Deducción de la ecuación de Bernoulli - Dinámica de fluidos PDF

Preview

Summary

En dinámica de fluidos, el principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica ( 1738)...

Description

Deducción de la ecuación de Bernoulli dW =p 1 A1 ds 1− p2 A 2 ds 2=( p1− p 2 ) dV dW : : Trabajo neto efectuado sobre el elemento por el fluido circundante durante este desplazamiento. A1

y A2

p1 y

: Son las áreas transversales en los dos extremos.

p2 : Presiones en los dos extremos.

ds 1 : Distancia entre los puntos a y b ds 2 : Distancia en los puntos de c y d. dV : Volumen del fluido.

1 dK = ρdV ( v 22−v12 ) 2 dK : Cambio neto de energía cinética. v1 y

v 2 : Velocidad en los puntos 1 y 2 dU =ρ dV g ( y 2 − y 1 )

dU : Cambio neto de energía potencial. ρ : Densidad g : Gravedad y1 y

y 2 : la altura de los puntos 1 y 2

dW =dK +dU Reemplazamos:

1

( p1− p2) dV = 2 ρdV ( v 2−v1 ) + ρ dV g ( y 2 − y 1 ) 2

2

1 ( p1− p2) dV = ρdV ( v22−v12) + ρ dV g ( y 2 − y 1 ) 2 1 p1− p2= ρ ( v 22−v21 ) + ρg( y 2− y 1 ) 2 1 1 p1− p2= ρ v22 − ρ v 12+ ρg y 2− ρg y 1 2 2 1 1 2 p1+ ρ v 1 + ρg y 1= p 2+ ρ v22 + ρg y 2 2 2 1 p+ ρgy+ ρ v 2=constante 2

A ×ds = dV

Si el fluido no se mueve (de manera que v 1= v 2=0 ), la ecuación de Bernoulli se reduce a la relación de presión que dedujimos para un fluido en reposo.

Teorema de Torricelli Partimos de la ecuación de Bernoulli

1 1 p1+ ρ v 12+ ρg y 1= p 2+ ρ v22 + ρg y 2 2 2 Tenemos como datos:

p 1 = p0 p2= patm y=0 en el tubo de salida

Tomamos

y 1=h

y 2=0

y

A 1 > A2

, entonces el nivel de la gasolina baja con mucha lentitud, entonces v 1=0 Entonces:

1 1 p0 + ρ v 12 + ρg h= patm + ρ v 22 +ρg(0) 2 2 2

2

v 2=v 1 +2

( p −ρp ) +2 gh atm

0

Sabiendo que

v 1=0 :

p −p ( √ ρ )+2 gh

v 2= 2

0

atm

Si la rapidez de salida ( v 2 ) depende de la diferencia de presión ( p0− patm ) como de la altura h

del líquido del tanque. Si el tanque está abierto por arriba entonces p0− patm =0 .

v 2= √2 gh Si:

dV =v 2 A 2 dt Por lo tanto:

dV =A 2√ 2 gh dt

p0= patm ;...