Criterio de Routh y el lugar de las raíces. PDF

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Tema 13, Criterio de Routh y el lugar de las raíces....

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Tema 13.- Criterio de Routh y el lugar de las raíces. 13.1.- CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH El criterio de Routh es un método puramente algebraico para determinar cuantas raíces de la ecuación característica tienen parte real positiva. A partir de ahí se puede determinar si el sistema es o no estable. Este criterio está limitado a sistemas que tienen ecuaciones características polinómicas. Luego no se puede usar para sistemas que tengan tiempos muertos. La demostración matemática del criterio está fuera del alcance de este curso y se puede encontrar en libros de álgebra. El procedimiento para examinar las raíces comienza escribiendo la ecuación característica en la forma: aosn + a1sn-1 + a2sn-2 + ... + an = 0

(13.1)

donde ao es positivo (si no lo es se multiplican los dos miembros por -1). Si las raíces no tienen parte real positiva es necesario que todos los coeficientes ao,a1, ...,an sean positivos. Si algún coeficiente es negativo el sistema es inestable. Si todos los coeficientes son positivos el sistema puede ser estable o inestable. Para determinarlo hay que colocar los coeficientes formando las dos primeras filas de la matriz de Routh. Fila 1 2

ao a1

a2 a3

3 4

b1 c1

b2 c2

5 6 7

d1 e1 f1

d2 e2

n+1

g1

a4

a6

a5 b3 c3

a7

En general hay n+1 filas. Si n es par, la primera fila tiene un elemento más que la segunda. Los elementos del resto de las filas se generan a partir de las expresiones: b1 =

a1a2 - a0a3 a1

b2 =

a1a4 - a0a5 a1

...

c1 =

b1a3 - a1b2 b1

c2 =

b1a5 - a1b3 b1

...

...........................................................................

- 1-

Los elementos de una fila se obtienen a partir de los elementos de las dos filas precedentes. Una vez que se dispone de la matriz de Routh, se aplican los siguientes teoremas para determinar la estabilidad del sistema: 1. La condición necesaria y suficiente para que el sistema sea estable (todas las raíces de la ecuación característica tengan parte real negativa) es que todos los elementos de la primera columna de la matriz sean positivos y no cero. 2. Si alguno de los elementos de la primera columna es negativo, el número de raíces con parte real positiva es igual al número de cambios de signo en la primera columna. 3. Si un par de raíces está en el eje imaginario (parte real nula) y el resto de raíces tiene parte real negativa, todos los elementos de la fila n-ésima serán nulos y no lo será ningún elemento de la fila precedente. La situación del par de raíces imaginarias se puede calcular resolviendo la ecuación Cs2 + D = 0, donde C y D son los elementos de la matriz en la fila (n-1) leídos de izquierda a derecha respectivamente. En la construcción de la matriz de Routh nos podemos encontrar con alguna dificultad. Por ej. si dos filas sucesivas de la matriz son proporcionales miembro a miembro, la siguiente fila será nula. Para resolver la matriz hay que sustituir la fila de ceros por la derivada del polinomio en s de la fila anterior. Otro problema suele ser que aparezca un cero en el primer término de una fila. Se puede continuar sustituyéndole por un pequeño número positivo. Ejemplo 13.1.: Dada la ecuación característica s4 +3s3 + 5s2 + 4s + 2 = 0, determinar la estabilidad por el criterio de Routh. Como todos los coeficientes son positivos el sistema puede ser estable. Para verlo construimos la matriz de Routh: Fila 1

1

5

2 3 4

3 11/3 26/11

4 6/3 0

5

2

2

Los elementos de la matriz se calculan como se acaba de indicar. Como no hay cambio de signo en la primera columna se puede decir que todas las raíces tienen parte real negativa y el sistema es estable.

- 2-

1 11 Ejemplo 13.2.: Dada la ecuación característica 6 s3 + s2 + 6 s + (1+Kc) = 0, determinar el valor de Kc para el que el sistema de control es estable. Como todos los coeficientes son positivos el sistema puede ser estable. Para verlo construimos la matriz de Routh: Fila 1 2 3 4

1 6 1 10-Kc 6 1+Kc

11 6 (1+Kc)

Como Kc es positivo, el sistema de control será estable sólo si Kc...