Dinamica lab^N 6 - informe de dinámica aplicada acerca de la oscilación de un péndulo simple-barras PDF

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Warning: TT: undefined function: 32 Warning: TT: undefined function: 32 Carrera de: Licenciatura en Ingeniería Mecánica Grupo: 1IM131 (Grupo A) Asignatura de: Dinámica Aplicada Instructor: Eduardo CerrudINFORME“oscilación de un péndulo simple-barras”Realizado por: González, Paulo 7- 711 - Pimentel, ...

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Carrera de: Licenciatura en Ingeniería Mecánica Grupo: 1IM131 (Grupo A) Asignatura de: Dinámica Aplicada Instructor: Eduardo Cerrud

INFORME #6 “oscilación de un péndulo simple-barras”

Realizado por: González, Paulo Pimentel, Liz

7-711-1897 8-933-1561

Marco teórico El péndulo simple se puede definir como una partícula de masa m suspendida, por un hilo inextensible de longitud l; este no está sujeto a fuerzas externas, y su ecuación de movimiento es como se mostró en laboratorios anteriores: ∑ 𝑀𝑜 = 𝐽𝑜 𝜃󰇘

−𝑚𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐽𝑜 𝜃󰇘

𝐽𝑜 𝜃󰇘 + 𝑚𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0

Si las oscilaciones son pequeñas se puede decir que 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃 , entonces Donde

La frecuencia angular será;

𝐽𝑜 𝜃󰇘 + 𝑚𝑔𝐿𝜃 = 0 𝐽𝑜 = 𝐽 + 𝑚𝐿2 𝜔𝑛 = √

𝑚𝑔𝐿 𝐽𝑜

Y la solución de dicha ecuación de movimiento se vera dada por

𝜃(𝑡) = 𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛 𝑡 + 𝐴2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛 𝑡

Para calcular la frecuencia natural, la frecuencia natural angular y el periodo de oscilación, para los valores medidos, se utilizan las siguientes ecuaciones, respectivamente:

𝑓𝑛𝑒𝑥𝑝 =

𝜔𝑛𝑒𝑥𝑝 = 2𝜋𝑓𝑛

𝜏𝑒𝑥𝑝 =

1 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 (𝜏) 𝑡𝑝𝑟𝑜𝑚 # 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

Para calcular el momento de inercia, la frecuencia angular natural y el periodo de oscilación según los valores calculados se usan las siguientes ecuaciones: Asumiendo que

𝐽𝑜 = 𝐼𝑜

𝐼𝑜 = 𝐼𝑜 + 𝑚𝐿2 = 0 + 𝑚𝐿2 = 𝑚𝐿2 𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 = √

𝜔𝑛 = √

𝐿 𝑔

𝑚𝑔𝐿 𝑚𝑔𝐿 𝑔 =√ 2 =√ 𝑚𝐿 𝐼𝑜 𝐿

Resultados

Barra asimétrica

Barra simétrica

tabla 5.1 Respuesta de Oscilación de una barra horizontal longitud de la cuerda(m) L = 0.2 Plano x-y z-y x-z x-y 284 284 284 284 𝑴(𝒈) = 17.8197671 11.9062707 5.91666667 52.4365271 𝑰= 𝝉𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 = 0.831 0.9433 0.6389 1.27 𝝎𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 = 7.5606 6.6608 9.8344 4.9474 𝝉𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 = 1.12362711 0.91845752 0.57910157 1.36292877 𝝎𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 = 5.59187763 6.84101898 10.8498848 4.61006139 𝑴(𝒈) = 236 236 236 236 𝑰= 18.5696 11.9062707 8.6775 47.3308 0.9333 0.8099 0.77 1.1089 𝝉𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 = 6.7318 7.7572 8.1599 5.6662 𝝎𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 = 𝝉𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 = 1.25827282 0.91845752 0.96774563 0.88974274 𝝎𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 = 4.9935 6.84101898 6.4926 7.0618

L = 0.4 z-y 284 46.5230307 1.1456 5.4846 1.2837788 4.89428967 236 46.5230307 1.0522 5.9715 1.2837788 4.89428967

x-z 284 5.91666667 0.7455 8.4276 0.57910157 10.8498848 236 8.6775 1.0188 6.1669 0.96774563 6.4926

Gráficos de la posición, velocidad y aceleración de la barra simétrica *la línea azul representa posición, la naranja, velocidad y la gris, aceleración* •

L = 0.2 m 1. Plano X-Y

2. Plano Z-Y 600

400 200 0

0 -200 -400 -600

3. Plano X-Z

2

4

6

8

10

12

•

L = 0.4 m 1. Plano X-Y

2. Plano Y-Z

3. Plano X-Z

Gráficos de la posición, velocidad y aceleración de la barra asimétrica *la línea azul representa posición, la naranja, velocidad y la gris, aceleración* •

L = 0.2 m 1. Plano X-Y

2. Plano Y-Z

3. Plano X-Z

•

L = 0.4 m 1. Plano X-Y

2. Plano Y-Z

3. Plano X-Z

Tabla 5.2 – modelo matemático y solución de la ecuación diferencial de las dos barras X-Y Y-Z X-Z MODELO MATEMATICO SOLUCIÓN DE ECUACION DIFERENCIAL 20

BARRA SIMETRICA

40

20

(t)=10cos(nt) ’(t)=-10n sen(nt) ’’(t)=-10n2 cos(nt) (t)=10cos(5.591877t)

(t)=10cos(6.841t)

(t)=10cos(10.84988479t)

’(t)=-55.918sen(5.591877t)

’(t)=-68.41sen(6.841t)

’(t)=-108.49sen(10.849t)

’’(t)=-312.69cos(5.591877t)

’’(t)=-467.995cos(6.841t)

’’(t)=-1177.2cos(10.849t)

(t)=10cos(4.6101t)

(t)=10cos(4.8943t)

(t)=10cos(10.8499t)

’(t)=-46.101 sen(4.6101t)

’(t)=-48.943 sen(4.8943t)

’(t)= -108.499 sen(10.8499t)

’’(t)= -212.53cos(4.6101t)

’’(t)= -239.54 cos(4.8943t)

’’(t)= -1177.2 cos(10.8499t)

(t)=10cos(4.9935t)

(t)=10cos(6.84102t)

(t)=10cos(6.4926t)

’(t)= -49.935sen(4.9935t)

’(t)= -68.4102 sen(6.84102t)

’(t)= -64.926sen(6.4926t)

’’(t)= -249.35cos(4.9935t)

’’(t)= -467.9956cos(6.84102t)

’’(t)= -421.5386cos(6.4926t)

(t)=10cos(7.0618t)

(t)=10cos(4.8943t)

(t)=10cos(6.4926t)

’(t)= -70.618sen(7.0618t)

’(t)= -48.943sen(4.8943t)

’(t)= -64.926sen(6.4926t)

’’(t)= -498.6902cos(7.0618t)

’’(t)= -239.5417cos(4.8943t)

’’(t)= -421.5386cos(6.4926t)

BARRA 40 ASIMETRICA

Preguntas: 1. ¿Que concluye respecto a las frecuencias angulares naturales, frecuencias naturales y periodos naturales de oscilación, para los sistemas de péndulo simple estudiados? Sabemos por laboratorios pasados que la frecuencia natural será inversamente proporcional a el periodo de oscilación de la barra y la frecuencia natural angular es proporcional a la frecuencia natural de oscilación. 2. ¿Como se comparan los resultados teóricos con los experimentales del modelo de las dos barras? Los resultados experimentales tendrán una diferencia dada por los errores humanos al momento de tomar las mediciones y los ángulos, la mala ubicación de la cuerda de nylon, adicional del error de redondeo de muchos decimales. 3. ¿Qué concluye respecto al momento masa de inercia de las barras y el plano de oscilación? Cuando tenga mas momento de inercia el péndulo de barras oscilara menos debido a que distancia del extremo al eje es mayor, y hay planos que por su geometría oscilara más. 4. ¿Como obtendría el momento masa de inercia de una barra a partir de los valores medidos? Se puede utilizar la fórmula de inercia para el plano X-Z dada a continuación: 𝐼𝑜 = 𝐼𝑜 + 𝑚𝐿2 = 0 + 𝑚𝐿2 = 𝑚𝐿2

Además, se pueden usar, para X-Y 𝐽𝑜 =

𝑚𝐿2 + 𝑚(𝐿𝐻 + 𝑅)2 12

Y para el plano Y-Z 𝐽𝑜 =

𝑚𝐷2 + 𝑚(𝐿𝐻 + 𝑅)2 8

Conclusiones Conclusión – Liz Pimentel Puedo concluir que cuando el momento de inercia es menor la velocidad angular será mayor, ya que el momento de inercia representa la resistencia del cuerpo a acelerarse angularmente, en nuestro caso la barra oscila más rápido en el plano x-z. Cuando el eje no coincide con el centro de masa inmediatamente debemos utilizar el teorema de Steiner. Cuando la cuerda es más larga el tiempo que demora en hacer una oscilación es mayor, cuando la cuerda es corta la oscilación demora menos. Conclusión – Paulo González Al finalizar esta experiencia tengo una mejor idea de como se plantea la ecuación de movimiento de un péndulo simple y como afecta el momento de inercia cuando interactúan los tres planos. El teorema de ejes paralelos resulta una herramienta muy útil en los casos que donde el eje de rotación no se ubica en el centro de masa. Esto se muestra mejor observando las graficas de comportamiento de Excel.

Referencias bibliográficas Guía de laboratorio de dinámica aplicada – Dimas Portillo – editorial UTP...