Explicacion criterio de Leibnizt, Raabe y Dalembert PDF

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Resumen de los temas...

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Matemática I

Confeccionado por Osvaldo S. Altamirano

CRITERIO DE LEIBNITZ

Este criterio se aplica solo para series numéricas de términos alternados, es decir, series que tengan la siguiente estructura: a1  a 2  a3  a4  ... an ...

Según este criterio, la serie alternada será convergente si y solo si se cumplen las 2 siguientes condiciones: 1º) Que los términos de la serie tomados en valor absoluto formen una sucesión monótona decreciente, es decir: a1  a 2  a3  ...

2º) Que el límite del término general para cuando

n   sea cero, es decir:

lim a n 0 n 

* Si alguna de estas condiciones no se cumplen diremos que la serie es DIVERGENTE. - Si la serie alternada es convergente, podemos analizar su convergencia absoluta. Diremos que una serie alternada convergente es a su vez ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE, si esa misma serie formada por el valor absoluto de sus términos también lo es. Para comprobarlo debemos aplicar algunos de los criterios de convergencia aplicados para series de términos positivos, tales como: D’Alembert, Raabe, etc.

A continuación desarrollaremos las Actividades Nº 8 y 9 de la guía de trabajos prácticos de Matemática I

Actividad Nº 8 : ( página 100-101 de la guía de T.P. ) 1

Matemática I

Confeccionado por Osvaldo S. Altamirano

Estudie el carácter de las siguientes series con signos alternados mediante el criterio de Leibnitz : 

8.1-

   1

n 1

n 1

1  n

1 1 1 1    ...  ... n 2 3 4

 1

- Se observa que el (-1) elevado a una potencia sirve para determinar el signo de cada término en la serie. 1º) La primera condición se cumple: Los términos de la serie alternada tomados en Valor Absoluto, forman una sucesión monótona decreciente: 1 1 1    ... 2 3 4

1 

1 > 0,50 > 0,33 > 0,25 > …

2º) La segunda condición se cumple: lim an  lim 1 n 

n 



n

1  0 

Conclusión: la serie de términos alternados es convergente. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

8.2-

   1

n 1

n 1



n2 n 1



n 2 3 4 5 6     ...  .... n 1 2 3 4 5

1º) La primera condición se cumple: Los términos de la serie alternada tomados en Valor Absoluto, forman una sucesión monótona decreciente: 3 4 5 6     ... 2 3 4 5 1,5 > 1,33 > 1,25 > 1,20 >…

2º) La segunda condición no se cumple: lim an  lim n  2  n 

n 

n 1

 

Para levantar esta indeterminación aplicamos la Regla de L’Hopital. lim

n 

n 2  n1

lim

n 

1  1 1

0

Conclusión: la serie de términos alternados es divergente. 

8.3-

   1 n 1

n

1  n!



1 1 1 1 ...    ...  1! 2! 3! n!

2

Matemática I

Confeccionado por Osvaldo S. Altamirano

1º) La primera condición se cumple: Los términos de la serie alternada tomados en Valor Absoluto, forman una sucesión monótona decreciente: 1 

1 1 1    ... 2! 3! 4!

1 1 1    ... 2 6 24

1 

1 > 0,50 > 0,16 > 0,04 > …

2º) La segunda condición se cumple: lim an  lim n 

n 

1 1   0  n!

Conclusión: la serie de términos alternados es convergente. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------



8.4-

   1

n



n 1

en e e2 e3 e4 en      ...  ... = 2n 2 4 6 8 2n

1º) La primera condición no se cumple: Los términos de la serie alternada tomados en Valor Absoluto, forman una sucesión monótona creciente: 2

e e  2 4

3



e 6

4



e 8

 ...

1,36 < 1,85 < 3,35 < 6,82 < …

2º) La segunda condición no es necesaria verificarla Conclusión: la serie de términos alternados es divergente.



8.5-

   1 n 1

n 1

n 1 n 1 3 4 5  ... = 2     ...  n 2 3 4 n

1º) La primera condición se cumple: Los términos de la serie alternada tomados en Valor Absoluto, forman una sucesión monótona decreciente:

3

Matemática I

Confeccionado por Osvaldo S. Altamirano 2 

3 4 5   2 3 4

 ...

2 > 1,50 > 1,33 > 1, 25 > …

2º) La segunda condición no se cumple: n 1 lim an  lim  n  n  n

 

Para levantar esta indeterminación aplicamos la Regla de L’Hopital. lim

n  

n 1  n

lim

n 

1  1 1

0

Conclusión: la serie de términos alternados es divergente ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

8.6-



 1

n 2

n

n 1 n1 1 2 3 4      ...  ... = 2n 2n 4 6 8 10

1º) La primera condición no se cumple: Los términos de la serie alternada tomados en Valor Absoluto, forman una sucesión monótona creciente: 1 2 3 4     ... 4 6 8 10 0,25 < 0,33 < 0,37 < 0,40 < …

2º) La segunda condición no es necesaria verificarla

Conclusión: la serie de términos alternados es divergente.

Actividad Nº 9 : ( página 102 de la guía de T.P. ) Determine si las series planteadas en la Actividad Nº 8 son absolutamente convergentes.

Recordar !!! 4

Matemática I

Confeccionado por Osvaldo S. Altamirano

Si la serie alternada es convergente, entonces podemos analizar su convergencia absoluta. En caso de que no sea absolutamente convergente, diremos que la misma es condicionalmente convergente.



8.1-

Sabemos que la serie:

   1

n 1



n 1

1 n

es convergente

Para averiguar si la serie es absolutamente convergente, tomamos la serie en valor absoluto ( es decir la consideramos como una serie de términos positivos ) y aplicamos el criterio de D’ALEMBERT: 

 n 1

1 n

 1

1 1 1 1    ...   ... n 2 3 4

Criterio de D’Alembert :

lim n 

an 1 an

1 n1  lim n  1 n

 lim

n 

n  n 1

 

Aplicando la Regla de L’Hopital lim

n 

n n 1

 lim

n 

1 1



1

 Es dudoso ( Este criterio falla )

- Dado que el criterio anterior falla, hay que aplicar otro criterio, como por ejemplo: el criterio de RAABE.

Criterio de Raabe: 1    n a n1  1 lim n.  1    lim n  1  n  n   1 a n    n 

     

 n   lim n  1   n  n  1  

=  n   1  n  lim n  n   n1 

5

  

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Confeccionado por Osvaldo S. Altamirano



1  lim n    n 1

n 

 lim

n 



n  n 1

    

1  1 n  1 lim

Es dudoso. - Dado que el criterio anterior falla, hay que aplicar otro criterio, como por ejemplo: el criterio de Comparación. Al hacer el criterio de comparación nos dará divergente, ya que se trata de una serie armónica. Conclusión: La serie alternada solo es convergente, y no es absolutamente convergente. Por lo tanto diremos que es condicionalmente convergente.



8.2-

Dado que la serie:

   1 n 1

n 1

n 2  n 1

es divergente, no se debe

analizar la convergencia absoluta.



8.3-

Sabemos que la serie:



 1

n

n 1

1  n!

es convergente.

Para averiguar si la serie es absolutamente convergente, tomamos la serie en valor absoluto ( es decir la consideramos como una serie de términos positivos ) y aplicamos el criterio de D’ALEMBERT: 

 n 1

1 1 1 1  1   ...   ... n! 2! 3! n!

Aplicando el criterio de D’Alembert : 1

a  n 1 ! lim n 1  lim n  a n  1 n

 lim

n  

n!

 n  1 !

 lim

n  

1 1   0...