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Desigualdad Triangular
Métodos matemáticos
del prof. Genaro Luna Carreto
...

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Facultad de Ciencias de la Electr´onica

M´etodos matem´aticos

DESIGUALDAD TRIANGULAR EN COMPLEJOS (Genaro Luna Carreto)

Probaremos una serie de resultados, que desembocar´an en la desigualdad triangular en el campo de los complejos. Recuerde que el m´odulo de un n´ umero complejo z = a + bi, se define por √ |z| = a2 + b2 Por otro lado, si z = a + bi es un n´ umero complejo entonces el n´ umero z = a − bi es conocido como conjugado de z. Resulta inmediato z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a = 2Re(z)

(1)

Un propiedad b´ asica y muy importante resulta de multiplicar un complejo por su conjugado Teorema 0.1. Si z ∈ C entonces zz = |z|2 Demostraci´on. zz = (a + bi)(a − bi) 2

(2) 2 2

= a − abi + abi − b i = a 2 + b2

(3) (4)

= |z|2

(5)

Teorema 0.2. Sean z, w ∈ C. Entonces (a) z + w = z + w (b) zw = z w Demostraci´on. (a) Sean z = a + bi y w = c + di

Genaro Luna Carreto

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Primavera 2017

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z + w = (a + bi) + (c + di)

M´etodos matem´ aticos

(6)

= (a + c) + (b + d)i

(7)

= (a + c) − (b + d)i = (a − bi) + (c − di)

(8) (9)

=z+w

(10) (11)

(b) En este caso, en primer lugar, calculemos el conjugado del producto zw = (a + bi)(c + di)

(12)

= ac + adi + bci + bdi2

(13)

= (ac − bd) + (ad + bc)i = (ac − bd) − (ad + bc)i

(14) (15) (16)

Despu´es el producto de los conjugados: z w = (a − bi)(c − di) = ac − adi − bci + bdi2 = ac − bd − (ad + bc)i

(17) (18) (19) (20)

De lo cual, es claro que zw = z w. A partir de los teoremas (0.1) y (0.2), se deduce una propiedad que hace pensar que el m´ odulo tiene propiedades similares a las del valor absoluto: el m´ odulo de un producto, es igual al producto de los m´odulos. Veamos |z1 z2 |2 = (z1 z2 )(z1 z2 ) = (z1 z2 )(z1 z2 ) = (z1 z1 )(z2 z2 ) = |z1 |2 |z2 |2 Genaro Luna Carreto

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(Teo(0.1)) (Teo (0.2), (b)) (21) (22) Primavera 2017

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por lo tanto |z1 z2 |2 = |z1 |2 |z2 |2 , de donde |z1 z2 | = |z| ||z2 |

(23)

Teorema 0.3. Si z ∈ C entonces (a) Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z | (b) Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z | Demostraci´on. En realidad el teorema es muy sencillo. Recuerde que otra manera de escribir el m´ odulo de z = a + bi es

Adem´ as

|z| =

|z| =

p

√

a 2 + b2 =

p

[Re(z)]2 + [Im(z)]2

p [Re(z )]2 + [Im(z )]2 ≥ [Re(z )]2 ≥ |Re(z)| ≥ Re(z).

(24) (25)

lo mismo ocurre para la parte (b) . Teorema 0.4 (Desigualdad triangular). Sean z, w ∈ C. Entonces |z + w| ≤ |z| + |w| Demostraci´on. |z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = zz + zw + wz + ww = |z |2 + |w|2 + zw + wz = |z |2 + |w|2 + 2Re(zw) ≤ |z|2 + |w|2 + 2|zw| ≤ |z|2 + |w|2 + 2|z||w|

≤ |z|2 + |w|2 + 2|z||w| = (|z| + |w|)2 Genaro Luna Carreto

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(26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) Primavera 2017

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En resumen, |z + w|2 ≤ (|z| + |w|)2 , esto es |z + w| ≤ |z| + |w|

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