Die Schiefe - Erklärung PDF

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Die Schiefe...

Description

Die Schiefe (englisch auch: skewness oder skew) gibt an, inwieweit eine Verteilungsfunktion sich zu einer Seite "neigt". Der Wert kann dabei positiv (Verteilungsfunktion tendiert nach rechts), negativ (Verteilungsfunktion tendiert nach links), null (Verteilungsfunktion ist symmetrisch) und undefiniert (0/0) sein. Jede nicht-symmetrische Verteilungsfunktion ist schief.

Eigenschaften (unimodale Verteilungen) •

• •

In linksschiefen (identisch mit dem Begriff rechtssteil) Verteilungen ist der Median größer als das arithmetische Mittel. Bei rechtsschiefen Verteilungen ist genau der umgekehrte Fall korrekt: der Median ist kleiner als das arithmetische Mittel. Bei rechtsschiefen (identisch mit dem Begriff linkssteil) Verteilungen ist der Modus kleiner als der Erwartungswert; bei linksschiefen Verteilungsfunktionen größer. Ist die Verteilungsfunktion symmetrisch, so ist das arithmetische Mittel gleich dem Median und die Verteilung wird eine Schiefe von 0 haben. (Wenn die Verteilung noch zusätzlich dazu unimodal ist, also nur einen einzigen Gipfel hat, dann gilt: arithmetisches Mittel = Median = Modus. Allerdings ist das Gegenteil nicht zwangläufig richtig: bei einer Verteilungsfunktion mit einer Schiefe von 0 muss das arithmetische Mittel nicht gleich dem Median sein.)

Aussehen Die gezeigten Grafiken bilden keine spezifische Funktionen ab, sondern zeigen beispielhaft, wie eine Funktion mit der gegebenen Schiefe aussehen würde. Rechtsschief

Symmetrisch

Linksschief

z.B.: die Poissonverteilung

z.B.: die Normalverteilung (um den Erwartungswert)

z.B.: die Binomialverteilung, wenn p > 0,5

Dichtefunkti on (auch probabi lity density function, kurz pdf)

Verteilungsf unktion (auch cumulative distribution function, kurz cdf)

Rechtsschief

Symmetrisch

Linksschief

000011222233333344 1 4556678999 2 000112222334455667 3 89 4 011223345678999 5 0011223345568 022558

00246889 1 0001122234446666678 2 88888 3 0000001122222233444 4 4456668888 5 000222468 0

02589 1 00215555557778999 2 0001222333445556667 3 78999 4 0000011112222333333 5 4455556667 02235589

Histogramm

StammBlattDiagramm (auch stemand-leaf plot oder stemplot) Kastengrafik (auch Boxplot oder BoxWhisker-Plot)

Schiefe Die Schiefe sieht man sehr gut an einem Stabdiagramm, das zwar ein Maximum hat, welches aber nicht in der Mitte liegt. Man spricht von rechtsschiefen (= linkssteilen) Verteilungen, wenn sie nach rechts weiter auslaufen als nach links. Wenn die Verteilung hingegen weiter nach links ausläuft als nach rechts, redet man von linksschiefen (= rechtssteilen) Verteilungen.

Linksschiefe Verteilung

Rechtsschiefe Verteilung Eine eingipflige, symmetrische Verteilung liegt vor, wenn • •

ca. die Hälfte der Daten unter bzw. über dem mittleren Wert liegt und die meisten Beobachtungswerte sich ungefähr in der Mitte befinden.

Symmetrische Verteilung

Man spricht hingegen von einer u-förmigen Verteilung, wenn sowohl am rechten als auch am linken Rand der Skala gleichviele Beobachtungswerte liegen und sehr wenige dazwischen. dazwischen.

U-förmige Verteilung

Bei der Gleichverteilung ist die Anzahl von Beobachtungswerten bei allen Merkmalsausprägungen gleich....