Aproximaciones de raices PDF

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es un libro que te ayudará con todas las cuestiones habidas y por haber de cálculo integral...

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Profr. Efraín Soto Apolinar.

La diferencial como aproximación al incremento Ahora vamos a utilizar la diferencial para hacer aproximaciones. Esta aproximación está basada en la interpretación geométrica que acabamos de dar de la diferencial. √ Aproxime con diferenciales el valor de 402.

• Consideremos la función: y =

√

Ejemplo 1

x = x1/2.

• Sabemos que la raíz cuadrada de 400 es 20. • Podemos utilizar este valor para aproximar el valor de la raíz cuadrada de 402. • Primero encontramos la diferencial de la función: dy =

∆x √ 2 x

• Para este caso hacemos ∆x = 2, y x = 400. • Esto es así porque x + ∆x = 400 + 2 = 402.

Observa

• Entonces, sustituyendo los valores en la diferencial obtenemos: dy =

geométrica de la diferencial.

2 1 ∆x = 0.05 √ = √ = 20 2 x 2 400

• Ahora, y + dy = 20 + 0.05 = 20.05 √ • El valor exacto a 7 decimales es: 402 = 20.0499377. • Nos resultó una buena aproximación. Aproxime con diferenciales el valor de

√

Ejemplo 2

25.2.

• De nuevo, consideramos la función y =

√

x = x1/2 .

• Ya sabemos que la diferencial correspondiente es: dy =

∆x √ 2 x

• Al sustituir ∆x = 0.2, y x = 25 en esta fórmula, obtenemos: dy = • De manera que

√

25.2 ≈

√

0.2 ∆x 0.2 √ = √ = = 0.02 2 x 10 2 25

25 + dy = 5 + 0.02 = 5.002.

• El valor arrojado por la calculadora científica es de: 5.019960159.

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la

interpretación

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Ejemplo 3

Aproxime con diferenciales la raíz cúbica de 28. • Ahora consideramos la función: y =

√ 3

x = x1/3

• Sabemos de antemano que la raíz cúbica de 27 es 3. Esto sugiere que utilicemos ∆x = 1 y x = 27. Ahora encontramos la diferencial de la función: dy =

∆x 3 x2/3

• Sustituyendo los valores de las incógnitas encontramos el valor buscado: dy

1 ∆x = 3 x2/3 3 (27)2/3 1 1 = = 3 (9 ) 3 (3 )2 1 = 27

=

• Entonces, de acuerdo a lo sugerido, tenemos que: √ √ 1 1 81 1 82 3 3 28 ≈ 27 + = 3+ = + = 27 27 27 27 27 • Podemos verificar la exactitud del resultado elevándolo al cubo:  3 82 551 368 = 28.01239648 · · · = 27 19 683 • Buena aproximación. Ejemplo 4

Aproxime la raíz cúbica de 0.009 • Consideramos la función raiz cúbica:

y=

√3

x

• Ahora hacemos x = 0.008 (porque la raíz cúbica de 0.008 es 0.2) y ∆x = 0.001 • Ya sabemos que la diferencial de la función es: dy =

∆x 3 x2/3

• Utilizando los valores conocidos obtenemos: dy = • Entonces,

√ 3

1 0.001 0.001 0.001 ∆x = = = = 3 (0.04) 3 (0.02)2 120 3 x2/3 3 (0.008)2/3

0.009

√3

1 1 2 1 + = = 0.2 + 120 10 120 120 24 5 25 1 = = = + 24 120 120 120

≈

0.008 +

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• Elevando al cubo este resultado, encontramos que: 

5 24

3

=

125 = 0.0090422453 · · · 13 824 Ejemplo 5

Aproxime con diferenciales la raíz cuarta de 15. • Considere la función: y =

√ 4

x.

• Encontramos la diferencial correspondiente: dy =

∆x 4 x3/4

• Sabemos que 24 es igual a 16. Esto sugiere que hagamos x = 2 y ∆x = −1. • Sustituyendo estos valores en la diferencial obtenemos: dy =

−1 −1 −1 ∆x = = = 4 (2 )3 32 4 x3/4 4 (16)3/4

• Por tanto, la aproximación buscada es:

√ 4

15 =

√ 4

16 −

1 1 63 = 2− = 32 32 32

• Elevando a la cuarta potencia, tenemos: 

63 32

4

=

15 752 961 = 15.02319431 1 048 576 Ejemplo 6

Use diferenciales para estimar (0.98)4 . • Sea y = x4 . Es claro que dy = 4 x3 ∆x. • Podemos hacer x = 1 y ∆x = −0.02. Sustituyendo estos valores encontramos: dy = 4(1)3 (−0.02) = −0.08 entonces, (0.98)4 es aproximadamente igual a 14 − 0.08 = 1 − 0.08 = 0.92. • El valor arrojado por una calculadora científica es: 0.92236816 Use diferenciales para aproximar:

Ejemplo 7

N = (2.01)4 − 3 (2.01)3 + 4 (2.01)2 − 5 (2.01) + 7. • Sea M = x4 − 3 x3 + 4 x2 − 5 x + 7 www.aprendematematicas.org.mx

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• Fácilmente podemos encontrar: dM = (4 x3 − 9 x2 + 8 x − 5) · ∆ x • Ahora hacemos x = 2, y ∆x = 0.01 y sustituimos estos valores en dM. dM

= (4 (2)3 − 9 (2)2 + 8 (2) − 5)(0.01)

= (4 (8) − 9 (4) + 8 (2) − 5)(0.01) = (32 − 36 + 16 − 5)(0.01) = (7)(0.01) = 0.07

• Entonces, M ( x + ∆x ) = M (2.01) es aproximadamente igual a M (2) + dM . M (2) = (2)4 − 3(2)3 + 4(2)2 − 5(2) + 7 = 16 − 24 + 16 − 10 + 7 = 5 • Luego, M (2.01) = M (2) + dM = 5 + 0.07 = 5.07 • Para comparar este resultado con el valor exacto, evalúa M (2.01). El concepto de diferencial se puede utilizar para aproximar el valor de una cantidad relacionada a otras en diferentes situaciones.

Créditos Albert Einstein

Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 07 de agosto de 2010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.

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Profr. Efraín Soto Apolinar.

Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: [email protected]

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