Diopantisch- zusatzaufgaben mit der Lösungen PDF

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Diopantisch- zusatzaufgaben mit der Lösungen...

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Diophantische Gleichungen Beispiel 1 Es stehen als Münzen 2 Cent-Stücke und 5 Cent-Stücke zur Verfügung. Welche Möglichkeiten gibt es, daraus einen Betrag von 50 Cent zusammen zustellen? Verwenden Sie zum Lösen eine Diophantische Gleichung. Lösung Es entsteht die Diophantische Gleichung: 2x+5y=50 1. Der größte gemeinsame Teiler ggT (2,5) = 1 teilt die Konstante 50, deshalb ist die Gleichung lösbar. 2. Wählen wir die Variable mit dem betragsmäßig kleinsten Koeffizienten, also x. Nun lösen wir die Gleichung nach y auf: 2x =-5y+50, x = (-5y)/2 –25. 3. Gruppieren wir Terme mit ganzen und rationalen Koeffizienten: x = (-5y)/2 –25= -y/2 +25 – 2y (*). 4. Führen wir eine neue ganzzahlige Variable a:= y/2 ein. => y = 2a (**) Einsetzen a und y in die Gleichung (*): x = (-5y)/2 –25= -a +25 – 2 2a = 255a (***). Sie enthält nun keine Terme mit rationalen Koeffizienten mehr. 5. Die Lösungen der gestellten Aufgabe lauten: y = 2a, (**) x = 25a – 5a, (***) a 0,1,2,3,4,5}

Beispiel 2 Überprüfen Sie, ob die folgende diophantische Gleichung lösbar ist. Falls ja, finden Sie die allgemeine ganzzahlige Lösung: 3x – 5y = 4, x  , y  . Lösung: 1. Der größte gemeinsame Teiler ggT (3,5) = 1 teilt die Konstante 4 der rechten Seite, deshalb ist die Gleichung lösbar. 2. Wir wählen die Variable mit dem betragsmäßig kleinsten Koeffizienten: x. Nun lösen wir die Gleichung nach x auf: 3x = 5y + 4, x= (5y)/3 + 4/3. 3. Gruppieren wir Terme mit ganzen und rationalen Koeffizienten: x = (5y)/3 + 4/3= 2y/3 + 1/3 + y + 1 (*). 4. Wir führen eine neue ganzzahlige Variable a:= 2y/3 + 1/3 ein. Mit a konstruieren wir eine neue diophantische Gleichung: 3a = 2y + 1; 3a – 2y = 1 (**). 5. Wieder wählen wir die Variable mit dem betragsmäßig kleinsten Koeffizienten, also y. Nun lösen wir die Gleichung nach x auf: 2y = 3a – 1, y= (3a)/2 – 1/2. 6. Gruppieren wir Terme mit ganzen und rationalen Koeffizienten: y = (3a)/2 – 1/2= a/2 – 1/2 + a (**). 7. Führen wir eine neue ganzzahlige Variable b:= a/2 – 1/2 ein. Mit b konstruieren wir eine neue diophantische Gleichung: 2b = a – 1; a = 2b + 1 (***). Sie enthält nun keine Terme mit rationalen Koeffizienten mehr. 8. Machen wir alle Substitutionen rückgängig: aus (***) a = 2b + 1. Stellen wir diese in (**), so erhalten wir: y = [3(2b+1) – 1]/2 = [6b + 2]/2 = 3b + 1. Also, y = 3b +1 (****) Stellen wir (****) diese in (*), so erhalten wir: x = [5(3b +1) + 4]/3 = [15b + 9]/3 = 5b + 3. Dann ist x = 5b + 3. 9. Die Lösung der Gleichung 3x – 5y = 4 lautet: x = 5b + 3, y = 3b + 1, b ....