Diseño de controladores Lugar de las raices PDF

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Todo lo que hay que saber...

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DISEÑO DE CONTROLADORES USANDO EL MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Suponemos que nuestro sistema en bucle cerrado va a tener un par de polos complejos conjugados. De esta forma, la metodología de diseño será elegir un controlador que haga que el lugar de las raíces del sistema compensado pase, para una determinada ganancia, por los polos elegidos. Los pasos a seguir serían: 

De las condiciones de diseño (tiempo de subida, sobreoscilación, tiempo de pico…), obtener unos valores para  y n . Obtener la ganancia mínima, K, que cumple los requisitos de error en régimen permanente para una determinada entrada.

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Obtener el valor del par de polos complejos conjugados: p   n  j n 1  2

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Dibujar el lugar de las raíces. Comprobar si el lugar de las raíces pasa por ese par de polos complejos conjugados para un determinado valor de K. Si es así y el valor de K es es suficientemente alto para cumplir las condiciones de régimen permanente, es suficiente con un controlador P. Si no, no es suficiente con un control P y hay que recurrir a otro tipo de controlador. Si no es suficiente con un control proporcional, se calcula la posición de los ceros del controlador para hacer que el sistema pase por ese par de polos complejos conjugados mediante el criterio del argumento. Incluir en este cálculo los polos/ceros que no sean modificables (por ejemplo el integrador en un PI y un PID). Una vez ubicados los polos/ceros del controlador, se calcula la ganancia del controlador mediante el criterio del módulo. Por último se simula y se comprueba que se cumplen especificaciones. Si no, rediseñar.

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Este método de diseño se va a aplicar a algunos ejemplos. EJEMPLO 1: Diseñar un controlador para el siguiente sistema que cumpla: 1. Error en régimen permanente ante entrada escalón 0. 2. SO  10% 3. tp  1.2385s

G( s) 

s1 s  s 1 2

Observando el sistema, nos damos cuenta que es de tipo 0. Por lo tanto, para cumplir la especificación de régimen permanente se debe aumentar el tipo. En este caso, se va a diseñar un controlador PI, de la forma:

PI( s)  Kc

s  cpi s

Para cumplir la SO, el coeficiente de amortiguamiento necesario será:

 

ln( SO) ln(SO )2   2

 0.59

El par de polos complejos conjugados por los que el sistema debe pasar son: 𝑡𝑝 =

𝜋

𝜔𝑛√1−𝛿 2

≤1.2358=>𝜔𝑛 ≥ 3.1416 => 𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠

pi  1.8572  j 2.5339

En el caso del PI, hay dos parámetros de diseño: la posición del cero cpi y la ganancia Kc. El integrador no es un parámetro de diseño, por lo que se tendrá en cuenta a la hora de calcular la posición del cero. La posición del cero cpi, ha de ser tal que la fase en los polos complejos conjugados pi sea 180º. Matemáticamente, para cualquier punto del lugar de las raíces de ganancia positiva Kc, se debe cumplir:



s ci

  s  pi  180

Donde  s  pi es el ángulo que forman los ceros en el punto pi y  s pi es el ángulo que forman los polos en el punto pi. En nuestro caso:

Vamos a calcular la posición del cero cpi para que en los polos deseados pi, se cumpla la condición de argumento. Para ello debemos calcular el ángulo que cada polo/cero producen en los polos pi (solo se va a realizar con el polo en la parte positiva).

 s 0  90  arctan 

   126.2392º   1.8572  0.5   90  arctan    129.1359º  2.5339  0.866   1.8572  0.5   90  arctan    111.7613  2.5339  0.866  1.8572  2.5339

 s 0.5  j 0.866  s 0.5  j 0.866

 1.8572  1   108.693º  2.5339 

 s 1  90  arctan

El ángulo que debe añadir el cero cpi viene dado por la expresión:

 s cpi  180  126.2392 129.1359 111.7613 108.693 438.4461 78.4461 Para calcular la posición del cero, se aplica la fórmula:

tan CPI  

2.5339 2.5339  cpi  1.8572  2.3793  cpi 1.8572 tan CPI 

Para calcular la ganancia del controlador Kc, se aplica la condición de módulo:

K  KLR * Kc 

K 1  3.5735  Kc   3.5735 s cpi n( s) KLR s d ( s) s  1.8572 2.5339 j

La expresión del PI es:

PI( s)  3.5725

s  2.3793 s

Como se observa, el lugar de las raíces pasa por el par de polos complejos conjugados deseados. Se recomienda ejecutar el fichero Ejemplo1.m con rltool. EJEMPLO 2 Diseñar un controlador por el método de lugar de las raíces para el siguiente sistema: 𝐺(𝑠) = Que cumpla las siguientes condiciones:

𝑠(𝑠 2

5 + 5𝑠 + 7)

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Error en régimen permanente ante rampa nulo.

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SO...