Das Pascalsche Dreieck - Theorie PDF

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Die Erläuterung des Pascalschen Dreiecks wurde zusammengefasst....

Description

Gliederung Fachreferat

„Das Pascalsche Dreieck“ -Mathematik-

1. Was man unter dem Pascalschen Dreieck versteht - Pascalsches Dreieck – kapiert.de, 21.12.2020. - Pascalsches Dreieck – lernen mit Serlo!, 21.12.2020.

2. Geschichtlicher Überblick - HessAusarbeitung.pdf (h-da.de), 21.12.2020 - C:/Dateien/Arbeit/Rho/Pascalsches Dreieck 9+10/Seminar.dvi (uni-rostock.de) , 22.12.2020.

3. Überblick über Anwendung des Pascalschen Dreieck im Zusammenhang mit der Binomischen Formel - Das Pascalsche Zahlendreieck - Fachbereichsarbeit (dokumente-online.com), 21.12.2020.

4. Überblick über Anwendung des Pascalschen Dreieck im Zusammenhang mit den Binomialkoeffizienten - Binomialkoeffizient (frustfrei-lernen.de), 21.12.2020. - Binomialkoeffizient | MatheGuru, 21.12.2020.

5. Zusammenhang mit dem binomischen Lehrsatz - variable_binomischer_lehrsatz_binomialkoeffizienten.pdf (mathe-online.at), 21.12.2020. - https://www.mathebibel.de/kombinatorik, 21.12.2020. - C:/Dateien/Arbeit/Rho/Pascalsches Dreieck 9+10/Seminar.dvi (uni-rostock.de) , 21.12.2020.

6. Besonderheiten des Pascalschen Dreiecks - Pascalsches Dreieck – kapiert.de, 22.12.2020.

1. Was versteht man unter dem Pascalschen Dreieck?

Das Pascalsche Dreieck ist ein Schema von Zahlen, die in Dreiecksform angeordnet sind. Es kann beliebig weit nach unten erweitert werden. „leeres“ Dreieck einfügen Innerhalb dieser Erkenntnis sind zwei unterschiedliche Schreibweisen vertreten. Die erste und einfachere Darstellung des Pascalschen Dreiecks ist jedem von uns bereits in der 8. Oder 9. Jahrgangsstufe begegnet, wo genau werde ich gleich erläutern. Hierbei gilt die These: „Addiere zwei Nachbarn einer Reihe, so erhältst du den zwischenliegenden Wert der nächsten Reihe.“ Dabei muss in der ersten Zeile eine Eins stehen und in den folgenden Zeilen jeweils das erste und letzte Glied aus der Zahl Eins bestehen. Somit ergibt sich diese gra

Zahlen einfügen

Beginnend bei 1 folgt die Zahl 1 an erster und letzter Stelle in der nächsten Reihe. 1 und 1 ergibt zwei. Und an erster und letzter Stelle wird die Zahl 1 übernommen Es folgt 1, 1+2=3, 2+1=3 und 1. Anschließend bleibt an erster und letzter Stelle die Zahl 1 und aus 1+3=4, aus 3+3=6 uns aus 3+1=4

2. Geschichtlicher Überblick Die früheste detaillierte Darstellung eines Dreiecks von Binomialkoeffizienten erschien im 10. Jahrhundert in Kommentaren zur Chandas Shastra, einem indischen Buch zur Prosodie des Sanskrit. Hier wurde das Dreieck verwendet, um Beziehungen zu den „Stufen des Berges Meru“ herzustellen. Vom indischen Mathematiker Bhattotpala (ca. 1068) sind die ersten 17 Zeilen des Dreiecks überliefert. Annähernd zur gleichen Zeit wurde das pascalsche Dreieck im Nahen Osten von al-Karadschi (953– 1029), as-Samaw'al und Omar Chayyām behandelt und ist deshalb im heutigen Iran als ChayyāmDreieck bekannt. Es waren schon verschiedene mathematische Sätze zu Dreieck bekannt, unter anderem der binomische Lehrsatz. Chayyam hat ziemlich sicher mit Binomialkoeffizienten gerechnet.

Im 13. Jahrhundert präsentierte Yang Hui das arithmetische Dreieck, das mit dem pascalschen Dreieck identisch ist. Im einem Buch wurde es 1303 so beschrieben (Bild). In China wird es deshalb heute noch Yang-Hui-Dreieck genannt. Peter Apian veröffentlichte das Dreieck 1531/32 auf dem Titelbild seines Buchs über Handelsberechnungen, dessen frühere Version von 1527 den ersten schriftlichen Nachweis des pascalschen Dreiecks in Europa darstellt.

Damals war es allgemein unter anderen Namen bekannt, denn den Namen bekam es erst im 18. Jahrhundert von Pierre Raymond de Morntmort und Abraham de Moivre verliehen. Er geht auf Blaise Pascal zurück, der 1655 sein Buch ¨ ” Trait´e du triangle arithmetique“ (Abhandlungen über das arithmetische Dreieck) veröffentlichte, welches hauptsächlich von Wahrscheinlichkeitstheorie

handelte. Blaise Pascal war ein französischer Mathematiker, der im 17. Jahrhundert lebte. Er beschäftigte sich u.a. auch mit Physik und christlicher Philosophie. Neben dem Pascalschen Dreieck sind beispielsweise auch die physikalische Einheit des Drucks und eine Programmiersprache nach ihm Zeitstrahl mit Bildern

3. Überblick über Anwendung des Pascalschen Dreieck im Zusammenhang mit der 1. Binomischen Formel Anwendung Binomische Formeln in der 8. / 9. Klasse Uns ist bekannt: 1. Binomische Formel: Sehen wir uns jetzt nochmal das Pascalsche Dreieck an, so fällt auf, dass die Zahlen in dieser Zeile erstaunlicherweise gerade die Vorfaktoren sind, die in der ausmulitplizierten Form der Formel auftreten. Vorfaktor heißt hier der Zahlenwert vor den Variablen a und b. Und warum ist das jetzt genau in der zweiten Zeile? Hierfür nummerieren wir zunächst die ersten Zeilen bei Null beginnend. Dies entspricht dann n der Form (a+b)n, also des Exponenten der Basis a+b. Graphik einfügen mit Zeilennummerierung In der Nullten Zeile steht also ausmultipliziert: (a+b)0=1, weil hoch 0 = 1 In der ersten Zeile (a+b)1= 1a+ 1b, weil hoch 1 kann man sich sparen Zweite Zeile ist 1. Binomische Formel Dass dies für die erste Binomische Formel gelingt, wissen wir nun jetzt. Um herauszufinden, ob dies mit weiteren Binomen höheren Grades auch funktioniert, also mit (a+b)3,… und um herauszufinden, wie sich die Exponenten der Basis a und b ergeben, führen wir jetzt den Binomialkoeffizienten ein.

4. Überblick über Anwendung des Pascalschen Dreieck im Zusammenhang mit den Binomialkoeffizienten Der zweite Lösungsweg, um die Glieder des Dreiecks zu erhalten, ist die Schreibweise in Binomialkoeffizienten. Die Einträge des Pascalschen Dreiecks entsprechen den sogenannten Binomialkoeffizienten aus der Kombinatorik. Dieser Binomialkoeffizient (n k ) (gesprochen: n über k oder auch n aus k) gibt an wie viele k-elementige Teilmengen eine Menge mit n unterschiedlichen Elementen hat. Anders gesagt: auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann. Der Versuch wird dabei ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge durchgeführt. Darstellung n über k einfügen und Menge k und n veranschaulichen Wir können uns z.B. eine Urne mit n unterschiedlichen Kugeln vorstellen (hier 11) aus der wir k Kugeln ziehen (hier 4). Der Binomialkoeffizient (nk) gibt dann an wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn uns die Reihenfolge der gezogenen Kugeln egal ist. Es interessiert uns also nur welche Kugeln wir gezogen haben und nicht welche Kugel wir zuerst (an zweiter Stelle u.s.w.) gezogen haben.

Teilmenge k und Menge n in Urne darstellen Noch ein Beispiel: Beim Lotto muss man genau die richtigen 6 Zahlen aus einer Auswahl von 49 Zahlen wählen. Die Menge n wären hier die 49 Zahlen und die Menge k die 6 richtigen Zahlen. Somit ergibt sich der Binomialkoeffizient 49 über 6, oder 6 aus 49 Lottoschein darstellen… Nachdem jetzt die Frage geklärt ist, was Binomialkoeffizienten sind, folgern wir jetzt de Zusammenhang dessen mit dem Pascalschen Dreieck. Im Pascalschen Dreieck kann man direkt die Binomialkoeffizienten ablesen. Dazu nummeriert man die Kästchenzeilen (vertikal) und Kästchenspalten (horizontal) m beginnend. Der Wert von n über k steht in der n-ten Zeile im k-ten Kästchen. Vom Grundgerüst entsteht annähernd dieselbe Form wie im Zusammenhang mit den Binomischen Formeln. Graphik einfügen mit Zeilen-/Spaltennummerierung Warum? Eine Möglichkeit, den Zusammenhang des Pascalschen Dreiecks mit den Binomialkoeffizienten zu sehen, ist, sich vorzustellen, man stünde auf dem obersten Kästchen und wolle ein bestimmtes Kästchen erreichen, wobei man sich nur kästchenweise und immer nur abwärts bewegen darf. Dann entspricht in jedem Kästchen die Zahl darin genau der Anzahl der verschiedenen kürzesten Wege dorthin. Graphik einfügen Beispiel: Um vom Startpunkt aus zu dem Kästchen mit der 2 zu kommen, gibt es genau 2 Wege dorthin um vom Startpunkt aus zu dem Kästchen mit der 4 zu kommen, gibt es genau 4 Wege dorthin Denn zu einem bestimmten Kästchen kann man nur über eines der beiden darüber gelangen, man darf sich ja nur abwärts bewegen. Die Gesamtanzahl der Wege zu diesem Kästchen ist also die Summe der Anzahl der Wege zu den beiden darüber. Das ist aber genau die Art und Weise, wie das Pascalsche Dreieck konstruiert ist! Deshalb kann man die Anzahl der Wege auch über den Binomialkoeffizienten berechnen. Auf dem Weg nach unten in die n-te Zeile (mit 0 angefangen zu zählen!) trifft man nämlich n-mal die Entscheidung, nach links unten oder rechts unten zu gehen. Will man in einer Zeile dann zum k-ten Kästchen von links (wieder von 0 an) gelangen, muss man sich genau k mal für "rechts" entschieden haben. Die Wege unterscheiden sich also nur darin, an welchen Stellen man sich für "rechts" entschieden hat. Zum Abzählen muss man also nur die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, aus n Stellen k Stellen auszuwählen (die "rechts"-Schritte). Das ist dann aber genau eine der wichtigsten Anwendungen des Binomialkoeffizienten Beispiel: Kästchen mit der 10 (in Graphik darstellen) 5 über 2 (5 runter, 2 nach rechts), oder 5 über 3 (5 runter, 3 nach rechts) Die Zahlen im Pascalschen Dreieck lassen sich also einerseits rekursiv (bis zu bekannten Werten zurückgehend) über die Summe der darüberliegenden Kästchen berechnen, oder direkt mithilfe des Binomialkoeffizienten.

Dies sieht angewendet im Pascalschen Dreieck folgendermaßen aus: 0 über 0, 1 über 1, 1 über 1. Dann 2 über 0, 2 über 1, 2 über 2 und so weiter. In Graphik darstellen Und was bringen uns diese Werte jetzt? Also grundsätzlich vielen von uns erst einmal recht wenig. Wir kennen die Binomialkoeffizienten von der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wir erinnern uns, dass dieses n über k die gegebenen Möglichkeiten angibt, aus einer Menge n k Objekte auszuwählen. Um aber eine Wahrscheinlichkeit auszurechnen, braucht man im Zusammenhang mit dem Binomialkoeffizienten zum Beispiel noch die Bernoulli-Formel. Doch auf diese möchte ich jetzt gar nicht weiter eingehen. Was wir aber auch wissen ist, wie man Binomialkoeffizienten in „natürliche“ Zahlen umwandelt. Binomialkoeffizienten lassen sich wie bekannt durch diese Formel lösen:

Wie kommt man auf die Formel? Allgemein besteht die Formel :

Man multipliziert n * abstufend mit der Differenz n-1, n-2 ,… bis man bei n=k angekommen ist. Im Nenner multipliziert man auch k mit k-1, k-2, … bis k=1 Nun zurück zu dem Beispiel mit der Urne. Ich ziehe 4 Kugeln aus einer Urne mit 11 verschiedenen Kugeln. Dann habe ich 11 über 4 Rechnen an der Tafel allgemeine Formel aufstellen um in die Formel einsetzen zu können, berechnen wir zuerst die Randwerte im Zähler.  n=11

und n-k+1= 11-4+1=8

in der Formel: 11 * 10 * 9 * 8 / 4 * 3 * 2 * 1 Diese Formel eignet sich zum Rechnen manchmal nicht besonders gut.Einfacher wäre es, wenn man hier oben immer weiter zählen würde, bis man bei der 1 angekommen ist. (Beim Beispiel anfügen). Doch dann stimmt die Zahl nicht mehr, weil ich viel zu weit gezählt habe. Deshalb muss ich hier unten alles, was ich hier oben dazumultipliziert habe auch multiplizieren, sodass sich dies wegkürzt. (am Beispiel zeigen) Was hat mir das gebracht? Oben steht jetzt bis 1 alles durchmultipliziert, weshalb ich 11! Schreiben darf. Unten steht 4! (4-1), da ich k ohnehin bis zum Wert 1 mulitpliziere und 7! (11-4), da dies die Werte sind, die ich wieder weggekürzt hätte! =330 Somit kann man bei der allgemeinen Form auch diese bekannte Form hinschreiben. Dadurch ist es bei großen n-Werten nicht nötig, das Pascalsche Dreieck dementsprechend weit auszuführen.

Der Binomialkoeffizient n k entspricht also dem (k + 1)-ten Eintrag in der n-ten Zeile (beginnend mit der 0-ten Zeile, deswegen +1). Die Bildungsvorschrift des Pascalschen Dreiecks lässt sich dann als

schreiben. So addiert man also zwei benachbarte Binomialkoeffizienten. Doch diese Formel betrachten wir auch nicht weiter, da diese in einem anderen Referat bewiesen wird. Auch wenn die Produkte im Zähler und Nenner bei der vorher gezeigten Form zu mehr Werten führen, erweist sich diese Form oft als nützlich, um Beziehungen zwischen den Binomialkoeffizienten zu finden. Insgesamt stehen also – mit dem Pascalschen Dreieck sowie mit den Formeln und Binomialkoeffizienten zu berechnen.

mehrere Möglichkeiten zur Verfügung,

Beispiel Urne: beide Formeln ergeben Wert 330 und wenn wir uns dieses weitausgeführte Pascalsche Dreieck ansehen, entdecken wir in der 11. Zeile an 4. Stelle auch die Zahl 330. Im Pascalschen Dreieck darstellen (von Binomialkoeffizient wird Zahl 330) Wenn man diese Binomialkoeffizienten jetzt ausrechnet, so ergeben sich genau die Zahlen an der jeweiligen Position, die in der vorher erläuterten Darstellung zu sehen waren. (Darstellung von Binomialkoeffizienten im Vergleich zu vorheriger Darstellung aus Binomialkoeffizienten wird Zahl entspricht den Zahlen rechts). Dies beweist, dass beide Darstellungen korrekt sind und einander entsprechen. Für die Auflösung ersten Stellen im Pascalschen benötigt man noch keine Formel. 0 über 0 ist 1, da ich genau eine Möglichkeit habe, o auszuwählen 1 über 0 und 1 über 1 sind ebenfalls 1, da ich auch hier nur eine Möglichkeit habe, von einem Objekt auszuwählen Das gleiche bei 2 über 0. 2 über 1= 2 (Beweis: ausrechnen) usw.

5. binomischer Lehrsatz Nun erinnern wir uns daran, dass die Binomialkoeffizienten im Zusammenhang mit den Potenzen (a + b)n auftreten, da ja die Binomialkoeffizienten den „einfachen“ Zahlen entsprechen. Wie man die Vorfaktoren von (a+b)2 aus dem Pascalschen Dreieck ablesen kann, wissen wir bereits. Wir erinnern uns: Zeilen von 0 beginnend nummerieren und dann die Binomialkoeffizienten in der zweiten Zeile ablesen. Dieses Vorgehen kann man auch für jede andere beliebige Potenz (a+b) n anwenden. Nun fehlt aber noch die Information über die jeweiligen Exponenten von a und b in der ausmultiplizierten Form. Bei der ersten Binomischen Formel wissen wir, dass zuerst ein a 2 kommt, dann a1b1 und zuletzt b2. Doch wie sieht es zum Beispiel bei (a+b)3 aus? Tatsächlich beinhaltet das Pascalsche Dreieck auch diese Information. Hierfür benötigen wir eine Nummerierung innerhalb der Zeilen. Das ist etwas komplizierter, aber doch immer das gleiche Prinzip.

Die ausmultiplizierte Form von (a + b) n ist eine Summe von n + 1 Termen, beginnend mit an (was wir auch als an b0 lesen können), danach ein Term vom Typ Vorfaktor · an−1 b1, danach ein Term vom Typ Vorfaktor · an−2 b2 , usw., bis wir beim letzten Term a0bn angelangt sind. Was man von n abzieht entspricht k. Genauso entspricht der Exponent von b k. Die erste Position bestimmt an-0, die zweite an-1, die dritte an-2, … Das „erste“ a hat also die Exponent n des Binoms (a+b)n. Darauffolgend wird immer -1 gerechnet, bis n=0. Bei der Variablen b hingegen geschieht dies genau umgekehrt. Das erste b hat den Exponent 0. Dann wird immer 1 dazugezählt, bis man bei dem Exponent n angelangt ist. Spaltennummerierung zur Graphik hinzufügen Das heißt im Beispiel von der nullten Zeile lässt sich das wie folgend darlegen: Rechnen an der Tafel WICHTIG! Hier geht es um die Exponenten von a und b (a+b)0 : n=0  hier braucht man nicht weiterrechnen, da „Hoch 0“ 1 ist und somit kein Exponent von a und b vorkommen.  Ergebnis: 1 (a+b)1 : n=1  auch hier ist es einfach, da wir die Summe einfach abschreiben dürfen. Warum?  a1-0b1-1-+ a1-1b1-0 (a+b)2 : n=2  a2b2-2+ a2-1b2-1 + a2-2b2 a2+ab+b2 Bei diesen zwei Zeilen mussten wir auch noch keine Vorfaktoren beachten, da es sich hier nur um Einsen handelt, die wir, wie wir wissen, zur Vereinfachung weglassen dürfen. Ab der 2. Zeile jedoch müssen wir auf die Vorfaktoren Acht geben. Somit sind wir hier noch nicht fertig. Wir haben jetzt die Exponenten herausgefunden, doch nun ergänzen wir noch die Vorfaktoren der Basis (a+b). Die Binomialkoeffizienten 1, 2 und 1 entsprechen den Vorfaktoren der ausmulitplizierten Form (a+b) 2 Wir können somit bereits ergänzen: (zuerst: 2 über 0, 2 über 1, 2 über 2, dann: ) 1 a2 + 2 ab + 1 b2 Und schon ergibt sich die bekannte binomische Formel, so wie sie jeder von uns sofort erkennt.

Dies kann man mit beliebigen Exponenten weiterführen: (a+b)3=… ; (a+b)5=… n=3 also 3. Zeile und der Term (a+b)3 a3b0+ a2b1 + a1b2 + a0b3 a3+a2b+ab2+b3 n=3 also Vorfaktoren der 3. Zeile: 1*a3*b0 + 3*a2*b1 + 3a1*b2 + 1*a0*b3

und n=5 …. Auf diese Weise kann man sämtliche Summen von a und b mit dem Exponent n mit n ∈ N auf einfache Weise herausfinden. Und zwar mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes.

Die in (4.1) auftretenden Exponenten von a und b addieren sich in jedem der Summanden zu n. Im Beispiel: n=2 a2b0 = Exponent 2; 2a1b1 = Exponent 2 (1+1); b2 = Exponent 2 a3b0 = 3, a2b1 = 3; a1b2 = 3; a0b3 =3 Allgemein: (a+b)n= (n0)an + (n1) an-1b + (n2) an-2b2 + … + (nn-1) a bn-1 + (nn) bn Wegen (n0) = (nn) = 1 sind die Vorfaktoren von a n und b n beide gleich 1. (Sie entsprechen den Einsern am Rand des Pascalschen Dreiecks.) Die allgemeine Formel … ist der binomische Lehrsatz. Er kann unter Verwendung der Summenschreibweise auch kurzer durch die Formel ¨

ausgedruckt werden. Das Summenzeichen ist ein großes Sigma in Kurzschreibweise und bedeutet, dass wir für alle natürlichen Zahlen k von 0 bis k=n die entsprechenden Ausdrucke aufsummieren. Durch diese Erkenntnis erkennen wir nun, warum der binomische Lehrsatz so eng mit dem Pascalschen Dreieck verwoben ist. Die benötigten Binomialkoeffizienten liefert das Pascalsche Dreieck im Zusammenhang zur Anwendung dessen mit den binomischen Formeln. Eine direkte Folgerung aus dem binomischen Lehrsatz ist, dass die Zeilensummen des Pascalschen Dreiecks die Zweierpotenzen sind

6. Besonderheiten - Zeilensumme Bildet man die Summe der einzelnen Zeilen, so erhält man Zahlenfolge. Achtung: Hierbei ist es wichtig, dass die oberste Zeile die Nullte ist. Zeile 0: 1=11=1 Zeile 1: 1+1=21+1=2 Zeile 2: 1+2+1=41+2+1=4 Zeile 3: 1+3+3+1=81+3+3+1=8 Zeile 4: 1+4+6+4+1=161+4+6+4+1=16 …… Ihr erkennt jetzt bestimmt, dass sich die Summe der Zahlen von Zeile zu Zeile verdoppelt. Wenn du im Pascalschen Dreieck als Index nn den Exponenten des Binoms (a+b)(a+b) wählst, so kannst du das allgemeine Bildungsgesetz für die Summe SS der Zahlen aus dem folgenden Schema erkennen:

Wenn nn der Exponent des Binoms (a+b)^2 ist, so lautet das Bildgesetz für die Zeilensumme SS der Zahlen S=2nS=2n. Beispiele: 20=120=1 (beachte die Festsetzung: jede Zahl hoch 00 ergibt 11) oder 23=2⋅2⋅2=8

- Viele Wege führen zum Ziel

Diese Besonderheit habe ich vorhin bereits erläutert, um die Binomialkoeffizienten anhand des Pascalschen Dreiecks zu erklären. Aber nun nochmal. Man betrachtet das nullte Element in der nullten Zeile, also die 1 als Startpunkt. Nun zählt man die Wege von oben nach unten zu einem beliebigen Feld. In diesem Beispiel die Nummer vier. Die Zahl in dem Kästen zeigt, mit wie vielen Wegen man am schnellsten zum Ziel kommt. Hier könnte nun auch der Binomialkoeffizient 4 über 3 stehen.

- Teilbarkeitsmuster von Zahlen Es werden nun die Zahlen im Pascalschen Dreieck markiert, die gerade sin durch 22 teilbaren Zahlen. Dies wird in einem Wabendiagramm dargestel Es entstehen offenbar lauter Dreiecke, die zum Originaldreieck umgekehr orientiert sind. Außerdem liegt eine Achsensymetrie aufgrund des Aufbau des Pascalschen Dreiecks vor. Die Symmetrieachse ist hierbei genau die Mitte zwischen der nullten Zeile.

-Quadratzahlen Für diese Besonderheit eignet sich eine andere Darstellung der Zahlen des Pascalschen Dreiecks besser:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Wir betrachten jetzt die 2. Spalte mit der Zahlenfolge 1,3,.6.10.15 Addiert man in der Spalte je zwei aufeinanderfolgende Zahlen, also 1+3 oder 3+6 oder 10+15, erhält man eine Quadratzahl.

- Fibonacci-Zahlen

Schau dir die durch die Diagonalen markierten Zahlen an und bilde jeweils die Summe. Es entsteht wieder eine Zahlenfolge, die sogenannte Fibonacci-Folge: 1,1,2,3,5,8,…1,1,2,3,5,8,…. Jede Fibonacci-Zahl ergibt sich als Summe der beiden vorhergehenden Fibonacci-Zahlen. Auch diese Zahlenfolge hat e...