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elaborato da presentare per l'esame...

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IL MAPPAMONDO PARALLELO Il Mappamondo parallelo è un globo terrestre che si orienta con la Stella Polare a continuazione dell’asse in direzione Nord, serve per capire il movimento del Sole attorno alla Terra. Si tratta quindi di posizionare il mappamondo in funzione del Sole e delle stelle fisse. Lo strumento può essere usato in unione con la sdraio celeste (di cui si tratterà successivamente), per aumentare l’efficacia della comprensione. Il mappamondo è omotetico alla Terra: l’asse è parallelo a quello reale, il piano tangente in ogni punto è parallelo

Figura 1: Modello del mappamondo parallelo

al piano orizzontale del corrispondente paese sulla Terra, in particolare il piano orizzontale dell’osservatore è parallelo al piano tangente il mappamondo nel suo punto più alto, così che tutto il mondo risulti al di sotto. E’ uno strumento infatti utile a prendere coscienza da un punto di vista fisico, astronomico e geometrico del fatto che la forma Terra sia assimilabile, per sommi capi, a una sfera. Per costruirlo si è smontato un mappamondo e lo si è fatto attraversare da un paletto collegato a un supporto verticale, a cui è stato fissato un goniometro e sulla cui base è stata posta una bussola. Il mappamondo è stato posto su un supporto per favorirne la stabilità. Per condurre l’esperienza l’asse del mappamondo è stato inclinato della latitudine del luogo dove è stato condotto l’esperimento, nella fattispecie a Roma, quindi 42°(N) – Fig.1. E’ stato posizionato uno stecchino sul punto di osservazione, quindi il centro Italia, per osservare la variazione dell’ombra formatasi durante il giorno e durante il passare dei giorni poiché il Sole illumina il Mappamondo esattamente come illumina la Terra nell’istante dell’esperimento. In questo modo si è visto in quali zone della Terra è notte, quali invece sono illuminate, dove il Sole sta sorgendo e dove sta tramontando (fig.2). E’ stato interessante notare come la domanda più frequente sia stata sull’inclinazione dell’asse terrestre: mi è stato più volte chiesto dagli adulti se la Terra fosse davvero inclinata così e quale fosse il reale motivo del posizionamento del mappamondo in un certo modo. La questione, una volta sviscerata risulta semplice da capire ma, a primo impatto, sembra impossibile vedere ciò che il mappamondo mostra effettivamente. Figura 2

Un altro motivo di dubbio o in altri casi una consapevolezza che si raggiunge con l’esperienza è il fatto che effettivamente tutto il mondo sia sotto di noi e il rovesciamento della concezione che il nord sia sopra e il sud sia sotto. Paradossalmente conducendo l’esperienza con un bambino di otto anni (fig. 3), e dandogli pochissime nozioni sulla rotazione e rivoluzione della Terra (che peraltro già conosceva) sono scaturite poche domande e più certezze/consapevolezze. Facendogli spostare lo stecchino sul mappamondo lungo il parallelo di appartenenza è stato in grado di capire dove il Sole fosse allo zenit, dove stesse sorgendo e se i parenti canadesi stessero dormendo in quel momento. Questo è stato motivo di divertimento e soprattutto consapevolezza del funzionamento

Figura 3

dell’insolazione su tutto il globo. L’esperimento è stato condotto su un lasso temporale di circa tre settimane ed è stato fotografato il mappamondo a più ore del giorno in più giorni, vds figure successive riferite al giorno 22 settembre 2020.

ore 8:39

ore 12:34

ore 16:11

Ore 17:34

ore 16:50

ore 17:52

E’ stato interessante fare l’esperienza nel giorno dell’equinozio d’autunno nei momenti precedenti e successivi al mezzogiorno (segnato dall’orologio) e il momento in cui il Sole era sul meridiano (dopo le 13). Si è osservato che sul Tropico del Cancro il Sole era allo zenit e lo stecchino non produceva alcuna ombra (figg.4-5).

Fig. 4

Fig. 5

Si è anche messo a confronto il mappamondo in diversi giorni ma allo stesso orario, i risultati sono riportati nelle immagini successive. Come si può notare il Sole illumina i Paesi ad E al mattino per poi passare sui meridiani più vicini a noi e tramontare a W dopo aver illuminato il continente americano. In particolare la linea che delimita l’ombra dalla luce ruota di 360° cominciando in posizione verticale all’alba, diventando orizzontale e tornando verticale in senso orario al tramonto, a causa del fatto che la Terra ruota in senso antiorario.

1- Intorno alle 8:30, a distanza di circa due settimane tra la prima e la terza foto

2- Intorno alle 12:15 a distanza di circa due settimane tra la prima e la terza foto

3- Intorno alle 18:00 a distanza di circa due settimane tra la prima e la terza foto

LA SDRAIO CELESTE La sdraio celeste consiste in un piano inclinato in modo da risultare parallelo all’Equatore. Bisogna sdraiarsi completamente e guardare il cielo. L’asse è perpendicolare al piano della sdraio quindi all’asse del mondo è puntato verso la Stella Polare: si ricrea la situazione di stare sdraiati al Polo Nord e osservare la Stella Polare allo zenit, in questo modo facilmente riconoscibile, ma è anche come stare in piedi all’Equatore e avere la Stella Polare bassa all’orizzonte. Se si volesse simulare di essere sdraiati al Polo Sud, bisognerebbe mettersi proni sulla sdraio e guardare verso il basso. Se, distesi, si indica con un braccio la Stella Polare e con l’altro la direzione Est - Ovest sull’orizzonte, si individua il piano equatoriale,

Figura 4

cioè il cerchio massimo dell’Equatore Terrestre e ogni piano ad esso parallelo, l’intersezione con la Sfera Celeste è l’Equatore Celeste. Il piano parallelo all’Equatore sarà tangente alla Terra nei poli, perpendicolare al piano dell’orizzonte, che incontra lungo una linea orientata E-W all’Equatore, obliquo rispetto all’orizzonte, alle altre latitudini. Il piano equatoriale è perpendicolare (come i piani ad esso paralleli) all’asse polare, quindi a ogni latitudine, compresa tra 0 e 90°, l’asse polare è inclinato rispetto al piano dell’orizzonte astronomico di un angolo pari alla Latitudine L, inoltre il piano equatoriale è inclinato di un angolo pari alla colatitudine (90°- L). La sdraio celeste è stata costruita in scala e in cartone al fine di essere usata in addizione al mappamondo parallelo: per costruzione l’asse della sdraio risulta parallelo all’asse del mappamondo, entrambi puntano verso la Stella Polare. E’ interessante anche osservare come in autunno il Sole nel nostro emisfero illumini durante il giorno la parte inferiore della sdraio (quella rivolta a terra), e mettere a confronto questa osservazione rispetto a come il sole illumina il mappamondo parallelo: si vede che la traiettoria del Sole è più bassa in autunno-inverno rispetto alla primavera-estate, ed essendo la sdraio celeste orientata con la Stella Polare, questo ne spiega l’illuminazione della parte sottostante (fig.5). Di notte si può usare per riconoscere le costellazioni nell’emisfero boreale della Sfera Celeste, Attraverso la proiezione in cielo del piano equatoriale permette di capire che guardando verso Sud, vediamo le stelle sia sopra che sotto tale piano, quindi stelle a declinazione positiva e negativa. L’esperimento è fruibile alle età che vanno dalla scuola primaria alla secondaria inferiore.

Figura 5

SEZIONI PIANE Nell’ambito dell’utilizzo di un materiale nello scopo di favorire l’apprendimento di un certo argomento, in questo caso si tratterà di geometria, si vuole descrivere l’utilizzo di fasci di luce su alcune figure solide costruite, allo scopo di mostrare le sezioni piane che determinano. In questo caso ci si vuole occupare di materiali utilizzabili nella scuola secondaria inferiore. Questo tipo di materiale è collettivo, ciò significa che i ragazzi lavoreranno in gruppo e senza fornire una spiegazione dell’utilizzo, saranno così indotti alla scoperta. Se consideriamo le sezioni del cilindro, si può notare come inclinando un bicchiere non pieno d’acqua o di sabbia, ad esempio,

Figura 6

la superficie passerà da avere forma circolare ad ellittica. Si è costruito in questo caso un cilindro utilizzando due cerchi di cartone forandoli a forma di corona circolare e facendo passare nei fori dei fili che collegassero i due cerchi. Si è inserito un bastoncino rigido come asse in modo che i fili fossero ben tesi (fig. 6) . Ponendo il cilindro al buio e facendolo colpire da un fascio di luce, sono stati illuminati i punti delle generatrici che formano la sezione piana. Se il fascio è perpendicolare all’asse, si vedrà un cerchio (Fig. 7a). Se non lo è, un’ellisse (fig. 7b). Se invece è parallelo all’asse si vedranno illuminate due rette parallele (fig. 7c). Il concetto di uguaglianza assume un valore più largo quando si usa la geometria proiettiva, ad esempio nella trasformazione da cerchio a ellisse a rette parallele.

a)

b)

c) Fig.7

Per il cono accade la stessa cosa: osservando una clessidra e la posizione che assume la sabbia al suo interno quando la ruotiamo, si potrà vedere un cerchio, un’ellisse, una parabola, un’iperbole.

Il cono si può costruire partendo dal cilindro precedentemente descritto e applicando un momento torcente ai due cerchi che ne costituiscono le basi: le rette dapprima parallele saranno sghembe a due a due e si avrà un iperboloide rigato. Se si continua a ruotare una base rispetto all’altra le generatrici diventeranno incidenti e si formerà il cono (fig. 8). Si è disposto il cono in modo che venisse segato dal piano di luce uscente dalla lampada e si sono osservate le figure piane che si sono formate: ellisse (fascio non parallelo a basi) - fig. 9a, iperbole (fascio non perpendicolare alle basi) - fig.9b e parabola Figura 8

(fascio inclinato rispetto alle basi) - fig. 9c.

e) a)

c)

b)

Fig.9

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Questi argomenti possono essere trattati nella scuola secondaria inferiore, soprattutto tra il secondo e il terzo anno. In particolare, il cambiamento della forma di una figura colpisce il bambino molto di più che la mera uguaglianza o similitudine. Si osserva infatti che la propria ombra sul terreno varia nella grandezza e tende a cambiare forma, a causa dell’inclinazione dei raggi solari o di una qualsiasi fonte di luce. L’esperienza è stata condotta in una stanza con una portafinestra con inferriate di forma rettangolare dove i rettangoli sono sfalsati. Si può osservare la variazione della forma delle ombre durante il giorno: nella fattispecie la porta-finestra è esposta a W-SW e si trova all’ultimo piano di un palazzo, quindi

Figura 10

l’esperimento così come descritto da E. Castelnuovo in Didattica della Matematica subirà qualche modifica. Nel primissimo pomeriggio, quando il Sole è vicino alla sua posizione più alta nel cielo, si può osservare la variazione dell’ombra del reticolo che si forma sul pavimento. L’inferriata infatti è colpita dai raggi del Sole con alta inclinazione, si avranno perciò delle figure simili a parallelogrammi (fig.11). Si nota che ciò che si mantiene costante è il parallelismo tra le verghe e di conseguenza delle ombre che avranno forma di rette parallele; le figure che si formano sono facenti parte della Figura 11

famiglia dei parallelogrammi: questa trasformazione è di tipo affine. A

seconda

dell’inclinazione

dei

raggi

la

forma

dei

parallelogrammi cambia, e si osserva che l’ombra della verga che è alla base dell’inferriata a contatto del suolo è unita alla verga stessa. Se i raggi sono circa perpendicolari all’inferriata, i rettangoli reali corrisponderanno alle loro ombre sul muro: l’uguaglianza è un caso particolare di affinità (fig.12). La superficie su cui si è formata l’ombra in questo caso non si trovava di fronte la finestra, ma di fianco, per cui è visibile una modesta distorsione della perpedicolarità dei lati dei rettangoli. Figura 12

L’ombra che si forma sulla parete se i raggi sono poco inclinati potrebbe essere infatti tale che ai rettangoli reali corrispondano delle ombre più grandi, ma la forma del contorno è simile: la similitudine è un caso particolare di prospettività. L’osservazione dei quadrilateri-ombra, fa comprendere come è costituito l’insieme di questa famiglia di poligoni e i vari sottoinsiemi. Questo genere di esperimento serve a far comprendere agli studenti la vicinanza della matematica al concreto, alla realtà che li circonda. Figura 13...