Zusatzaufgaben zum DGL 1. und 2. Ordnung mit Lösung PDF

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Zusatzaufgaben zum DGL 1. und 2. Ordnung mit Lösung...

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Übungsaufgaben 1 2 xy   auf Extremwerte und 2x y 3 Sattelpunkte und geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte an.

1.

Untersuchen Sie die Funktion f ( x, y) 

2.

Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung 1. Ordnung: y y '    sin x x

3.

Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung 2. Ordnung: y ' ' 2 y ' y  x 3

4.

Lösen Sie die folgende Differentialgleichung mit der gegebenen Anfangsbedingung mit Hilfe der Laplace-Transformation: y' ' y' y  0 , y 0   y ' (0)  1

Lösungen

1.

Partielle Ableitungen: f ( x, y) 

1 2 xy   2x y 3

1 y 2  2x 3 2 x fy   2  y 3 1 f xy  f yx  3 1 f xx  3 x 4 f yy  3 y fx  

Berechnung der Koordinaten der Extremwerte aus den notwendigen Bedingungen: 1 y !   0 2x 2 3 2 x !  0 fy   2  y 3 fx  

3 2



(I):

x2 y 



(II):

xy 2  6

Aus 𝑦 ∙(I)  𝑥 ∙(II) folgt: 

Einsetzen von 𝑥 =  𝑦 in (I):

3 y  6x  0  2

x

y 3  24

y  3 24



1 y 4

 3 24 3   Extremwert bei: P  , 24   4 

Prüfung der hinreichenden Bedingungen und Bestimmung des Extremwertes:  8  3 24 3 , 24    0 f xx   3  4

 3 24 3   3 24 3   3 24 3  8 1 1 1   f yy    f xy2   f xx  , 24 , 24  4   4   4 , 24   3  6  9  3  0      

2

 3 24 3   An der Stelle P  , 24  liegt ein relatives Minimum vor.  4 

2.

y  sin x x Schritt 1: Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung: y'  

y'

y 0  x

dy y  dx x

Trennung der Variablen: 1 1  dy    dx y x Integration:



1 1  dy    dx y x ln y  C 1   ln x  C 2



ln y   ln x  ln C



1

 y  e ln x  ln C  eln x  eln C 

( ln C  C 2  C 1 , C  ℝ)

C x

Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung:

y

C x

(C  ℝ)

Schritt 2: Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: Lösungsansatz:

y

K x  x

Einsetzen in inhomogene Differentialgleichung:

3



d  K x  K x     2  sin x dx  x  x K ' x   x  K x  K x    sin x x2 x2 K ' x   sin x x K ' x   x  sin x

K x 

 x  sin x dx  sin x  x  cos x  C

 

Integration:

Allgemeine Lösung:

3.

y

K x  sin x  x  cos x  C  x x

y ' ' 2 y ' y  x 3 Schritt 1 (Allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL):

y ' ' 2 y ' y  0

Homogene DGL:

Charakteristische Gleichung:  2  a    b   2  2   1  0  1, 2   1 

2

  1  1 

2 ,  2  1 

y h  C 1  e 1 

Allg. Lösung der homogenen DGL:

2

2

 C 2  e  1

2

Schritt 2 (Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL): Störfunktion: s  x   x 3  Störfunktions-Typ: s  x   P3  x   Lösungsansatz  b  0  : y p  Q3  x   q3 x 3  q 2 x 2  q 1 x  q 0 Einsetzen in inhomogene DGL: d2 y ' '2 y '  y  q 3 x 3  q 2 x 2  q1 x  q 0 dx 2 d  2 q 3 x 3  q 2 x 2  q1 x  q 0 dx  q 3x 3  q 2x 2  q1 x  q 0











4





 

 6 q 3x  2 q 2   2  3q 3 x 2  2 q 2 x  q 1  q 3 x 3  q 2 x 2  q1 x  q 0



  q3 x 3  6 q 3  q 2 x 2  6q 3  4 q 2  q1  x  2 q 2  2 q1  q 0  x 3 ( Störfunktion) Koeffizientenvergleich: (I)

 q3  1



q3   1

(II)

6q3  q2  0



q2   6

(III)

6q3  4q2  q1  0



q1  30

(IV)

2q2  2q1  q0  0



q0   72

Damit ergibt sich für die partikuläre Lösung: y p   x 3  6 x 2  30 x  72

Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL: y x   y h x  y

4.

x   C 1  e  1

p

  C  e  1 2

2x

  x 3  6x 2  30 x  72

2x

y 0   y ' (0)  0,5

y ' ' y ' 0,25  y  0 ,

Schritt 1: Laplacetransformation ℒ{𝑦′′} − ℒ{𝑦 󰆒 } + 0,25 ∙ ℒ{𝑦} = 0 𝑠  ∙ ℒ{𝑦} − 𝑠 ∙ 𝑦(0) − 𝑦 󰆒 (0) − 𝑠 ∙ ℒ{𝑦} + 𝑦(0) + 0,25 ∙ ℒ{𝑦} = 0 ℒ{𝑦} ∙ (𝑠  − 𝑠 + 0,25) + 0,5𝑠 = 0 ℒ{𝑦} = −

,

( ,)

ℒ{𝑦} = − (

,

,)

Schritt 1: Inverse Laplacetransformation 𝑦 = −0,5 ∙ ℒ  󰇥



(,)

󰇦

𝑦 = −(0,5 + 0,25𝑡) ∙ 𝑒 ,

5...