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corrigé du devoir AMP1...

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Exercice 1 Dans une jardinerie, on s’inte resse a l’e tude de la dure e d’attente des clients aux caisses lors de pe riode de forte influence.

1. On a alors releve le temps d’attente de clients : Durée (min) Nb clients

[0 ; 2[

[2 ; 4[

[4 ; 6[

[6 ; 8[

[8 ; 10[

[10 ; 12[

6

9

18

11

6

1

Partie A :

a) Sur cet e chantillon, calculer la taille de l’e c hantillon, le temps moyen d’attente ainsi que son e cart type (on utilisera le centre des intervalles pour les calculs). Menu Stat

La taille de l’e chantillon n=51; le temps moyen  = 2,45 min.

¯x = 5,2 minutes

et

l’e cart

type

2. Supposons maintenant que la dure e d’attente est une variable ale atoire X qui suit une loi normale de moyenne  = 5,28 min et d’e cart type  = 2,42 min.

a) Calculer la probabilite pour que la dure e d’attente soit supe rieure a 8 min. P(X>8)=0,1305

Menu stat dist Norm CD

b) Calculer x tel que P(X < x ) = 0,25. Donner une interpre tation de x

Menu stat dist Norm inv

Il y a 25 % de chance que le client attende moins de 3,65 min.

3. Dans la journe e, on s’attend a recevoir 500 clients. On suppose que la probabilite p pour qu’un client attende plus de 8 min est e g ale a 0,13.

a) Justifier que la loi de probabilite de Y : nombre de clients qui attendent plus de 8 min a une caisse, est une loi binomiale et pre ciser ses parame tres n et p. L’e preuve qui consiste en l’attente d’un client est une e preuve de Bernoulli : Succe s : « le client attend plus(>) de 8 min » avec une probabilite p=0,13 É> chec : « Le client attend moins ( ) de 8 min » avec une probabilite q=1-0,13=0,87 Cette e preuve est re pe te e dans les meA mes conditions et de manie res inde pendantes ; la variable ale atoire Y suit alors une loi binomiale de parame tres n=500 et p=0,13.

b) Calculer la probabilite pour qu’il y en ait 60 qui attendent plus de 8 min. Menu stat dist Binm P(Y=60)=

(500 60 )

0,1360 0,87440=

0,0437

c) Calculer la probabilite pour qu’il y en ait au moins 60 qui attendent plus de 8 min. P(Y≥60)= 1- P(Y≤59)= 1-0,2346=0,7654

d) On de cide d’offrir un bon d’achat de 15€ a tous les clients qui ont attendu plus de 8 min. De terminer le montant total de bons d’achat auquel on doit s’attendre a offrir dans une journe e. L’espe rance de la loi de probabilite de Y (Binomiale) est É(Y)=np=500x0,13=65 Én moyenne le nombre de clients qui vont attendre plus de 8 minutes dans une journ e e est de 65 clients. Le montant total des bons d’achat auquel on doit s’attendre est e gale a 15x65=975€

Exercice 2 Une socie te re alise une enqueA te relative a l'e conomie d'e nergie et a respect de l'environnement. Les personnes interroge es sont invite es a re pondre par oui ou par non a deux cate gories de questions. Une premie re cate g orie porte sur la re alisation d'e conomie d'e nergie de l'habitation:isolation du toit, double vitrage. Une seconde cate g orie porte sur la pratique de geste e co-citoyens:tri se lectif des de chets, re duction de la quantite d'eau utilise e, pratique du co-voiturage. Pour chaque cate g orie de questions et pour chaque individu, le nombre de re ponses affirmatives est comptabilise . Én assimilant les fre quences de re ponse obtenues pour la premie re cate gorie a des probabilite s, on de finit la variable ale atoire X prenant pour valeur le nombre de oui obtenu. X prend donc les valeurs 0,1 ou 2. On de finit de la meA me façon la variable ale atoire Y pour la deuxie me cate gorie. Y prend les valeurs 0,1,2 ou 3. La loi conjointe du couple (X,Y) est donne e dans le tableau suivant :

X

0

1

2

0

0

0

1 15

1

1 15

0

1 3

2

0

1 15

1 15

Y

Loi marginale de Y

3

0

1 5

1 5

Loi marginale de X 1) Ve rifier que la loi conjointe du couple (X,Y) est une loi de probabilit e . 2) De terminer les lois marginales puis calculer É (X) et É (Y). 3) Les variables ale atoires X et Y sont-elles inde pendantes ? Justifier votre re ponse. 4) On note Z la variable de finie par Z=X+Y 1. Donner le loi de probabilite de la variable

2. De terminer É (Z) et V (Z).

Exercice 3 Une association d’agriculteurs aide, depuis 10 ans, les agriculteurs qui veulent se lancer dans la vente directe de leur produit. Cette association pre sente ici le nombre d’abonne s a la lettre d’information qu’elle e dite, anne e apre s anne e depuis sa cre ation. Nb années depuis la création : x Nb abonnés : y

1 10

2 20

3 90

4 150

5 240

7 500

8 630

9 820

10 1100

1. D’apre s la forme du nuage de points

1200

Evolution du nombre d'abonnés

associe a cette se rie statistique, expliquer si un ajustement line aire est pertinent.

1000

Nombre d'abonnés

6 300

800

Le nuage de points n’est pas allonge , un ajustement line aire(ou affine) n’est pas pertinent.

600 400 200 0 0

1

2

3

4

5 6 Années

7

8

9

10

11

2. Pour ajuster au mieux le nuage de points, on he site entre un mode le exponentiel et un mode le de type puissance. Pour de cider, de terminer le coefficient de corre lation line aire d’un ajustement exponentiel puis d’un ajustement puissance.

3. Én de duire une expression de y en fonction de x qui ajuste au mieux le nuage (valeurs arrondies a 10-4 pre s) :

Y=7,5942 x 2,1247 4. Én supposant que l’e volution du nombre d’abonne s reste le meA me, calculer le nombre pre visible d’abonne s au bout de 15 anne es.

Y=7,5942 152,1247 =2395 r=0,99

Remarque avec le mode le line aire on aurait eu : y=116,4848 x15 – 254,6667 = 1493 ! r= 0,96 ! Remarque avec le mode le exponentiel on aurait eu : y= 12,2778 e 0,4961x15 = 20937 !

r= 0,96 !...