Distribucion Hipergeometrica PDF

Preview

Summary

Download Distribucion Hipergeometrica PDF

Description

Distribución Hipergeométrica DEFINICIÓN 1:

En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Suponga que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x(0 < x < d) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original. DEFINICIÓN 2: La distribución hipergeométrica es una distribución discreta que modela el número de eventos en una muestra de tamaño fijo cuando usted conoce el número total de elementos en la población de la cual proviene la muestra. Cada elemento de la muestra tiene dos resultados posibles (es un evento o un no evento). Las muestras no tienen reemplazo, por lo que cada elemento de la muestra es diferente. Cuando se elige un elemento de la población, no se puede volver a elegir. Por lo tanto, la probabilidad de que un elemento sea seleccionado aumenta con cada ensayo, presuponiendo que aún no haya sido seleccionado.

En la distribución binomial siempre aseguramos la independencia, es decir, el muestreo se realiza con reemplazamiento y la probabilidad de éxito es constante en cada una de las pruebas. Supongamos que esto no ocurre, no hay reemplazamiento y la variable aleatoria sigue otro tipo de distribución. Veamos un ejemplo:

Sea N el número de profesores de un Centro de Enseñanza Secundaria que deben elegir Director entre dos candidatos A y B. Sea n el número de profesores que apoyan al candidato A y N-n el número de profesores que apoyan al candidato B. Supongamos que queremos hacer un sondeo antes de la votación final, tomamos una muestra con K profesores y le preguntamos el candidato al que piensan votar. Supongamos que X es la variable aleatoria que nos mide el número de profesores de la muestra que piensan votar al candidato A. El interés está en calcular la probabilidad de que X=r, es decir, que en la muestra haya r personas que piensan votar al candidato A.

Deduciremos la fórmula utilizando la Ley de Laplace.

¿De cuántas maneras puedo elegir muestras de tamaño n entre N elementos que tiene la población?.

!# N$ casos posibles "n % De éstos, ¿cuáles serán favorables a nuestro suceso?. Aquellas que tengan r éxitos y N-r fracasos. (r veces ) (n! r veces )

EE ...# E FF . ..# F ! #" $ ! #" $ Np

Nq

Es preciso conocer la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso en la población. El número de casos favorables será:

!# Np$ !# Nq $ " r % " n & r% Por consiguiente: !# Np$ !# Nq $ " r % " n & r% ; r = 0,1,2,..., n P( X = r ) = !# N$ "n%

Media:

E[ x] = np

V[ x] = npq

Varianza:

Cuando

N !n N !1

n ! 0, 05 , la distribución hipergeométrica se aproxima a la binomial. N

EJEMPLO 1: Un fabricante asegura que sólo el 1% de su producción total se encuentra defectuosa. Supóngase que se ordenan 1000 artículos y se seleccionan 25 al azar para inspeccionarlos. Si el fabricante se encuentra en lo correcto, ¿cuál es la probabilidad de observar dos o más artículos defectuosos en la muestra?. Solución: Tenemos una población de tamaño N=1000 X: "número de artículos defectuosos en la muestra". P(éxito)=0,0 l Tamaño de la muestra n=25 Si inspeccionamos uno de los 25, ese no lo volvemos a inspeccionar, luego no hay reemplazamiento, la p de las distintas pruebas no se mantiene constante. Se trata de una distribución hipergeométrica.

P( x ! 2) = l " P (x < 2 ) = l " [P (x = 0 ) + P( x = 1) ] & !#1000 0, 01$!# 1000 0, 99$ ( % %" " 25 0 = 0, 7754 P( X = 0 ) = ( !#1000 $ ( " 25 % 'P( X * 2) = 0, 0239 !# 10$ !# 990 $ ( " 1 % " 24 % ( = 0, 2007 P ( X = 1) = !# 1000$ ( " 25 % )

Puesto que

n 25 = 0, 025 < 0, 05 = N 1000

Podemos aproximar por una binomial: P( x ! 2) = l " [ P (x = 0 ) + P ( x = 1)] = #25 & #25 & = 1 " % 0, 010 0, 9925 " % 0, 011 0, 9924 = $0' $1' 1 " 0, 7778 " 0, 1964 = 0, 0258

EJEMPLO 2: Supóngase que se tienen 50 representantes de cierto estado, en una convención política nacional, de los cuales 30 apoyan al candidato A y 20 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente 5 representantes, ¿cuál es la probabilidad de que, entre estos cinco, por lo menos dos apoyen al candidato A?. Solución: X: "número de personas de la muestra que apoyan al candidato A. ! N = 50# 3 & n = 5 "X % H ' 50, 5, )( 5 3 p= # 5$ P( x ! 2) = l " P (x < 2 ) = 1 " [P (x = 0) + P( x = 1) ] 3 # 2 ) # 50 & 50 & % % ( 5( + 5 $ 0 '$ 5 ' + P( X = 0) = #% 50& + + $5' P( X ! 2) = 0, 9241 2 * 3 # # 50 & 50 & + % 5( % 5( $ 1 '$ 4 '+ P (X = 1) = + #% 50& + $ 5' , No hay duda de que al menos dos apoyarán al candidato A. con una probabilidad del 92%....