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Principio de Bernoulli En dinámica de fluidos, el principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) 1 y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el Esquema del principio de Bernoulli fluido permanece constante a lo largo de su 2 (Ch.3) 3 (§ 3.5) recorrido. Aunque Bernoulli dedujo que la presión disminuye cuando aumenta la velocidad del flujo, fue Leonhard Euler quien derivó la ecuación de Bernoulli en su forma habitual en 1752.4 5 El principio solo es aplicable a los flujos isentrópicos,es decir, cuando los efectos de los procesos irreversibles, como la turbulencia, y los procesos no adiabáticos, como la radiación de calor, son pequeños y pueden despreciarse. El principio de Bernoulli se puede aplicar a varios tipos de flujo de fluidos que dan como resultado varias formas de la ecuación de Bernoulli por lo que hay diferentes formas de la ecuación de Bernoulli para diferentes tipos de flujo. La forma simple de la ecuación de Bernoulli es válida para flujos incompresibles, como la mayoría de los flujos de líquidos y gases que se mueven a un bajo número de Mach. Se pueden aplicar formas más avanzadas a flujos compresibles a números de Mach más altos (consulte las derivaciones de la ecuación de Bernoulli). El principio de Bernoulli puede derivarse del principio de conservación de la energía. Esto indica que, en un flujo constante, la suma de todas las formas de energía en un fluido a lo largo de una línea de flujo es la misma en todos los puntos de esa línea. Esto requiere que la suma de la energía cinética, energía potencial y energía interna permanezca constante.3(§ 3.5) Por lo tanto, un aumento en la velocidad del fluido, que implica un aumento en su energía cinética, es decir, de la presión dinámica, conlleva una disminución simultánea en la suma de su energía potencial — incluida la presión estática— y energía interna. Si el fluido sale de un depósito, la suma de todas las formas de energía es la misma en todas las líneas de corriente porque en un depósito la energía por unidad de volumen —la suma de la presión y el potencial gravitacional ρ g h— es la misma en todas partes.6(Ejemplo 3.5)

Flujo de aire a través de un medidor de Venturi. La energía cinética aumenta a expensas de la presión del fluido , como lo demuestra la diferencia de altura de las dos columnas de agua.

Video de un medidor de Venturi usado en un experimento de laboratorio.

El principio de Bernoulli también puede derivarse directamente de la Segunda Ley del Movimiento de Isaac Newton. Si un pequeño volumen de fluido fluye horizontalmente desde una región de alta presión a una región de baja presión, entonces hay más presión detrás que en el frente. Esto le da una https://es.wikipedia.org/wiki/Principio de Bernoulli

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fuerza neta al volumen, acelerándolo a lo largo de la línea de corriente.nota 1 7 nota 2 8 nota 3 9 Las partículas fluidas están sujetas únicamente a la presión y su propio peso. Si un fluido fluye horizontalmente y a lo largo de una sección de una línea de corriente, donde la velocidad aumenta, solo puede ser porque el fluido en esa sección se ha movido desde una región de mayor presión a una región de menor presión; y si su velocidad disminuye, solo puede ser porque se ha movido de una región de presión más baja a una región de presión más alta. En consecuencia, dentro de un fluido que fluye horizontalmente, la velocidad más alta ocurre donde la presión es más baja, y la velocidad más baja ocurre donde la presión es más alta.10

Simulación numérica del efecto, se puede ver como aumenta la velocidad en el centro del conducto, donde la sección es menor.

Índice Ecuación de flujo incompresible Forma simplificada Aplicabilidad de la ecuación de flujo incompresible al flujo de gases Flujo de potencial inestable Ecuación de Bernoulli con fricción y trabajo externo Ecuación de flujo compresible Flujo compresible en dinámica de fluidos Flujo compresible en termodinámica Derivaciones de la ecuación de Bernoulli Aplicaciones del principio de Bernoulli Malentendidos sobre la generación de sustentación Aplicaciones erróneas del principio de Bernoulli en demostraciones comunes en el aula Véase también Notas Referencias

Ecuación de flujo incompresible En la mayoría de los flujos de líquidos y de gases con un número de Mach bajo, la densidad de una parcela de fluido puede considerarse constante independientemente de las variaciones de presión en el flujo, por lo que se puede considerar que el fluido es incompresible. Estos flujos se denominan flujos incompresibles. Bernoulli realizó sus experimentos con líquidos, por lo que su ecuación en su forma original es válida solo para flujo incompresible. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido;| https://es.wikipedia.org/wiki/Principio de Bernoulli

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Potencial o gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea; Energía de presión: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee. La siguiente ecuación conocida como "ecuación de Bernoulli", consta de estos mismos términos.

donde: = velocidad del fluido en la sección considerada. = densidad del fluido. = presión a lo largo de la línea de corriente. = aceleración gravitatoria. = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:3(p265) Viscosidad (fricción interna) = 0. Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido. Caudal constante. Flujo incompresible, donde ρ es constante. La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo laminar. Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler. Un ejemplo de aplicación del principio se da en el flujo de agua en tubería.

é á

ó

También se puede reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por (peso específico). De esta forma, el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica, y los términos de presión y altura se agruparán en la presión estática.

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Esquema del efecto Venturi.

ó

ó

á

á

o escrita de otra manera más sencilla:

donde:

es una constante. Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:

í

é í

í

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En una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos. Pese a que el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía realmente se deriva de la conservación de la cantidad de movimiento. Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución de la presión. Este efecto explica por qué las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que está en movimiento respecto a aquel que se encuentra dentro, donde la presión es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria, el aire entra al vehículo; pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.

Forma simplificada En muchas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, el cambio en el término ρgz a lo largo de la línea de flujo es tan pequeño en comparación con los otros términos que se puede ignorar. Por ejemplo, en el caso de una aeronave en vuelo, el cambio en la altura z a lo largo de una línea de flujo es tan pequeño que se puede omitir el término ρgz. Esto permite que la ecuación anterior se presente en la siguiente forma simplificada:

donde: p0 es la «presión total», y

q es «presión dinámica».11 Muchos autores se refieren a la presión

p como presión estática para distinguirla de la presión total

p0 y la presión dinámica q. En Aerodynamics, L.J. Clancy escribe: Para distinguirlo de las presiones totales y dinámicas, la presión real del fluido, que está asociada no con su movimiento sino con su estado, a menudo se denomina presión estática, pero cuando se usa el término presión solamente, se refiere a esta presión estática.2(§ 3.5)

La forma simplificada de la ecuación de Bernoulli se puede resumir en la siguiente ecuación de palabras memorables:2(§ 3.5) presión estática + presión dinámica = presión total Cada punto en un fluido que fluye constantemente, independientemente de la velocidad del fluido en ese punto, tiene su propia presión estática única p y presión dinámica q. Su suma p + q se define como la presión total p0. La importancia del principio de Bernoulli ahora se puede resumir como «la presión total es constante a lo largo de una línea de corriente». Si el flujo de fluido es irrotacional, la presión total en cada línea de flujo es la misma y el principio de Bernoulli se puede resumir como «la presión total es constante en todas partes en el flujo de fluido».2(Equation 3.12) Es razonable suponer que existe un flujo irrotacional en cualquier situación en https://es.wikipedia.org/wiki/Principio de Bernoulli

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la que un cuerpo grande de líquido fluye a través de un cuerpo sólido. Algunos ejemplos son aviones en vuelo y barcos que se mueven en cuerpos abiertos de agua. Sin embargo, es importante recordar que el principio de Bernoulli no se aplica en la capa límite o en el flujo de fluido a través de tuberías largas. Si el flujo de fluido en algún punto a lo largo de una línea de corriente se detiene, este punto se llama punto de estancamiento y, en este punto, la presión total es igual a la presión de estancamiento o «presión de remanso».

Aplicabilidad de la ecuación de flujo incompresible al flujo de gases La ecuación de Bernoulli es a veces válida para el flujo de gases: siempre que no haya transferencia de energía cinética o potencial del flujo de gas a la compresión o expansión del gas. Si tanto la presión del gas como el volumen cambian simultáneamente, entonces el trabajo se hará en o por el gas. En este caso, la ecuación de Bernoulli -en su forma de flujo incompresible- no puede ser asumida como válida. Sin embargo, si el proceso gaseoso es completamente isobárico, o isocórico, entonces no se realiza ningún trabajo sobre o por el gas, (de modo que el simple balance energético no se altera). Según la ley del gas, un proceso isobárico o isocórico es normalmente la única manera de asegurar una densidad constante en un gas. También la densidad del gas será proporcional a la relación de presión y temperatura absoluta temperatura, sin embargo esta relación variará con la compresión o expansión, sin importar la cantidad de calor que no sea cero que se agregue o se elimine. La única excepción es si la transferencia de calor neta es cero, como en un ciclo termodinámico completo, o en un ciclo isoentrópico individual, sin fricción y adiabático, e incluso entonces este proceso reversible debe ser invertido, para restaurar el gas a la presión original y al volumen específico, y por lo tanto a la densidad. Sólo entonces es aplicable la ecuación original de Bernoulli, no modificada. En este caso, la ecuación puede utilizarse si la velocidad de flujo del gas está suficientemente por debajo de velocidad del sonido, de modo que la variación en la densidad del gas (debido a este efecto) a lo largo de cada línea de corriente puede ser ignorada. El flujo adiabático a Mach < 0.3 se considera generalmente como suficientemente lento.

Flujo de potencial inestable La ecuación de Bernoulli para el flujo de potencial inestable se usa en la teoría de las ondas superficiales del océano y en la acústica. Para un flujo irrotacional, la velocidad de flujo se puede describir como el gradiente ∇φ de un potencial de velocidad φ. En ese caso, y para una densidad constante ρ, las derivadas de las ecuaciones de Euler se pueden integrar en:3(p383)

que es una ecuación de Bernoulli válida también para flujos inestables (o dependientes del tiempo). Aquí

∂φ ∂t denota la derivada parcial del potencial de velocidad φ con respecto al tiempo t, y v = ∇φ es la velocidad de flujo. La función f(t) depende solo del tiempo y no de la posición en el fluido. https://es.wikipedia.org/wiki/Principio de Bernoulli

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Como resultado, la ecuación de Bernoulli en algún momento t no solo se aplica a lo largo de una cierta línea de corriente, sino en todo el dominio fluido. Esto también es válido para el caso especial de un flujo irrotacional constante, en cuyo caso f y ∂φ/∂t son constantes, por lo que la «ecuación (A)» se puede aplicar en cada punto del dominio del fluido.3(p383) Además f(t) se puede hacer igual a cero incorporándolo en el potencial de velocidad utilizando la transformación

resultando:

Ha de tenerse en cuenta que la relación del potencial con la velocidad de flujo no se ve afectada por esta transformación: ∇ Φ = ∇ φ. La ecuación de Bernoulli para el flujo potencial inestable también parece desempeñar un papel central en el principio variacional de Luke , una descripción variacional de los flujos de superficie libre utilizando el Lagrangiano, que no debe confundirse con las coordenadas lagrangianas.

Ecuación de Bernoulli con fricción y trabajo externo La ecuación de Bernoulli es aplicable a fluidos no viscosos, incompresibles en los que no existe aportación de trabajo exterior, por ejemplo mediante una bomba, ni extracción de trabajo exterior, por ejemplo mediante una turbina. De todas formas, a partir de la conservación de la Cantidad de movimiento para fluidos incompresibles se puede escribir una forma más general que tiene en cuenta fricción y trabajo:

donde: es el peso específico ( ). Este valor permanece constante a través del recorrido al ser un fluido incompresible. es la diferencia entre el trabajo externo que se le suministra (+) o extrae al fluido (-) por unidad de caudal másico a través del recorrido del fluido. es la disipación por fricción a través del recorrido del fluido. Los subíndices y indican si los valores están dados para el comienzo — — o el final — — del volumen de control, respectivamente. g es la aceleración de la gravedad = 9,81 m/s2.

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Ecuación de flujo compresible Bernoulli desarrolló su principio a partir de sus observaciones sobre líquidos, y su ecuación es aplicable solo a fluidos incompresibles y fluidos compresibles constantes hasta aproximadamente el número de Mach 0.3.12 Es posible utilizar los principios fundamentales de la física para desarrollar ecuaciones similares aplicables a los fluidos compresibles. Existen numerosas ecuaciones, cada una diseñada para una aplicación particular, pero todas son análogas a la ecuación de Bernoulli y todas se basan únicamente en los principios fundamentales de la física, como las leyes del movimiento de Newton o la primera ley de la termodinámica.

Flujo compresible en dinámica de fluidos Para un fluido compresible, con una ecuación de estado barotrópica y bajo la acción de fuerzas conservadoras:13

í donde

p es la presión ρ es la densidad y indica que es una función de la presión. v es la velocidad de flujo Ψ es el potencial asociado con el campo de fuerza conservador,

a menudo el potencial

gravitatorio. En situaciones de ingeniería, las elevaciones son generalmente pequeñas en comparación con el tamaño de la Tierra, y las escalas de tiempo del flujo de fluido son lo suficientemente pequeñas como para considerar la ecuación de estado como adiabática . En este caso, la ecuación anterior para un gas ideal se convierte en:2(§ 3.11)

í donde, además de los términos mencionados anteriormente::

γ es la relación de los calores específicos del fluido g es la aceleración debida a la gravedad z es la elevación del punto sobre un plano de referencia En muchas aplicaciones del flujo compresible, los cambios en la elevación son insignificantes en comparación con los otros términos, por lo que el término gz se puede omitir y queda una forma muy útil de la ecuación:

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donde: p0 es la presión de estancamiento o presión de remanso; también presión inicial ρ0 es la densidad inicial del proceso

Flujo compresible en termodinámica La forma más general de la ecuación, adecuada para uso en termodinámica en caso de flujo (casi) constante, es:3(§ 3.5) 14(§ 5) 15 (§ 5.9)

Aquí w es la entalpía por unidad de masa, también conocida como entalpía específica, que a menudo también se escribe como w; que no debe confundirse con la "altura").

p Tenga en cuenta que w = ε + ρ donde ε es la energía termodinámica por unidad de masa, también conocida como energía interna específica. Por lo tanto, para la energía interna constante ε la ecuación se reduce a la forma de flujo incompresible. La constante en el lado derecho a menudo se llama constante de Bernoulli y se denota como

b. Para

un flujo adiabático inviscido constante sin fuentes adicionales o sumideros de energía, b es constante a lo largo de cualquier línea de corriente dada. De manera más general, cuando b puede variar a lo largo de líneas de flujo, todavía demuestra un parámetro útil, relacionado con la "cabeza" del fluido, tal y como se muestra más abajo. Cuando se puede ignorar el cambio en esta ecuación es:

Ψ, es decir, que permanece constante, una forma muy útil de

donde w0 es entalpía total. Para un gas calóricamente perfecto, como un gas ideal, la entalpía es directamente proporcional a la temperatura, y esto lleva al concepto de temperatura total o de estancamiento. Cuando hay ondas de choque, en un marco de referencia en el que el choque es estacionario y el flujo es constante, muchos de los parámetros en la ecuación de Bernoulli sufren cambios abruptos en el paso a través del choque. El parámetro de Bernoulli, sin embargo, no se ve afectado. Una excepción a esta regla son los choques radiantes, que violan los supuestos que conducen a la ecuación de Bernoulli, es decir, la falta de sumideros o fuentes de energía adicionales.

Derivaciones de la ecuación de Bernoulli Ecuación de Bernoulli para fluidos https://es.wikipedia.org/wiki/Principio de Bernoulli

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