Beispiel zum Sicherheitsäquivalent mit Risikoneigung PDF

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Sicherheitsäquivalent & Risikoneigung Es wird folgende Lotterie betrachtet:

Lotterie 100 %

Sicherer Betrag: ?

50 %

50 %

1€

6€

Frage: Wie hoch muss der sichere Betrag sein, damit der Spieler indifferent ist zwischen teilnehmen und nicht teilnehmen? („Was müsste man ihm zahlen, damit es ihm gleichlieb ist, an der Lotterie teilzunehmen oder nicht teilzunehmen?“) Abhängig von der Risikoeinstellung des Spielers/ Entscheidungsträgers Es werden 3 verschiedene Entscheidungsträger betrachtet:

a)

Risikoneutral, lineare Nutzenfkt. z.B.: 𝑢(𝑥) = 2𝑥

b)

Risikofreudig, konvexe Nutzenfkt. z.B.: 𝑢 𝑥 = 𝑥 2

c)

Risikoavers, konkave Nutzenfkt. z.B.: 𝑢 𝑥 = 𝑥

Im Folgenden: 1 Erwartungswert der Ergebnisse und zugehöriger Nutzen 2 Erwartungswert der Nutzen der Ergebnisse = Nutzen SÄ 3 Sicherheitsäquivalent OPERATIONS RESEARCH| PROF. DR. BRIGITTE WERNERS RATIONALES ENTSCHEIDEN

SÄ-1

a)

𝑢 𝑥 = 2𝑥

Nutzenfunktion €

1

2

3

4

5

6

𝑢

2

4

6

8

10

12

(Nutzen)

+2

+2

+2

+2

+2



Konstanter Grenznutzen

𝑢 13

𝑢 𝑥 = 2𝑥

12

1

11 10 9 8

𝐸 𝑥 = 0,5 ∗ 1 + 0,5 ∗ 6 = 3,5 u 𝐸 𝑥

u(𝐸(𝑥) = 𝐸 𝑢 𝑥

= 2 ∗ 3,5 = 7

7

2

6 5 4

u 1 = 2, 𝑢 6 = 12

𝐸(𝑢 𝑥 ) = 0,5 ∗ 𝑢(1) + 0,5 ∗ 𝑢 6 = 0,5*2+0,5*12 =7

3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

𝑥

𝐸(𝑥) =SÄ

 𝑢 𝐸 𝑥 = 𝐸 𝑢 𝑥  Risikoneutral  𝑢 SÄ = 𝐸 𝑢 𝑥 = 7  𝑢(SÄ) = 7

3

7

SÄ = 2 = 3,5

Der risikoneutrale Spieler ist indifferent zwischen der Lotterie und dem sicheren Betrag, wenn man ihm den EW der Ergebnisse bietet, da der Erwartungsnutzen für ihn gleich dem Nutzen des EW ist. OPERATIONS RESEARCH| PROF. DR. BRIGITTE WERNERS RATIONALES ENTSCHEIDEN

SÄ-2

𝑢 𝑥 = 𝑥2

b)

Nutzenfunktion €

1

2

3

4

5

6

𝑢

1

4

9

16

25

36

(Nutzen)

+3

+5

+7

…



zunehmender Grenznutzen

𝑢 40

1

35

𝐸(𝑥)

30

𝐸 𝑥 = 3,5 𝑢 𝐸 𝑥

𝑢(𝑥)

= 3,52 = 12,25

25

2

𝑢 SÄ = 20 𝐸 𝑢 𝑥 = 18,5

𝑢 1 = 1,

𝑢 6 = 36

𝐸(𝑢 𝑥 ) = 0,5 ∗ 1 + 0,5 ∗ 36 = 18,5

15

u(𝐸 𝑥 ) = 12,25

10 5 0 0

1

2

3

4

5

6

𝑥

𝐸(𝑥) SÄ = 4,3

𝐸 𝑢 𝑥 > 𝑢 𝐸 𝑥  Risikofreudig 𝑢 SÄ = 𝐸 𝑢 𝑥 = 18,5 3 SÄ = 18,5 ≈ 4,3 Der risikofreudige Spieler hat ein höheres SÄ als der risikoneutrale, da die höhere Gewinnaussicht beim Spiel ihm trotz Risiko mehr Nutzen bringt als der EW. Man müsste ihm 4,3 zahlen, also mehr als den EW des Spiels, damit er indifferent ist. OPERATIONS RESEARCH| PROF. DR. BRIGITTE WERNERS RATIONALES ENTSCHEIDEN

SÄ-3

c)

𝑢 𝑥 = 𝑥

Nutzenfunktion €

1

2

3

4

5

6

𝑢

1

1,41

1,73

2

2,24

2,45

(Nutzen)

+0,41

+0,32 +0,27



…

abnehmender Grenznutzen

𝑢 3

1 2,5

𝐸 𝑥 = 3,5

𝑢(𝑥)

u 𝐸 𝑥

2

u(𝐸 𝑥 ) = 1,87 𝐸 𝑢 𝑥 = 1,73 = 𝑢 SÄ 1,5

=

3,5 = 1,87

𝐸(𝑥)

2

u 1 = 1, 𝑢 6 = 2,45 𝐸(𝑢 𝑥 ) = 0,5 ∗ 1 + 0,5 ∗ 2,45 = 1,73

1 0,5 0 0

1

2

3

4

5

6

𝑥

𝐸(𝑥) SÄ = 2,97

𝑢 𝐸 𝑥 > 𝐸 𝑢 𝑥  Risikoavers 𝑢 SÄ = 𝐸 𝑢 𝑥 = 1,73 3 SÄ = 1,732 ≈ 2,97 Der risikoaverse Spieler hat ein SÄ, welches unterhalb des Erwartungswertes des Spiels liegt. Er akzeptiert also einen niedrigeren sicheren Betrag, um indifferent zur Lotterie zu sein, als der risikoneutrale und risikofreudige Spieler. OPERATIONS RESEARCH| PROF. DR. BRIGITTE WERNERS RATIONALES ENTSCHEIDEN

SÄ-4...