Dinamica Aplicada-Lab4 PDF

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Universidad De Facultad de Laboratorio de Aplicada OSCILACION DE UN PENDULO SIMPLE En la siguiente experiencia determinaremos los principales del simple exponiendo al sistema a una libre no amortiguada. analizaremos el modelo del sistema para luego comparar resultados tanto como Obtendremos la frecu...

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Universidad Tecnológica De Panamá Facultad de Ingeniería Eléctrica Laboratorio de Dinámica Aplicada OSCILACION DE UN PENDULO SIMPLE

Introducción En la siguiente experiencia determinaremos los parámetros principales del péndulo simple exponiendo al sistema a una vibración libre no amortiguada. También analizaremos el modelo matemático del sistema para luego comparar resultados tanto teóricos como prácticos. Obtendremos la frecuencia natural de oscilación del péndulo y posterior a esto, evaluaremos la ecuación diferencial no lineal del movimiento de un péndulo simple, considerando una masa esférica. Al evaluar el sistema y aplicar las pruebas dadas en la experiencia obtendremos datos importantes que nos permitirán calcular la frecuencia natural del movimiento como también la frecuencia natural angular de oscilación del modelo matemático y así obtendremos una comparación real del material teórico como experimental.

Descripción experimental Materiales:  Una esfera de acero conectada a un hilo.  Una báscula.  Regla.  Transportador.  Cronometro.

Procedimiento 1. Medimos la masa de la esfera que utilizaremos como péndulo. 2. Una vez medida la masa de la esfera amarramos un hilo y colocamos el otro extremo del hilo a un punto de apoyo a 600 mm y lo amarramos. Desplazamos el sistema a un Angulo de aproximadamente 10°, y lo soltamos, medimos el tiempo que tarda el sistema de péndulo en realizar 3 ciclos de oscilación. Repetimos este proceso, cambiando la longitud del hilo a 400 mm y luego a 200mm.

3. Una vez obtenida los tiempos de duración en los tres estudios, procedimos a calcular la frecuencia natural ( ω n=2 πf ); sabiendo que la frecuencia es

f=

1 τ , donde τ 3

es la duración medida y esta es

divida entre tres porque esta medida a tres ciclos de oscilación. 4. Una vez realizada la parte experimental, procedimos a realizar el estudio analítico para encontrar la ecuación de movimiento del sistema, luego la ecuación de velocidad y de aceleración. Resolvimos la ecuación diferencial evaluándola a θ ( 0 )=θ 0=10 ° y ´θ ( 0 )= 0 . 5. Sabiendo que esta ecuación esta con respecto a una masa circular puntual, volvemos a desarrollarlo, pero en esta vez con respecto a una masa esférica. 6. Graficamos las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración obtenidas en el estudio teórico.

Preguntas 1. Encuentre la solución de la ecuación diferencial de movimiento, linealizada para θ ( 0 )=θ 0 y ´θ ( 0 )= 0 . Asuma parámetros concentrados. Obtenga expresiones para la posición θ ( t ) ,la velocidad ´θ ( t ) y la aceleración ´θ ( t ) . Grafique resultados, utilice EXCEL Para dos ciclos de movimiento.  Condiciones iniciales: θ ( 0 )=θ 0 ; θ´ ( 0 ) =0 θ0=10°=0.175 rad

 Por sumatoria de momento:

∑ M =J θ´

mgx=J θ´ ´ mgx+ J θ=0 ´ mglθ+ J θ=0

 Resolviendo la ecuación diferencial para las condiciones iniciales dadas

θ ( t )=C1 sin ωn t+ C2 cos ω n t 0.175=C 2 cos 0 →C 2=0.175 0=C1 ωn cos 0 → C1=0

 Obteniendo así la solución: θ ( t )=0.175 cos ω n t

 Utilizando datos obtenidos de manera experimental obtenemos: o Para l=600 mm : θ ( t )=0.175 cos 4.11 t ´θ ( t )=−0.720 sin 4.11 t ´θ ( t )=−2.96 cos 4.11 t o Para l=400 mm : θ ( t )=0.175 cos 4.8 t ´θ ( t )=−0.84 sin 4.8t ´θ ( t )=−4.032 cos 4.8t o Para l=200 mm : θ ( t )=0.175 cos 6.41 t ´θ ( t )=−1.12 sin 6.41 t ´θ ( t )=−7.19 cos 6.41 t

 Graficas: o Para l=600 mm : Posicion 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15

0

1

2

3

4

5

6

7

Velocidad 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

1

2

3

4

5

6

7

Aceleracion 3 2 1 0 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

-2 -3 -4

o Para l=400 mm : Posición 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2

1

2

3

4

5

6

7

Velocidad 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.20 -0.4 -0.6 -0.8 -1

1

2

3

4

5

6

7

5

6

7

Aceleración 5 4 3 2 1 0 0 -1 -2 -3 -4 -5

1

2

3

4

o Para l=200 mm : Posición 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0

1

2

3

4

5

6

7

Velocidad 0

0

1

2

3

4

5

6

7

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

Aceleración 0 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

1

2

3

4

5

6

7

2. Calcule la frecuencia natural, el periodo del movimiento y la frecuencia natural angular de oscilación.  Por sumatoria de momento:

∑ M =J θ´

mgx=J θ´ ´ mgx+ J θ=0 ´ mglθ+ J θ=0

 Para una masa puntual tenemos que: ´ ´ g θ=0 →θ+ J =m l2 → mglθ+ m l2 θ=0 l

 Solucionado la ecuación para encontrar ω n obtenemos:

√

ω n=

g l

Entonces: T =2 π f=

ωn

1 2π

√ √

(Rad/s)

l g g l l=600 mm

l=400 mm

l=200 mm

4.04

4.95

7.00

T (s) f

1.55 0.64

(Hz)

1.27 0.79

0.90 1.11

 Reemplazando las ecuaciones de movimiento para los datos de una masa puntual: o Para l=600 mm : θ ( t )=0.175 cos 4.04 t ´θ ( t )=−0.707 sin 4.04 t ´θ ( t )=−2.86 cos 4.04 t

o Para l=400 mm : θ ( t )=0.175 cos 4.95 t ´θ ( t )=−0.87 sin 4.95 t ´θ ( t )=−4.29 cos 4.95 t o Para l=200 mm : θ ( t )=0.175 cos 7.00 t ´θ ( t )=−1.225 sin7.00 t ´θ ( t )=−8.575 cos 7.00 t

3. Compare los resultados teóricos con los experimentales. Explique la diferencia Experimental l=600 mm ωn

l=400 mm

Masa Puntual l=200 mm

l=600 mm

l=400 mm

l=200 mm

4.11

4.8

6.41

4.04

4.95

7.00

1.53 0.65

1.3 0.77

0.98 1.02

1.55 0.64

1.27 0.79

0.90 1.11

(Rad/s ) T (s) f

(Hz) Comparando los datos obtenidos de manera experimental con los del punto anterior podemos observar que son cercanos mas no iguales, esto se puede deber a errores en los dispositivos de medición o quizás no realizar el

experimento la cantidad de veces necesarias, igualmente los datos teóricos nunca son exactamente los obtenidos experimentalmente.

4. Obtenga la ecuación diferencia linealizada con respecto a la posición de equilibrio estático. Considere la masa como una esfera, mida su diámetro y calcule su momento de inercia de masas con respecto a su centro de gravedad. Repita los puntos 2 y 3. Analice la posición, velocidad y aceleración de la masa m. ¿Qué puede concluir respecto a la amplitud y Angulo de cada movimiento?  Por sumatoria de momento:

∑ M =J θ´

mgx=J θ´ ´ mgx+ J θ=0 mg(l+ R)θ+ J θ´ =0

 Para una masa puntual tenemos que: g(l+ R) 2 ´ ´ J = m R2 +m (L+ R)2 → mg(l+ R)θ+[ 2 m R2 +( L+R )2 ]θ=0 θ=0 → θ+ 5 2 5 m R2 +( L+R)2 5  Solucionado la ecuación para encontrar ω n obtenemos:

√

ω n=

g (l+R) 2 m R2+( L+R )2 5

Entonces:

√ √

2 2 2 m R +( L+ R ) 5 T =2 π g (l+ R) f=

1 2π

g(l+ R) 2 2 2 m R +( L+ R) 5

ω n (Rad/s) T (s) f (Hz)

l=600 mm

l=400 mm

l=200 mm

3.96 1.59 0.63

4.8 1.30 0.77

6.6 0.95 1.05

 Reemplazando las ecuaciones de movimiento para los datos de una masa puntual: o Para l=600 mm : θ ( t )=0.175 cos 3.96 t ´θ ( t )=−0.720 sin 3.96 t ´θ ( t )=−2.96 cos 3.96 t o Para l=400 mm : θ ( t )=0.175 cos 4.8 t ´θ ( t )=−0.84 sin 4.8t ´θ ( t )=−4.032 cos 4.8t o Para l=200 mm : θ ( t )=0.175 cos 6.6 t ´θ ( t )=−1.16 sin 6.6 t ´θ ( t )=−7.66 cos 6.6 t

Experimental

Masa puntual

Masa como esfera

l=600 l=400

l=200

l=600

l=400 l=200

4.11

4.8

6.41

4.04

4.95

7.00

3.96

4.8

6.6

T (s 1.53 f 0.65

1.3 0.77

0.98 1.02

1.55 0.64

1.27 0.79

0.90 1.11

1.59 0.63

1.30 0.77

0.95 1.05

ωn

l=600

l=400 l=200

(Ra d/s)

(Hz ) Analizando las amplitudes y los ángulos de las ecuaciones de movimiento observamos que son mas cercanas a las obtenidas de forma experimental debido a que al analizar la masa como una esfera simulamos el objeto como algo más cercano a la realidad. 5. Comparar los resultados obtenidos en los puntos 2 y 6. Explique las diferencias Al observar los resultados obtenidos entre ambas masas (puntual y esféricas), nos damos cuenta de que en el caso de las frecuencias naturales existe una disminución respecto a la segunda masa con la primera, dándose así un

aumento en el tiempo en la segunda masa con respecto a la primera. Esto se da porque, al momento de realizar los cálculos, en la masa esférica se toma en cuenta mas variables que en el primer caso, dando a entender que en la masa puntual se omiten mas variables. 6. ¿Qué concluye respecto a las frecuencias angulares naturales, frecuencias naturales y periodos naturales de oscilación, para los sistemas de péndulo simple estudiados? Todos estos valores medidos y calculados dependen de la longitud de la cuerda que conecta a la masa, por ende, entre mayor sea la longitud de esta, menor será la frecuencia angular natural, mayor será el tiempo y menor será la frecuencia natural. Esto se aplica en los dos casos estudiados (masa puntual y masa esférica). 7. ¿Cómo se comparan los resultados teóricos con los experimentales? Como es en la mayoría del caso, los datos medidos no coinciden con los datos experimentales, pero tienen la peculiaridad que se encuentran en un margen muy cercano dando a entender que la experiencia tuvo éxito. Esta diferencia entre los valores experimentales y calculados tal vez se puedan deber al porcentaje de error que poseen los dispositivos utilizados en la experiencia, a su vez de los posibles errores cometidos en el proceso de medición, además de que, en el plano real, donde se realizó la experiencia, Exiten gran cantidad de factores que afectan de forma directa e indirecta a las mediciones, todos estos factores son incontrolables; por todas esas razones existen variación en los resultados. 8. ¿cuál modelo matemático predice mejores resultados? Explique. Para este caso, proponemos que el modelo calculado predice mejor lo resultados, ya que se tiene un control absoluto en los cálculos efectuados, además de que los resultados obtenidos en el modelo calculado siempre son mayores que los obtenidos en el modelo experimental, por ende si se tiene un margen mayor de lo que se quiere obtener a lo que se obtiene en el plano real, se puede predecir mejor y evitar errores mayores al momento del diseño de un sistema como el que se estudió en este experiencia de laboratorio.

Resultados Tabla 1. Respuesta de un péndulo simple.

L1(mm)= 600 mm

L2(mm)= 400 mm

L3(mm)= 200 mm

Masa puntual M(g)=164 I (Kg m2)= 0,05904 τ (medida)=4,59/3= 1,53 ω (medida)=4,11 τ (calculada)=1,55 ω (calculada)=4,05 I (Kg m2)= 0,02624 τ (medida)=3,92/3= 1,31 ω (medida)= 4,79632 τ (calculada)=1,269 ω (calculada)=4,95 I (Kg m2)= 0,00656 τ (medida)= 2,95/3= 0,98 ω (medida)= 6,41 τ (calculada)=0,9 ω (calculada)=6,98

Masa esférica M(g)=164 I (Kg m2)= 0,069454 τ (medida)=1,53 ω (medida)=4,11 τ (calculada)=1,59 ω (calculada)=3,69 I (Kg m2)= 0,033374 τ (medida)=1,31 ω (medida)=4,8 τ (calculada)=1,3 ω (calculada)=4,8 I (Kg m2)= 0,010414 τ (medida)=1,53 ω (medida)= 6,41 τ (calculada)=0,95 ω (calculada)=6,6

Conclusión De esta experiencia podemos concluir que al analizar un péndulo simple obtenemos una ecuación diferencia no lineal, por lo cual para poder estudiarla en este caso debemos linealizarla aproximando ciertos datos y de esta forma obtener una ecuación parecida a una de las estudiadas en un sistema MasaResorte por lo cual tendrán soluciones muy parecidas. Por otra parte, al analizar los resultados de la experiencia observamos que al disminuir la longitud del hilo los periodos disminuyen y de esta forma aumenta la frecuencia. Además, al analizar la masa de dos formas diferentes podemos decir que el método que mas se acerca a la realidad es cuando lo tomamos como una esfera y de esta forma obtenemos resultados con menor error. Al realizar este laboratorio, pude observar el comportamiento de un sistema de tipo péndulo, la cual está conectada a una masa esférica. Donde observamos que a medida que la longitud del péndulo aumenta, la frecuencia natural disminuye y con lo aprendido en los laboratorios pasados, pude concluir que el periodo aumentara. También se pudo ver la diferencia a la hora de realizar el análisis teórico, ya que en este análisis simplificamos las ecuaciones despreciando el amortiguamiento que ejerce el aire y suponemos una masa circular puntual. Se pudo observar que el análisis cambia si tomamos la masa como puntual o como esférica donde existe un factor de momento polar para cada análisis. Terminada esta experiencia de laboratorio, pudimos comprender mejor los conceptos generales sobre el péndulo simple y cómo influye su composición (longitud de la cuerda, masa, etc.) en los resultados que se obtendrán luego de medido o calculado. Al analizar el modelo matemático obtenido en este

péndulo simple, se puede ver una similitud con el modelo matemático obtenido en la experiencia pasada (masa-resorte) dando a entender que efectivamente, varios sistemas del mundo real pueden modelarse como sistemas masa-resorte. Por último, que las diferencias obtenidas respecto al análisis del péndulo con una masa puntual y una masa esférica son significativas ya que, en el primer caso con respecto al segundo, se omiten gran cantidad de factores que son primordiales a la hora de realizar los cálculos matemáticos para obtener resultados, de allí la diferencia que se obtienen en los resultados. Al realizar esta experiencia se pudo comprobar los resultados teóricos como prácticos los cuales hacen que la experiencia sea más completa y didáctica. Se logró evaluar el sistema y aplicar las pruebas correspondientes para obtener resultados exactos y gracias a estos, desarrollamos un modelo matemático para el sistema que nos permitió calcular lo pedido dentro de la guía de laboratorio. Observamos que el péndulo por más sencillo que se vea, es un sistema el cual se representan muchos estados de la dinámica y gracias a la experiencia logramos entender el comportamiento de estos sistemas y relacionar lo dictado en clase con la experiencia que se ha presentado....