Dinamica rotazionale - Appunti di lezione 1 PDF

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LA DINAMICA ROTAZIONALE Nel precedente capitolo abbiamo descritto il moto di traslazione dei corpi estesi o formati da un numero grande si di particelle, in funzione del loro centro di massa (vedi pagine 237-239). Sebbene un corpo che ruota, come qualunque altro sistema in moto, possa essere trattato come un sistema di punti materiali al quale si applica la seconda legge di Newton F  ma , in generale conviene definire degli equivalenti rotazionali delle quantità meccaniche utilizzate finora per trattare i moti traslatore, sostituendo in particolare le distanze con gli angoli. Osserviamo che per definire uno spostamento angolare  occorre conoscere l’angolo di rotazione  e la rotazione dell’asse di rotazione del corpo. Graficamente ciò equivale a costruire un segmento orientato con lunghezza in radianti pari al valore di  e diretto lungo l’asse di rotazione nel verso indicato dalla regola della mano destra.

Tuttavia, mentre la velocità angolare  e l’accelerazione angolare  si possono rappresentare con vettori, lo spostamento angolare  non è un vettore; infatti la somma di due spostamenti angolari successivi lungo due assi diversi non gode la proprietà commutativa dei vettori (a le rotazioni finite non sono commutative.

), cioè

L’applicazione di una forza esterna, pur non avendo nessuna influenza sul moto del centro di massa, può influire sul moto di rotazione di un corpo. Oltre a considerare la forza occorre quindi associare ad essa il concetto di distanza rispetto all’asse di rotazione del corpo rigido. Ciò porta a definire una nuova grandezza fisica che abbiamo chiamato il momento della forza.

Riportiamo in questa tabella le definizioni e le relazioni tra le grandezze meccaniche che descrivono i moti traslatori e i moti rotatori. Moto traslatorio Spostamento spaziale s Velocità media v

(metri)

m/ s

t

Accelerazione media a

m / s2

t

Massa m

kg

Forza F Seconda legge di Newton F  ma Quantità di moto di una particella q  mv Seconda legge generalizzata F  Energia cinetica Ec 

1 mv 2 2

1 rad



i



Seconda legge generalizzata M 

J

t 1 Energia cinetica rotazionale Ec  I  2 J 2 Lavoro W  M   J Teorema dell’energia cinetica 1 1 Lavoro  m 2f  mi2 2 2 Principio di conservazione del momento angolare totale di un sistema di particelle per il quale  Mext  0

Ltot   Li  costante

 180

 

N m

M  I Momento angolare di una particella L  I

J

i i

;  rad 

rad / s2 t Momento di inerzia di un sistema di particelle I   mr 2 kg  m2

Accelerazione angolare  

Momento torcente M Seconda legge di Newton

t

Lavoro W  F  s Teorema dell’energia cinetica 1 1 Lavoro  mv 2f  mvi2 2 2 Principio di conservazione della quantità di moto totale di un sistema di particelle per il quale  Fext  0

q tot

N

Moto rotatorio intorno a un asse fisso Spostamento angolare  (radianti) Velocità angolare diretta verso l’asse di rad / s  rotazionekˆ t

Relazioni tra grandezze lineari e rotazionali in un moto circolare qualunque; r  distanza di un punto P dall’asse di rotazione.. Spostamento lineare Velocità tangenziale Accelerazione tangenziale causata da una variazione del modulo della velocità Accelerazione centripeta causata da una variazione della direzione della velocità

s  r  v  r at  r  ac  r 2  

Relazioni cinematiche tra il moto traslatorio e il moto rotazionale Equazioni del moto rettilineo uniformemente Equazioni del moto rotatorio con accelerazione accelerato angolare costante

a  costante v  v0  at

  costante

s  s0  v0t  12 at 2

  0  0t  21  t 2 2  02  2   

2

2 0

v  v  2a  s

  0   t

accelerazione angolare velocità angolare posizione angolare...