Dinámica de rotación PDF

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Teorìa y ejercicios sobre Dinámica de Rotación...

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Energía cinética de rotación Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo, permanece estacionario en el espacio, por lo que no posee energía cinética de traslación. Pero, las partículas individuales que conforman el cuerpo se desplazan siguiendo trayectorias circulares: en consecuencia tienen una energía cinética asociada con el movimiento de rotación Al sumar las energías cinéticas de todas las partículas que conforman un cuerpo extenso, podemos determinar la energía cinética de rotación del cuerpo como conjunto: 2 2 2 K = 12 m1 v1 + 12 m2 v2 + 12 m3 v3 + . . . K =  12 mi vi2, en la que mi es la i-ésima partícula y vi la velocidad. La suma se toma sobre todas las partículas del cuerpo. Aunque todas las partículas que conforman a un cuerpo que gira tienen la misma rapidez angular, las velocidades dependen de la distancia de cada una de ellas al eje de rotación. Pero como r = v, podemos escribir: K =  12 mi (ri )2 = 12 (mi ri2 ) 2 Si definimos a la inercia rotacional como: I = (mi ri2 ) obtenemos la expresión de la energía cinética rotacional: K = 12 I 2 Momento de inercia (inercia rotacional) Si un sistema está formado por algunas partículas, su inercia rotacional podemos calcular por: I = (mi ri2 ) Si es un cuerpo rígido extenso, definimos a la inercia rotacional del cuerpo como: I  lim  ri 2 m i   r 2dm mi o i

Teorema de los ejes paralelos Se utiliza para determinar la inercia rotacional de un cuerpo que gira alrededor de un eje paralelo al eje que pasa por el centro de masa

Eje de rotación

Ip = ICM + M.d2

Eje que pasa por el CM

Segunda ley de Newton para la rotación Si un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, podemos considerarlo como un número infinito de elementos de masa dm, de tamaño infinitesimal. Si lo ubicamos en un sistema de coordenadas, cada uno de estos elementos giran alrededor de un eje que pasa por el origen y   cada uno de ellos tiene aceleración tangencial a t , producido por la fuerza tangencial dF t . Luego: dFt = (dm) aT

  I. Trabajo y potencia en el movimiento rotacional F

Si consideramos a un cuerpo rígido que gira alrededor del punto O, sujeto a una fuerza F, aplicada en P, el trabajo efectuada por la fuerza F sobre el objeto cuando gira una distancia infinitesimal ds = r d, es igual a:   dW = F.ds  (F.sen)r.d donde F sen es la componente de la fuerza a lo largo del

ds d r O

 P

desplazamiento



El módulo del momento de rotación debido a F con respecto al punto O es r.F sen, con lo que tenemos: dW =  d Teorema del trabajo y la energía cinética para el movimiento rotacional Este es un teorema útil que ya hemos usado al describir el movimiento lineal de un sistema. Aplicando la regla de la cadena de calculo tenemos: d d d d I I  d dt d dt .d  dW  I.d

  I.  I

Al integrar esta expresión obtenemos el trabajo total realizado por el momento externo (par de torsión neto) sobre el sistema que gira: f

W   I.d   i

1 2

2

2

I f  12 I i

El trabajo neto realizado por el momento externo o par neto de torsión, cuando un cuerpo rígido rota alrededor de un eje fijo es igual al cambio de energía cinética rotacional del cuerpo

Movimiento de rotación de un cuerpo rígido (rodamiento) En general cuando un cuerpo rígido (como por ejemplo un cilindro o una esfera) rueda sobre una superficie plana y su centro de masa se A traslada paralelamente a la superficie, un punto B del borde (A) del cuerpo describe una trayectoria compleja llamada cicloide. Pero podemos simplificar este movimiento considerando el movimiento del centro de masa (B) en lugar del movimiento del punto del borde. Como se observa en la figura el centro de masa se mueve en línea recta. Consideremos el movimiento de un cilindro sobre una superficie horizontal, que se desplaza con velocidad constante cuando rueda suavemente (sin patinar.) Como indica la figura, el centro de masa O del cilindro se mueve hacia delante a una velocidad vCM. Cuando el cilindro  rota un ángulo , su centro de masa se mueve una distancia R s lineal s = R. Por lo tanto la rapidez lineal del centro de masa está dada por: s = R.

vCM =

ds d R  R dt dt

La figura muestra que el movimiento del cilindro es una combinación de movimientos puramente, de traslación y rotación. P'

P'

vCM vCM P a) Traslación pura

P'

v = R

vCM v=0 v = R

P b) Rotación pura

v = vCM + R  = 2 vCM v = vCM v=0 P c) Combinación de rotación y traslación

a) El movimiento puramente de traslación (como si en absoluto girara): todos los puntos del cilindro se mueven hacia la derecha con la misma rapidez lineal que la del centro de masa del cilindro: vCM. b) El movimiento puramente de rotación (como si el eje de rotación que pasa por el centro de masa estuviera inmóvil): todos los puntos del cilindro giran alrededor del centro de masa con la misma rapidez angular . Los puntos del borde exterior se mueven con la misma rapidez lineal v = R = vCM del cilindro

c) El movimiento giratorio del cilindro es una combinación de (a) + (b). Nótese que, en esta combinación de movimientos, el punto inferior del cilindro, en contacto con el piso, está en reposo y el punto superior (más alto del cilindro) se mueve con una rapidez 2 v CM, más rápido que cualquier otro punto. Esto sugiere que el rodamiento puede verse como una rotación pura, alrededor de un eje que pasa por P, punto de contacto instantáneo del cilindro con el suelo d) El movimiento de cualquier cuerpo que puede rodar suavemente sobre cualquier superficie se puede separar en movimientos puramente, rotacional y de traslación. La energía cinética del rodamiento La energía cinética del cilindro, medida por un observador en reposo, si vemos al rodamiento como una rotación pura alrededor de un eje que pasa por P está dada por: 2 K = 12 Ip  en la que  es la rapidez angular de la rueda e Ip es el momento de inercia rotacional del cilindro alrededor de un eje que pasa por P. Del teorema de ejes paralelos tenemos que: Ip = ICM + MR2 Luego: 2 2 2 K = 12 (ICM  + MR  ) que resulta: K=

1 2

ICM 2 +

1 2

M vCM 2

Luego la energía cinética de un cuerpo rodante es igual a la suma de la energía cinética debida 2 a la translación del centro de masa ( 12 M vCM ) y de la energía cinética de rotación alrededor 2 del centro de masa ( 12 ICM  ).

Cantidad de movimiento angular (momento angular) Considerando una partícula de masa m en movimiento. Su cantidad de    movimiento (momento lineal) es p  m.v y el vector r determina su posición, con relación al punto O. Definimos a la cantidad de  movimiento angular (momento angular) L como:

z

L = rxp O

y

r  p

    L  rxp  rx(mv )

El momento de rotación (par de torsión) (neto) sobre la partícula es:       dp d( r xp)  r x F    r x dt dt   dL   dt

La expresión anterior indica que el par de torsión que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez del cambio de la cantidad de movimiento angular

z  Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido en L rotación vi Consideremos a un cuerpo rígido en rotación alrededor de un r y eje fijo (eje z). Cada partícula del cuerpo rota en el plano xy, mi alrededor del eje z con una velocidad angular . El módulo de la x cantidad de movimiento angular de cada partícula de masa mi alrededor del eje z es mi.vi.ri (vi = ri ). La cantidad de movimiento angular de cada partícula es: Li = mi.ri2.   El vector L apunta hacia +z. La cantidad de movimiento angular de todo el cuerpo se obtiene de: Lz = Li =  mi.ri2. = ( mi.ri2). Lz = I.  Al derivar la expresión anterior, con respecto al tiempo, obtenemos una expresión de la segunda ley de Newton (forma rotacional)...