Criterio de Dalembert PDF

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Criterio de Dalembert y demostracion...

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Criterio del Cociente

Teorema. (Criterio del cociente o criterio de D’Alembert). Sea  a k una serie de términos positivos. Si existe lim aak1k y lim aak1k  L podemos afirmar lo siguiente: k

k

a Si L  1 la serie  a k es convergente b Si L  1 la serie  a k diverge c Si L  1 el criterio no decide el comportamiento de  a k

Demostración. a Por una propiedad de los números reales, lim lim k

a k1 ak

k

a k1 ak

 1 implica que existe q  R tal que

 q  1, lo que nos permite afirmar que existe un número real positivo N tal que

a k1 ak

q

para todo k  N o equivalentemente a k1  q k1 ak qk para todo k  N, que podemos reescribir a k1  a k qk q k1 para todo k  N. Esta última desigualdad indica que la sucesión

ak qk

es decreciente para k  N y

por consiguiente está acotada, esto es, existe b  0,  tal que ak  b qk para todo k  N o equivalentemente a k  bq k y por el criterio de comparación  bq k es una serie geométrica convergente podemos concluir que  a k es convergente.

b Si lim k

a k1 ak

 1 existe un número real positivo M tal que

a k1 ak

 1 para todo k  M, por lo tanto

a k1  a k para todo k  M, esto es, a k  es una sucesión creciente, por consiguiente lim a k  0 y la k

serie  a k no converge por condición necesaria.

c Si lim k

a k1 ak

 1 puede ocurrir que  a k sea convergente o no.

La serie armónica 

1 k

es divergente y lim k

1 k1 1 k

 lim k

k 1 k1

Por otro lado, para la serie 

1 k2

tenemos lim k

1 k1 2 1 k2

 lim k

k2 1 k  1 2

sin embargo la misma convege por ser una p serie con p  1. Ejemplo. Consideremos la serie geométrica  aq k . Si aplicamos este criterio a la misma tenemos lim k

|aq k1 |  lim |q|  |q| k |aq k |

de modo que la serie es convergente si |q|  1 lo que concuerda con lo estudiado en la serie geométrica....