0.0004 · Q 2 − 0.4720 · Q + 1265

(Ecuación 27)

H

3

Puesto que la configuración de las bombas es en serie, la Ecuación 28 define que para este tipo de arreglo los caudales son constantes, en tanto la Ecuación 29 permite calcular la altura total para el sistema a partir de la suma de las alturas individuales de cada bomba. Q1 = Q2 = Q3 H

serie

= ΣH

i

(Ecuación 28 ) (Ecuación 29 )

donde resulta, H = − 1.7 · 10 −3 · Q 2 − 1.4167 · Q + 3093

(Ecuación 30 )

12

Luego, obtenidos los valores de altura total para el arreglo en serie (Tabla 7), se grafican junto con los datos experimentales en función del caudal dado (Figura 8) Tabla 7. Valores de caudal (Q ) y altura (H ) experimental y teórico para el arreglo 1.

Q(cm3 /s)

H teórico (cm)

H experimental (cm)

0

4839.00

4640

240

4051.10

3867

430

3092.38

3093

580

2126.39

2320

670

1458.24

1546

Figura 8. Curvas experimental y teórica para el arreglo 1.

Respecto al arreglo 2, en este caso la disposición de las bombas se representa en la Figura 6, donde las bombas B2 y B3 están en paralelo, y la bomba B1 se encuentra...